Esercizi sulla dinamica
Su di un blocco di massa m1 = 20 kg è posto un secondo blocco di massa m2 = 30 kg. Mentre i coefficienti di attrito statico e dinamico tra i due blocchi valgono μs = 0,7 e μd = 0,4, il blocco 1 può scivolare senza attrito sul piano su cui è appoggiato.
Supponendo che i due blocchi siano inizialmente in quiete e che (a partire da un certo istante) il blocco 1 sia trainato con una forza F (costante) parallela al piano di appoggio, si determini:
1)la massima intensità di F, Fmax, al di sotto della quale il blocco 2 si muove solidalmente con il blocco 1 (si usi g = 10 m⋅s-2);
2)le accelerazioni dei due blocchi (calcolate rispetto al piano di appoggio) nel caso in cui il blocco 1 fosse trainato da una forza F1 d’intensità pari a 2Fmax.
Successivamente il blocco 2 viene rimosso. Si assuma ora che il blocco 1, partendo da fermo, si muova di moto uniformemente accelerato, con l’accelerazione acquistata sotto l’azione della forza F1, per t = 2 s, prima di entrare in un tratto di circonferenza di raggio R = 1 km. Il blocco compie un percorso pari al doppio del raggio, partendo dal punto A e transitando per B, con una velocità di 144 km/h. Calcolare:
3)quanto tempo impiega il blocco a percorrere il tratto AB e il modulo della sua accelerazione totale in B.
Svolgendo i primi due punti ho trovato che F1 è pari ad 1050.
Il mio problema sorge nel ultimo quesito perché non riesco a capire come svolgerlo.
Io ho iniziato considerando che da due secondi facendo il moto uniformemente accelerato mi trovo che lo spostamento è pari a 105 m considerando come accelerazione il il rapporto tra la forza è la massa quindi tra 1050 e 20. Ora però non so come andare avanti. Non so come trovare appunto il tempo di AB perché io avevo ipotizzato che i 105 m fossero il tratto percorso dal momento in cui il blocco si inizia a spostare fino al punto A
Supponendo che i due blocchi siano inizialmente in quiete e che (a partire da un certo istante) il blocco 1 sia trainato con una forza F (costante) parallela al piano di appoggio, si determini:
1)la massima intensità di F, Fmax, al di sotto della quale il blocco 2 si muove solidalmente con il blocco 1 (si usi g = 10 m⋅s-2);
2)le accelerazioni dei due blocchi (calcolate rispetto al piano di appoggio) nel caso in cui il blocco 1 fosse trainato da una forza F1 d’intensità pari a 2Fmax.
Successivamente il blocco 2 viene rimosso. Si assuma ora che il blocco 1, partendo da fermo, si muova di moto uniformemente accelerato, con l’accelerazione acquistata sotto l’azione della forza F1, per t = 2 s, prima di entrare in un tratto di circonferenza di raggio R = 1 km. Il blocco compie un percorso pari al doppio del raggio, partendo dal punto A e transitando per B, con una velocità di 144 km/h. Calcolare:
3)quanto tempo impiega il blocco a percorrere il tratto AB e il modulo della sua accelerazione totale in B.
Svolgendo i primi due punti ho trovato che F1 è pari ad 1050.
Il mio problema sorge nel ultimo quesito perché non riesco a capire come svolgerlo.
Io ho iniziato considerando che da due secondi facendo il moto uniformemente accelerato mi trovo che lo spostamento è pari a 105 m considerando come accelerazione il il rapporto tra la forza è la massa quindi tra 1050 e 20. Ora però non so come andare avanti. Non so come trovare appunto il tempo di AB perché io avevo ipotizzato che i 105 m fossero il tratto percorso dal momento in cui il blocco si inizia a spostare fino al punto A
Risposte
1) Tra i due blocchi agisce la forza di attrito statico $f$ , che deve essere: $f <=mu_sN$ affinché i due blocchi restino solidali . Il blocco 2 che sta sopra è accelerato dalla sola forza di attrito detta; quindi : $ f=m_2a$ ; sul blocco 1 che sta sotto sono invece applicate 2 forze , la F di traino e la $-f$, diretta in senso opposto. Quindi hai a disposizione 3 relazioni :
$f<= mu_sN$
$f = m_2a$
$F-f = m_1a$
dove $N$ è il peso del blocco 2 , pari a $300N$ . Ponendo la forza di attrito uguale al suo valore limite, hai :
$f= 0.7*300 = 210 N$
Quindi l’accelerazione max del blocco 2 è : $ a= f/m_2 = 7 m/s^2$ . La stessa accelerazione deve avere il blocco 1 , fin quando restano attaccati.
Sostituisci questo valore nella equazione per il blocco 1 , e hai : $F_(max) = 210N +20*7 N = 350 N$
Che cosa hai trovato tu ?
$f<= mu_sN$
$f = m_2a$
$F-f = m_1a$
dove $N$ è il peso del blocco 2 , pari a $300N$ . Ponendo la forza di attrito uguale al suo valore limite, hai :
$f= 0.7*300 = 210 N$
Quindi l’accelerazione max del blocco 2 è : $ a= f/m_2 = 7 m/s^2$ . La stessa accelerazione deve avere il blocco 1 , fin quando restano attaccati.
Sostituisci questo valore nella equazione per il blocco 1 , e hai : $F_(max) = 210N +20*7 N = 350 N$
Che cosa hai trovato tu ?
Sono partita dall ipotesi che affinché i blocchi restino collegati la forza deve essere minore di quella dell attrito statico
$F1<μsN $ con $ N= 30kg x g $
Sapendo che $F= (m1 +m2)a $ è che la forza relativa soltanto a blocco 1 è $ F1 = m1a$ con $ a = F/(m1+m2)$ facendo le varie sostituzioni ottengo
$Fmax = μs((m2) /(m1) ) (m1+m2)g = 525N$
$F1<μsN $ con $ N= 30kg x g $
Sapendo che $F= (m1 +m2)a $ è che la forza relativa soltanto a blocco 1 è $ F1 = m1a$ con $ a = F/(m1+m2)$ facendo le varie sostituzioni ottengo
$Fmax = μs((m2) /(m1) ) (m1+m2)g = 525N$
Il mio dubbio è su come calcolare il punto 3. Avete qualche suggerimento?
Rileggi la mia risposta. Non hai fatto bene. Poi andremo avanti .
Ok ho capito. Sbagliavo nel calcolare F.
Quindi a questo punto il secondo quesito sarà
$ 2Fmax - μd N =m1 a1 $
da cui mi ricavo $a1 =( 2Fmax-μd N)/m1 = (700N-0,4 x 300)/30=29$
$ μd N =m2 a2$ da cui mi ricavo $ a2= (μdN) m2 = 4 (m/(s^2))$
Quindi a questo punto il secondo quesito sarà
$ 2Fmax - μd N =m1 a1 $
da cui mi ricavo $a1 =( 2Fmax-μd N)/m1 = (700N-0,4 x 300)/30=29$
$ μd N =m2 a2$ da cui mi ricavo $ a2= (μdN) m2 = 4 (m/(s^2))$
Ora va bene. Però metti sempre le unità di misura, e prova a scrivere meglio le formule. Se devi scrivere $a_1$ , devi digitare , tra i dollari : a_1 .
Adesso il blocco 1 parte da fermo, sottoposto alla forza $F = 700 N$ ( il pedice 1 ora è inutile), e quindi con accelerazione $a = 29m/s^2$ , per $2s$ sul piano orizzontale, e poi incontra una circonferenza di raggio $1km$. Puoi determinare la velocità finale e lo spazio percorso da fermo in questo tempo dato.
MA non ho capito bene chi sono A e B , puoi precisare? Oppure, scrivi il testo integrale dell’esercizio.
Adesso il blocco 1 parte da fermo, sottoposto alla forza $F = 700 N$ ( il pedice 1 ora è inutile), e quindi con accelerazione $a = 29m/s^2$ , per $2s$ sul piano orizzontale, e poi incontra una circonferenza di raggio $1km$. Puoi determinare la velocità finale e lo spazio percorso da fermo in questo tempo dato.
MA non ho capito bene chi sono A e B , puoi precisare? Oppure, scrivi il testo integrale dell’esercizio.
Nella traccia dice che Il blocco compie un percorso pari al doppio del raggio, partendo dal punto A e transitando per B con una velocità di $144 (Km) /h $
Quindi AB è il tratto di percorso per cui devo calcolare il tempo che impiega il blocco per percorrerlo
La traccia che ho scritto sopra è già completa. Da come ho capito io la traccia, per AB si intende il tratto che il blocco percorre sulla circonferenza
Quindi AB è il tratto di percorso per cui devo calcolare il tempo che impiega il blocco per percorrerlo
La traccia che ho scritto sopra è già completa. Da come ho capito io la traccia, per AB si intende il tratto che il blocco percorre sulla circonferenza
Io ho considerato che in un tempo di $ t =2s $ con un'accelerazione di $29 m/(s^2)$ partendo da fermo, utilizzando le leggi orarie percorre una distanza pari a $ 105m$.
Leggendo la traccia io considero il punto A proprio a 105 m, ma non so come andare avanti
Leggendo la traccia io considero il punto A proprio a 105 m, ma non so come andare avanti
Possibile cheil testo non dica quali sono i punti A e B ? Supponiamo pure che A sia l’inizio della circonferenza, ma B , per il quale il blocco transita , che punto è ? Ti dispiace scrivere esattamente la traccia? Non si capisce granché, a questa maniera.
Comunque, in 2s , con quella accelerazione, il tratto orizzontale percorso vale :
$s=1/2at^2 = 1/2*29*4 m= 58 m$.
Infatti il blocco parte da fermo, quindi con velocità nulla. Dopo 2s la velocità vale $v = at =29*2 = 58 m/s$.
Come hai applicato la formula del moto uniformemente accelerato ?
Comunque, in 2s , con quella accelerazione, il tratto orizzontale percorso vale :
$s=1/2at^2 = 1/2*29*4 m= 58 m$.
Infatti il blocco parte da fermo, quindi con velocità nulla. Dopo 2s la velocità vale $v = at =29*2 = 58 m/s$.
Come hai applicato la formula del moto uniformemente accelerato ?
Hai ragione $ s = 58m$ ,avevo sbagliato a fare i calcoli.
Comunque la traccia completa è questa:
Comunque la traccia completa è questa:
Mi sembra ora di capire che il punto B è semplicemente un punto della circonferenza, in cui il blocco arriva con la velocità di 144 km/h , pari a $40 m/s$; B non è il punto estremo del percorso, che è lungo 2 km , a cui corrisponde un angolo al centro di $2 rad = 114º.6 $ , figurati!
Essendo entrato con velocità di $58m/s$, si può applicare la conservazione della energia, per trovare a che altezza da terra si trova B. Non è possibile ricorrere alle equazioni del moto uniformemente accelerato qui, perché non lo è, la circonferenza si trova nel campo gravitazionale terrestre, e non lo si sa fare in maniera semplice.
Trovata l’altezza di B (mi risulta h= 71.4 m), con considerazioni geometriche si può trovare la lunghezza dell’arco AB , che immagino sia piccola rispetto ad R. E a questo punto, io farei così: approssimerei l’arco AB con la corda AB, su cui il blocco sale con la velocità iniziale detta, sottoposto alle forze agenti, che vanno proiettate sul piano inclinato; e così potrei trovare il tempo per andare da A a B, essendo ora il moto uniformemente “decelerato “. Ma siamo sicuri che la forza $vecF$ continui ad esserci anche nel tratto di circonferenza? Dai conti che ho fatto, mi verrebbe che il moto su AB è accelerato, anziché decelerato, se F fosse ancora presente! Chissà come ha fatto l’autore del testo a dire che in B la velocità è 40 m/s. Non può esserci anche F, che è maggiore in modulo della componente del peso sul piano inclinato. Mi risulta che l’angolo $theta$ tra la corda AB e il piano orizzontale vale circa 11º gradi, quindi trovo : $mgsentheta = 37.8N$...
Questo esercizio è scritto malissimo e non dà le informazioni giuste nel terzo quesito.
Vorrei capire da dove viene questo esercizio, e se il docente si rende conto delle difficoltà che ti ho detto. Voglio pensare che lo abbia fatto di proposito per saggiare la capacità di ragionamento degli studenti...mah!
Ovviamente posso sbagliarmi, e qualcun altro potrebbe correggere...
Essendo entrato con velocità di $58m/s$, si può applicare la conservazione della energia, per trovare a che altezza da terra si trova B. Non è possibile ricorrere alle equazioni del moto uniformemente accelerato qui, perché non lo è, la circonferenza si trova nel campo gravitazionale terrestre, e non lo si sa fare in maniera semplice.
Trovata l’altezza di B (mi risulta h= 71.4 m), con considerazioni geometriche si può trovare la lunghezza dell’arco AB , che immagino sia piccola rispetto ad R. E a questo punto, io farei così: approssimerei l’arco AB con la corda AB, su cui il blocco sale con la velocità iniziale detta, sottoposto alle forze agenti, che vanno proiettate sul piano inclinato; e così potrei trovare il tempo per andare da A a B, essendo ora il moto uniformemente “decelerato “. Ma siamo sicuri che la forza $vecF$ continui ad esserci anche nel tratto di circonferenza? Dai conti che ho fatto, mi verrebbe che il moto su AB è accelerato, anziché decelerato, se F fosse ancora presente! Chissà come ha fatto l’autore del testo a dire che in B la velocità è 40 m/s. Non può esserci anche F, che è maggiore in modulo della componente del peso sul piano inclinato. Mi risulta che l’angolo $theta$ tra la corda AB e il piano orizzontale vale circa 11º gradi, quindi trovo : $mgsentheta = 37.8N$...
Questo esercizio è scritto malissimo e non dà le informazioni giuste nel terzo quesito.
Vorrei capire da dove viene questo esercizio, e se il docente si rende conto delle difficoltà che ti ho detto. Voglio pensare che lo abbia fatto di proposito per saggiare la capacità di ragionamento degli studenti...mah!
Ovviamente posso sbagliarmi, e qualcun altro potrebbe correggere...
Mamma mia che testo confuso nella seconda parte.... Ma come si fa a scrivere così male? Che sia una traduzione fatta male?
Comunque, leggendo e rileggendo, io interpreterei che nel tratto AB non agisce alcuna forza (oltre al campo gravitazionale).
Comunque, leggendo e rileggendo, io interpreterei che nel tratto AB non agisce alcuna forza (oltre al campo gravitazionale).
@Faussone
concordo con te, quando il blocco arriva sulla circonferenza non ci può essere ancora la forza $F = 700N$ , perchè altrimenti il moto sarebbe accelerato e non ritardato. Se in B la velocitá è minore che in A, ci deve essere solo la componente del peso $-mgsentheta$ diretta in senso opposto al moto. Naturalmente prendo per buona l’idea di sostituire l’arco AB con la corda AB , la differenza di lunghezza è piccola.
IO ho fatto tutti i calcoli, ma aspetto che l’OP risponda e mi dica se ha capito.
concordo con te, quando il blocco arriva sulla circonferenza non ci può essere ancora la forza $F = 700N$ , perchè altrimenti il moto sarebbe accelerato e non ritardato. Se in B la velocitá è minore che in A, ci deve essere solo la componente del peso $-mgsentheta$ diretta in senso opposto al moto. Naturalmente prendo per buona l’idea di sostituire l’arco AB con la corda AB , la differenza di lunghezza è piccola.
IO ho fatto tutti i calcoli, ma aspetto che l’OP risponda e mi dica se ha capito.
In effetti l'approssimazione che dici mi pare il solo modo per tirare fuori una soluzione per il tempo, in sede di svolgimento di un normale esercizio, magari l'angolo percorso è così piccolo da approssimare $sin theta$ con $theta$ come si fa per le piccole oscillazioni del pendolo.
L’angolo al centro corrispondente all’arco AB risulta di 22º circa ; ma aspetto la risposta di mari. 98 , prima di postare i miei conti.
Purtroppo questa è una traccia di un appello di un esame e sarà stata fatta per mettere in difficoltà gli studenti credo.
Comunque sono d'accordo con il tuo ragionamento , ma non ho capito quale formule hai applicato per ottenere un'angolo di 22°
Comunque sono d'accordo con il tuo ragionamento , ma non ho capito quale formule hai applicato per ottenere un'angolo di 22°
Ma che bravi, questi professori che vogliono mettere in difficoltà gli studenti agli esami. Non sarebbero degni di fare i professori.
Io ho calcolato l’altezza del punto B, applicando la conservazione dell’energia :
$1/2mv_A^2 = 1/2mv_B^2 + mgh$
da cui ho dedotto l’altezza $h = 71,4 m $ da terra. Stabilita la posizione di B , ho considerato la corda AB come piano inclinato, sui cui sale il blocco con la velocità iniziale che ha in A. Supponendo che agisca solo la forza peso, la sua componente sul piano inclinato è contraria al moto, quindi il blocco deve rallentare , e infatti in B la velocità è di $40 m/s$. L’angolo $theta$ che AB forma con l’orizzontale vale circa $11º$ . Con un po’ di geometria, come vedi dalla figura allegata, ho dedotto che $AB = 377,9m$.
A questo punto, per trovare il tempo, si applicano le equazioni del moto uniformemente accelerato :
$v = v_A - at $
$s = v_At - 1/2at^2 $
lil modulo dell’accelerazione vale $gsintheta = 1.89 m/s^2 $, quindi si può trovare il tempo $t$ già dalla prima equazione della velocità , mettendo $v_B$ al primo membro.
In quanto all’angolo al centro corrispondente all’arco di circonferenza AB , si trova considerando i triangoli in figura. L’arco AB risulta avere una lunghezza di circa $384m$ , poco più grande della corda ovviamente.
Ecco la figura :
Ma questo esercizio non mi piace affatto, perchè il testo è poco chiaro, ed io ho fatto delle scelte arbitrarie. Se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure.
Io ho calcolato l’altezza del punto B, applicando la conservazione dell’energia :
$1/2mv_A^2 = 1/2mv_B^2 + mgh$
da cui ho dedotto l’altezza $h = 71,4 m $ da terra. Stabilita la posizione di B , ho considerato la corda AB come piano inclinato, sui cui sale il blocco con la velocità iniziale che ha in A. Supponendo che agisca solo la forza peso, la sua componente sul piano inclinato è contraria al moto, quindi il blocco deve rallentare , e infatti in B la velocità è di $40 m/s$. L’angolo $theta$ che AB forma con l’orizzontale vale circa $11º$ . Con un po’ di geometria, come vedi dalla figura allegata, ho dedotto che $AB = 377,9m$.
A questo punto, per trovare il tempo, si applicano le equazioni del moto uniformemente accelerato :
$v = v_A - at $
$s = v_At - 1/2at^2 $
lil modulo dell’accelerazione vale $gsintheta = 1.89 m/s^2 $, quindi si può trovare il tempo $t$ già dalla prima equazione della velocità , mettendo $v_B$ al primo membro.
In quanto all’angolo al centro corrispondente all’arco di circonferenza AB , si trova considerando i triangoli in figura. L’arco AB risulta avere una lunghezza di circa $384m$ , poco più grande della corda ovviamente.
Ecco la figura :
Ma questo esercizio non mi piace affatto, perchè il testo è poco chiaro, ed io ho fatto delle scelte arbitrarie. Se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure.
Ti ringrazio ora è tutto più chiaro.
Se per ipotesi il problema mi dava il valore della lunghezza dell'arco , avendo le due velocità , come avrei potuto calcolarmi il tempo?
Se per ipotesi il problema mi dava il valore della lunghezza dell'arco , avendo le due velocità , come avrei potuto calcolarmi il tempo?
Non c’è una formula che io sappia. Mi viene in mente che si potrebbe sostituire all’ arco AB una linea spezzata , cioè prendere una serie di corde anziché una sola, e ripetere il procedimento pezzo per pezzo; ma ogni volta devi calcolare velocità in uscita, accelerazioni , e tempi parziali corrispondenti . È una bella noia!
Forse qualche esperto di programmi potrebbe fare qualcosa in Excel...ma non fa per me.
Forse qualche esperto di programmi potrebbe fare qualcosa in Excel...ma non fa per me.
Sono d'accordo al 100% con Shackle, va aggiunto che l'esercizio oltre che posto male è anche scritto in italiano contorto nella seconda parte.
Poi se proprio si voleva chiedere di calcolare quel tempo, bisognava almeno suggerire che tipo di approssimazione usare, un testo corretto avrebbe dovuto essere così.
Poi se proprio si voleva chiedere di calcolare quel tempo, bisognava almeno suggerire che tipo di approssimazione usare, un testo corretto avrebbe dovuto essere così.
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