Esercizi Fisica I

[simone05091]

Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un parere riguardo questi due esercizi di un tema d'esame di cui non possiedo le soluzioni e vorrei sapere se il mio ragionamento è giusto o se necessita di correzioni.

1) Una forza costante in direzione e con modulo variabile nel tempo è applicata su un oggetto di massa $m = 1 Kg$. L'energia cinetica dell'oggetto aumenta nel tempo secondo la legge $K(t) = ct^3$ dove c è una costante. Sapendo che l'impulso della forza, tra gli istanti $t_\0 = 0$ e $t_\1 = 10 s$, è $J = 2 N*s$, determinare la costante $c$ e il modulo della forza all'istante $t_\1$.

Io ho risolto in questo modo:
Ho espresso $J$ come variazione della quantità di moto tra l'istante $t_\0$ e $t_\1$: $J = m(v_\1 - v_\0) = 2 N*s$

Ho ricavato $v_\0 = 0$ da $K(t_\0) = c(t_\0)^3 = 0$

Dopodiché ho ricavato $v_\1$ da $mv_\1 = 2 N*s$ e ho ottenuto $v_\1 = 2 m*s^-1$
Ho quindi eguagliato l'espressione dell'energia cinetica $K$ fornita dal testo a quella in funzione della velocità cioè
$K(t_\1) = c(t_\1)^3 = (mv_\1^2)/2$
e ho ricavato così la costante
$c = (mv_\1^2)/(2t_\1^3) = (1 * 4)/(2 * 1000 ) Kg*m^2*s^-5 $

Per quanto riguarda il modulo della forza ho poi ricavato l'accelerazione
$a = (v_\1 - v_\0)/ (\Deltat) = 2/10 m*s^-2 = 0.2 m*s^-2$

Ho quindi ottenuto la forza $F = ma = (1 Kg) * (0.2 ms^-2) = 0.2 N$.

3) Un contenitore cilindrico di sezione $A = 100 cm^2 = 0.01 m^2$ è chiuso in alto da una parete di massa $m = 10 Kg$ che può scorrere senza attrito. Nel contenitore, le cui pareti sono tutte diatermiche, sono presenti $n = 0.2 mol$ di gas ideale. L'ambiente esterno è a pressione atmosferica e a temperatura $T = 300 K$. Si appoggiano pallini di piombo sulla parete mobile in alto, fino a raddoppiare la massa, in modo reversibile. Calcolare di quanto si abbassa la parete mobile e il lavoro fatto dal gas.

Ho calcolato la forza peso della massa m agente sul gas come
$F_\p = m*g = (10 Kg) * (9.81 ms^-2) = 98.1 N$

Ho quindi calcolato la pressione esercitata da m come
$p_\m = (F_\p) / (A) = (98.1 N) / (0.01 m^2) = 9810 Pa$

Ho calcolato la pressione totale sul gas data da
$p_\(Tot) = p_\(atm) + p_\m = 101325 Pa + 9810 Pa = 1111325 Pa = 1.097 atm$

Ho calcolato il volume occupato
$V_\0 = (n*R*T) / (p_\(Tot)) = (0.2 mol * 0.0821 L*atm*K^-1*mol^-1 * 300 K) / (1.097 atm) = 4.79 L = 0.00449 m^3$

Ho quindi calcolato l'altezza della parete del contenitore in corrispondenza di $V_\0$ come
$h_\0 = (V_\0) / (A) = (0.00449 m^3) / (0.01 m^2) = 0.449 m$

Dopodichè ho calcolato la pressione esercitata da $m_\1 = 2m$ utilizzando sempre la forza peso diviso la sezione del contenitore e ricavando
$F'_\p = 2*m*g= 196.2 N$ , $p_\(2m) = 19620 Pa$ e $p'_\(Tot) = p_\(atm) + p_\(2m) = 120945 Pa = 1.194 atm$

Ho calcolato il volume occupato nella nuova configurazione come
$V_\1 = (n*R*T) / (p'_\(Tot)) = 4.126 L = 0.004126 m^3$

Ho calcolato la nuova altezza della parete $h_\1 = (V_\1) / (A) = 0.4126 m$

Dopodichè ho calcolato
$\Deltah = | h_\1 - h_\0 | = | 0.4126 m - 0.449 m | = 0.0364 m = 3.64 cm$

Per quanto riguarda il lavoro fatto dal gas ho assunto
$W = Q = n*R*T*ln(V_\1/V_\0) = (0.2 * 8.314 * 300 J) * ln(0.919) = (498.84 J) * (-0.084) = -41.9 J $

Grazie in anticipo a chiunque mi aiuti.

[Falco5x]

Non ho controllato tutti i calcoli, ma mi pare che vada bene tutto tranne una cosa. Non puoi calcolare l'accelerazione come differenza di velocità diviso tempo, questa formula vale per accelerazione costante, ma in questo caso non va bene perché l'accelerazione non è costante.
Allora puoi fare le seguenti considerazioni che passano per il concetto di potenza (che è la derivata nel tempo dell'energia):

$$\eqalign{
& K = \frac{1}
{2}m{v^2} \cr
& a = \frac{{dv}}
{{dt}} \cr
& P = \frac{{dK}}
{{dt}} = mv\frac{{dv}}
{{dt}} = mav = Fv \cr
& K = c{t^3} \cr
& P = \frac{{dK}}
{{dt}} = 3c{t^2} \cr
& {P_1}{\left. { = \frac{{dK}}
{{dt}}} \right|_{v = v1}} = {F_1}{v_1} = 3c{t_1}^2 \cr
& {F_1} = \frac{{3c{t_1}^2}}
{{{v_1}}} \cr} $$

[simone05091]

Ok, grazie mille dell'aiuto!