Esercizi vari
Un blocco di massa $m=10 g$ vincolato ad una molla di costante elastica $k=50 N/m$ può scivolare su un piano inclinato (θ=37°) senza attrito.
(a) Determinare l’allungamento della molla nella configurazione di equilibrio per il sistema.
Supponendo che il corpo sia lasciato libero di muoversi da fermo quando la molla è in posizione di riposo, determinare:
(b) il massimo allungamento della molla e l’accelerazione del blocco (in direzione modulo e verso) in questo punto; determinare inoltre
(c) la velocità e l’accelerazione del blocco quando questo passa per il punto di equilibrio.
Per quel che riguarda il punto a) ho imposto che la risultante delle forze sia = 0 in particolare se $x_e$ è l'allungamento della molla:
$kx_e-m*g*sentheta=0$
da cui
$x_e=(m*g*sentheta)/k = 1.2 mm $
b)
L'energia meccanica iniziale è 0, l'energia meccanica si conserva dunque nel massimo allungamento impongo che la $v_f$ sia 0:
$1/2*k*x^2-m*g*x*sentheta=0$
da cui
$x=(2*m*g*sentheta)/k= 2.4 mm$
Poi ricavo l'accelerazione usando la seconda legge di Newton:
$kx-m*g*sentheta=+m*a$
da cui
$a=(kx-m*g*sentheta)/m=+6.1 m/s^2$
c)Il punto di equilibrio $x_e$ l'avevamo trovato nel punto a) dunque uso la conservazione dell'energia:
$1/2*k*x_e-m*g*x_e*sentheta=-1/2 m*v_e^2$
da cui
$v_e = 0.08 m/s$
$a=0$ perchè siamo in equilibrio
L'ho fatto giusto?
(a) Determinare l’allungamento della molla nella configurazione di equilibrio per il sistema.
Supponendo che il corpo sia lasciato libero di muoversi da fermo quando la molla è in posizione di riposo, determinare:
(b) il massimo allungamento della molla e l’accelerazione del blocco (in direzione modulo e verso) in questo punto; determinare inoltre
(c) la velocità e l’accelerazione del blocco quando questo passa per il punto di equilibrio.
Per quel che riguarda il punto a) ho imposto che la risultante delle forze sia = 0 in particolare se $x_e$ è l'allungamento della molla:
$kx_e-m*g*sentheta=0$
da cui
$x_e=(m*g*sentheta)/k = 1.2 mm $
b)
L'energia meccanica iniziale è 0, l'energia meccanica si conserva dunque nel massimo allungamento impongo che la $v_f$ sia 0:
$1/2*k*x^2-m*g*x*sentheta=0$
da cui
$x=(2*m*g*sentheta)/k= 2.4 mm$
Poi ricavo l'accelerazione usando la seconda legge di Newton:
$kx-m*g*sentheta=+m*a$
da cui
$a=(kx-m*g*sentheta)/m=+6.1 m/s^2$
c)Il punto di equilibrio $x_e$ l'avevamo trovato nel punto a) dunque uso la conservazione dell'energia:
$1/2*k*x_e-m*g*x_e*sentheta=-1/2 m*v_e^2$
da cui
$v_e = 0.08 m/s$
$a=0$ perchè siamo in equilibrio
L'ho fatto giusto?
Risposte
Un piccolo corpo di massa $m=1.5 Kg$ è fissato all’estremità di una fune di lunghezza $L=40 cm$. L’altra estremità della fune è fissata ad un soffitto. Il corpo ruota su un piano orizzontale con velocità costante (pendolo conico).
Supponendo che la fune sia in grado di sostenere carichi di $2.5 Kg$ prima di spezzarsi,
(a) determinare la massima velocità con cui può ruotare il corpo senza che la fune si spezzi.
(b) Determinare l’angolo θ di inclinazione della fune rispetto alla verticale nella condizione limite suddetta.
(c) Quanto vale e come è diretta l’accelerazione radiale? E quella tangenziale?
Io ho fatto così anche se non l'ho capito e nel caso fosse giusto avrei bisogno di capire perchè ma con i dati che ho mi sembra l'unica cosa possibile:
a)Impongo che la forza centripeta sia uguale alla massima tensione:
$m*v^2/R = M*g$
da cui
$v=sqrt(M*g*R/m) =2.56 m/s$
b)
$\{(t*costheta=m*g),(T*sentheta=m*v^2/R):}$
da cui
$theta=arctg(v^2/(R*g))=59°$
c)$a_r=v^2/R = 16,38 m/s^2$
$a_t$ = 0 perchè il moto è circolare uniforme e la velocità $v=2.56 m/s$ è costante.
Non capisco cosa centra il peso con il moto circolare uniforme e sopratutto perchè il Raggio che sto usando è la lunghezza del filo e non l'effettivo raggio della traiettoria...
Qualcuno mi spiega se ho fatto giusto e perchè è giusto? Grazie mille
Supponendo che la fune sia in grado di sostenere carichi di $2.5 Kg$ prima di spezzarsi,
(a) determinare la massima velocità con cui può ruotare il corpo senza che la fune si spezzi.
(b) Determinare l’angolo θ di inclinazione della fune rispetto alla verticale nella condizione limite suddetta.
(c) Quanto vale e come è diretta l’accelerazione radiale? E quella tangenziale?
Io ho fatto così anche se non l'ho capito e nel caso fosse giusto avrei bisogno di capire perchè ma con i dati che ho mi sembra l'unica cosa possibile:
a)Impongo che la forza centripeta sia uguale alla massima tensione:
$m*v^2/R = M*g$
da cui
$v=sqrt(M*g*R/m) =2.56 m/s$
b)
$\{(t*costheta=m*g),(T*sentheta=m*v^2/R):}$
da cui
$theta=arctg(v^2/(R*g))=59°$
c)$a_r=v^2/R = 16,38 m/s^2$
$a_t$ = 0 perchè il moto è circolare uniforme e la velocità $v=2.56 m/s$ è costante.
Non capisco cosa centra il peso con il moto circolare uniforme e sopratutto perchè il Raggio che sto usando è la lunghezza del filo e non l'effettivo raggio della traiettoria...
Qualcuno mi spiega se ho fatto giusto e perchè è giusto? Grazie mille
Io ragionerei così...
La componente verticale della tensione $Tcos theta$ equilibra la forza peso $mg$:
$Tcos theta=mg$;
la componente orizzontale della tensione $Tsin theta$ fornisce la forza centripeta $F_c=(mv^2)/R=(mv^2)/(Lsin theta)$:
$Tsin theta=(mv^2)/(Lsin theta)->mv^2=LTsin^2theta->v=sin theta sqrt((LT)/m)$.
b) La fune si spezza quando viene raggiunta la tensione di rottura $T_r=Mg$.
Poichè in generale era $Tcos theta=mg$,
si ha che
$cos theta_r=(mg)/T_r=(mg)/(Mg)=m/M=1.5/2.5=3/5$.
Da cui
$theta_r=arc cos(3/5) ~=53°$
e
$sin theta_r=sqrt(1-cos^2theta_r)=4/5$.
a) Poiché in generale era $v=sin theta sqrt((LT)/m)$,
si ha che la velocità di rottura è
$v_r=sin theta_rsqrt((LT_r)/m)=sin theta_r sqrt((LMg)/m)=4/5sqrt((0.4*2.5*9.8)/1.5) \ m*s^-1~=2.04 \ m*s^-1$.
c) $a_t=0$;
In generale è $a_c=v^2/R=(Tsin theta)/m$
e quindi
$a_(c,r)=(T_r sin theta_r)/m=(Mg sin theta_r)/m=(2.5*9.8*4)/(5*1.5) \ m*s^-2~=13.1 \ m*s^-2$
La componente verticale della tensione $Tcos theta$ equilibra la forza peso $mg$:
$Tcos theta=mg$;
la componente orizzontale della tensione $Tsin theta$ fornisce la forza centripeta $F_c=(mv^2)/R=(mv^2)/(Lsin theta)$:
$Tsin theta=(mv^2)/(Lsin theta)->mv^2=LTsin^2theta->v=sin theta sqrt((LT)/m)$.
b) La fune si spezza quando viene raggiunta la tensione di rottura $T_r=Mg$.
Poichè in generale era $Tcos theta=mg$,
si ha che
$cos theta_r=(mg)/T_r=(mg)/(Mg)=m/M=1.5/2.5=3/5$.
Da cui
$theta_r=arc cos(3/5) ~=53°$
e
$sin theta_r=sqrt(1-cos^2theta_r)=4/5$.
a) Poiché in generale era $v=sin theta sqrt((LT)/m)$,
si ha che la velocità di rottura è
$v_r=sin theta_rsqrt((LT_r)/m)=sin theta_r sqrt((LMg)/m)=4/5sqrt((0.4*2.5*9.8)/1.5) \ m*s^-1~=2.04 \ m*s^-1$.
c) $a_t=0$;
In generale è $a_c=v^2/R=(Tsin theta)/m$
e quindi
$a_(c,r)=(T_r sin theta_r)/m=(Mg sin theta_r)/m=(2.5*9.8*4)/(5*1.5) \ m*s^-2~=13.1 \ m*s^-2$
Wow come supponevo ieri ho scritto un sacco di cavolate (anche perchè mi rendevo perfettamente conto che non aveva senso come lo stavo facendo), ma erano le 3 di notte ieri quando l'ho fatto e postato ma comunque ammetto che non ci sarei mai riuscito a risolverlo da solo. E invece il primo problema l'ho fatto giusto?
Grazie mille come sempre xD
Grazie mille come sempre xD
A proposito del punto b) del primo esercizio...
Mi sembra che, se la molla si allunga di $x$, il corpo si abbassi di $x sin theta$.
Mi sembra che, se la molla si allunga di $x$, il corpo si abbassi di $x sin theta$.
"chiaraotta":
A proposito del punto b) del primo esercizio...
Mi sembra che, se la molla si allunga di $x$, il corpo si abbassi di $x sin theta$.
Ah sì è vero, stavolta però fortunatamente si tratta di un errore di distrazione xD
Allora l'equazione non è
$1/2*k*x^2-m*g*x=0$,
ma
$1/2*k*x^2-m*g*x*sin theta=0$
da cui
$x=(2*m*g*sin theta)/k~= 2.4\ mm$,
il doppio di $x_e$.
$1/2*k*x^2-m*g*x=0$,
ma
$1/2*k*x^2-m*g*x*sin theta=0$
da cui
$x=(2*m*g*sin theta)/k~= 2.4\ mm$,
il doppio di $x_e$.
"chiaraotta":
il doppio di $x_e$.
Ah è vero, già il fatto che il max allungamento non fosse risultato il doppio dell'allungamento in condizioni di equilibrio avrebbe dovuto farmi capire che avevo fatto un errore... e sinceramente sapevo questo a livello teorico ma non avevo mai pensato di applicarlo a livello pratico a fini di verifica dei risultati...
PS: ho corretto anche l'accelerazione alla fine di quel punto.
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