Esercizi teorema di Gauss
1)Calcolare il campo elettrostatico all'interno e all'esterno di una regione tra due piani indefiniti in cui è distribuita uniformemente una carica con densità $\rho$
Ho scelto un'asse $x$ ortogonale ai due piani con origine nel primo piano a sinistra. Il piano destro è ad una certa distanza $d$ dall'altro. Ho pensato che la regione in cui è distribuita uniformemente la carica possa essere vista come sovrapposizione di più piani uniformemente carichi. Le linee di campo dovrebbero quindi essere ortogonali all'asse $x$! Ho quindi scelto come superficie gaussiana un cilindro di raggio $R$. Per calcolare il campo all'interno, ho disposto il cilindro, con una generica altezza $x$, con l'asse parallelo all'asse $x$ tale che le basi siano comprese tra $x=0$ e $x=d$. Applicando il teorema di Gauss:
$2E\piR^2=\frac{\rho\piR^2x}{\epsilon_0}$ e quindi $E=\frac{\rhox}{2\epsilon_0}$
Il risultato esatto è $E=\frac{\rhox}{\epsilon_0}$!Dove sbaglio? Non sono tanto sicuro sul verso da considerare per le linee di campo. Nel mio ragionamento ho ipotizzato che fossero uscenti dalle due basi del cilindro ma non ne sono sicuro.
Per il campo all'esterno, prendendo un cilindro con le stesse caratteristiche del precedente ma posto fuori dalla regione carica, ottengo flusso nullo. Quindi in questo caso sbaglio il posizionamento della superficie. Come dovrei prenderla? Metà dentro e metà fuori?
2) Un filo rettilineo indefinito e carico con densità $-\lambda$ è l'asse di una superficie cilindrica indefinita di raggio $R$ e carica con densità $\sigma$. Calcolare il campo elettrostatico nello spazio.
Ragionando sulla simmetria ed applicando Gauss su due superfici cilindriche, una che circonda il filo, l'altra che circonda la superficie cilindrica indefinita, ho ottenuto i seguenti risultati:
$\vec\E=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}\hatr$ dentro la superficie cilindrica e $\vec\E=\frac{\sigma2\piR-\lambda}{2\pi\epsilon_0r}\hatr$ all'esterno.
Il campo all'interno corrisponde al risultato dell'esercizi. Il campo esterno no! La soluzione riportata è $\vec\E=\frac{\sigmaR}{\epsilon_0r}\hatr$. Perchè nella seconda applicazione del teorema di Gauss non viene contata la carica sul tratto di filo compreso nella superficie?
3) Consideriamo due distribuzioni volumiche di carica, una sferica l'altra cilindrica. La densità di carica non è uniforme ma è una funzione radiale (dipende dalla distanza dal centro nella sfera e dalla distanza dall'asse nel cilindro). Come faccio a dire che anche in questi casi valgono motivi di simmetria per i quali il campo risulta essere radiale? La cosa mi è chiara in caso di densità uniformi, ma non in questo caso!
Ho scelto un'asse $x$ ortogonale ai due piani con origine nel primo piano a sinistra. Il piano destro è ad una certa distanza $d$ dall'altro. Ho pensato che la regione in cui è distribuita uniformemente la carica possa essere vista come sovrapposizione di più piani uniformemente carichi. Le linee di campo dovrebbero quindi essere ortogonali all'asse $x$! Ho quindi scelto come superficie gaussiana un cilindro di raggio $R$. Per calcolare il campo all'interno, ho disposto il cilindro, con una generica altezza $x$, con l'asse parallelo all'asse $x$ tale che le basi siano comprese tra $x=0$ e $x=d$. Applicando il teorema di Gauss:
$2E\piR^2=\frac{\rho\piR^2x}{\epsilon_0}$ e quindi $E=\frac{\rhox}{2\epsilon_0}$
Il risultato esatto è $E=\frac{\rhox}{\epsilon_0}$!Dove sbaglio? Non sono tanto sicuro sul verso da considerare per le linee di campo. Nel mio ragionamento ho ipotizzato che fossero uscenti dalle due basi del cilindro ma non ne sono sicuro.
Per il campo all'esterno, prendendo un cilindro con le stesse caratteristiche del precedente ma posto fuori dalla regione carica, ottengo flusso nullo. Quindi in questo caso sbaglio il posizionamento della superficie. Come dovrei prenderla? Metà dentro e metà fuori?
2) Un filo rettilineo indefinito e carico con densità $-\lambda$ è l'asse di una superficie cilindrica indefinita di raggio $R$ e carica con densità $\sigma$. Calcolare il campo elettrostatico nello spazio.
Ragionando sulla simmetria ed applicando Gauss su due superfici cilindriche, una che circonda il filo, l'altra che circonda la superficie cilindrica indefinita, ho ottenuto i seguenti risultati:
$\vec\E=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}\hatr$ dentro la superficie cilindrica e $\vec\E=\frac{\sigma2\piR-\lambda}{2\pi\epsilon_0r}\hatr$ all'esterno.
Il campo all'interno corrisponde al risultato dell'esercizi. Il campo esterno no! La soluzione riportata è $\vec\E=\frac{\sigmaR}{\epsilon_0r}\hatr$. Perchè nella seconda applicazione del teorema di Gauss non viene contata la carica sul tratto di filo compreso nella superficie?
3) Consideriamo due distribuzioni volumiche di carica, una sferica l'altra cilindrica. La densità di carica non è uniforme ma è una funzione radiale (dipende dalla distanza dal centro nella sfera e dalla distanza dall'asse nel cilindro). Come faccio a dire che anche in questi casi valgono motivi di simmetria per i quali il campo risulta essere radiale? La cosa mi è chiara in caso di densità uniformi, ma non in questo caso!
Risposte
1) Direi che il problema sta in una scelta infelice del sistema di riferimento.
Dalla simmetria è evidente che il campo è nullo nel piano centrale della regione, mentre nella tua espressione risulta zero su un lato e diverso da zero sull'altro lato, un po' strano, no? Quindi penso che la soluzione proposta metta - più ragionevolmente - l'origine nel centro della regione
2) mi pare che la soluzione proposta, dove non è presente $lambda$, sia sbagliata
3) se il sistema ha simmetria radiale (ossia è invariante per rotazione e riflessione), allora tutte le sue caratteristiche, fra cui il campo elettrico prodotto, devono avere la stessa caratteristica. Il fatto che la densità non sia uniforme non fa cadere questo argomento, purchè anche la densità abbia la stessa simmetria.
Dalla simmetria è evidente che il campo è nullo nel piano centrale della regione, mentre nella tua espressione risulta zero su un lato e diverso da zero sull'altro lato, un po' strano, no? Quindi penso che la soluzione proposta metta - più ragionevolmente - l'origine nel centro della regione
2) mi pare che la soluzione proposta, dove non è presente $lambda$, sia sbagliata
3) se il sistema ha simmetria radiale (ossia è invariante per rotazione e riflessione), allora tutte le sue caratteristiche, fra cui il campo elettrico prodotto, devono avere la stessa caratteristica. Il fatto che la densità non sia uniforme non fa cadere questo argomento, purchè anche la densità abbia la stessa simmetria.
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