Esercizio analisi dimensionale

[chiaramc1]

Salve, oggi il professore a lezione ci ha spiegato un esercizio riguardante le dimensioni:
un oggetto attaccato ad 1 molla, lo tiriamo e lo lasciamo andare. Questo oscilla lungo l'asse x.
Il moto è armonico semplice.
$x(t)=Acos(wt+q)$
x è la lunghezza e A w e q sono 3 costanti.
L'esercizio richiede quali sono le dimensioni di A w e q.
Come lo posso svolgere? Grazie

[donald_zeka]

Che dimensione ha un coseno? che dimensione ha l'argomento di un coseno?

[chiaramc1]

il coseno è adimensionale giusto? L'argomento di un coseno è l'angolo quindi è anch'esso adimensionale, spero di aver detto giusto, ma ho i miei dubbi....
grazie per la celere risposta

[donald_zeka]

Si giusto, quindi è facile capire le dimensioni di quelle costanti

[chiaramc1]

quindi sono tutte e 3 adimensionali?

[axpgn]

Se $t$ rappresenta il tempo, è difficile che sia adimensionale ...

[chiaramc1]

A e w sono adimensionali
T= L/T giusto?

[axpgn]

$t$ sarà misurato in secondi quindi ... e da lì trova gli altri ... e ricordati che il risultato è in metri ...

[chiaramc1]

non riesco a capire

[Camillo]

Come dice axpgn il risultato è in metri quindi puoi subito dire in che unità di misura è $A $

[chiaramc1]

$A=L$, scusatemi se sbaglio ma sono concetti nuovi per me

[axpgn]

E questo va bene ... ora come è stato detto anche l'argomento del coseno (cioè l'angolo) è adimensionale perciò l'espressione $wt+q$ dovrà risultare adimensionale anch'essa ...

[chiaramc1]

ok, quindi $wt$ corrisponde al tempo quindi $L/T$

[axpgn]

No.

[chiaramc1]

non riesco a capire

[axpgn]

$x(t)=Acos(wt+q)$


Mettiamoci dentro quello che conosciamo ...

$L=A*cos(w*T+q)$

Abbiamo detto che il coseno è adimensionale quindi quella si riduce a $L=A$ ... uno è sistemato ...
Si è pure detto che anche l'argomento del coseno è adimensionale quindi le grandezze dell'angolo dovranno tutte semplificarsi tra loro; ne consegue che $q$ deve essere adimensionale (non si semplifica con niente) mentre deve essere $w=1/T$ affinché sia $wt=1/T*T$ ...

Ok?

[chiaramc1]

grazie mille, ho segnato tutti negli appunti. Però non capisco perchè $w=1/T$ ?????????

[Camillo]

Si è detto che $ omega*t $ deve essere adimensionale , ok ? se ne deduce che essendo $t $ un tempo, diciamo espresso in secondi , allora $ omega$ dovrà essere $t^(-1) $, espresso in secondi ^(-1) , di modo che il loro prodotto sia adimensionale.

[chiaramc1]

scusa le tante domande, ma voglio capire bene. perchè il tempo in secondo si esprime con $t^-1$? Perchè ci sta il $^-1$?

[Camillo]

$ omega $ è l'inverso di un tempo , pensa alla velocità espressa in $m/s $ cioè in metri al secondo cioè $[L/T]=[L*T^(-1)] $
$omega = [1/T ] $ DI MODO CHE $ omega *t = [(1/T)*T] $ e quindi adimensionale
La quantità $ omega $ di cui si parla è la pulsazione che si esprime in $(rad)/sec $ , di conseguenza $omega*t $ sarà $((rad) /sec) *sec = rad $ in radianti che è adimensionale . ok ?
Son sicuro che tu sappia cosa sono i radianti : comunque è solo uno dei modi di misurare gli angoli ; $90° $ corrisponde a $pi/2 rad $ etc etc . Ok ?

[chiaramc1]

perfetto, compreso. Ricapitolando abbiamo:
$A=L$
$w=t^-1$
l'altro?