Esercizi di vario argomento
Potete dirmi se ho sbagliato qualcosa in questi esercizi?
1) "Una ragazza trascina una cassa su un pavimento orizzontale con velocità costante, tirando una fune assicurata alla cassa con un angolo di 33° rispetto all'orizzontale. La massa della cassa è di 45 kg ed il coefficiente di attrito cinetico tra la cassa e il pavimento è 0,63. Determinare la tensione della fune."
Il moto della cassa è dato da $ F - mu mg = ma $, che diventa $ F - mu mg = 0 $ osservando che la velocità è costante.
La forza che agisce sulla cassa è la componente orizzontale della tensione T, cioé $ Tcostheta $.
Risulta: $ Tcostheta -mu mg = 0 $.
Il valore di T è -20,9 N.
2) "Un proiettile viene lanciato in aria con una velocità di 43 m/s. L'angolo formato con la componente orizzontale vale 35°. Dopo un certo tempo t, il corpo tocca terra. Calcolare l'altezza massima raggiunta dal proiettile, la gittata, il tempo trascorso prima che tocchi terra e i vettori velocità e accelerazione nel punto di altezza massima."
Per l'altezza massima: $ h = (v^2sen^2theta)/(2g) $.
Ottengo 17.3 m.
Per la gittata: $ x = (2vcosthetavsentheta)/g $.
Ottengo 146 m.
Per il tempo di volo: $ t = (2vsentheta)/g $.
Ottengo 3.75 s. (Anche se in realtà sarebbe un valore negativo. E' giusto prenderlo comunque come positivo?)
Il vettore velocità nel punto di altezza massima non ha componente verticale.
$ v_x = v_0costheta $.
In modulo, 35,22 m/s.
Il vettore accelerazione ha solo la componente verticale, ed equivale a $ -ghat(u_y) $.
3) "In un luna park, un ragazzo di massa m = 70 kg viene spinto contro la parete interna di un cilindro (R = 2 m) che ruota attorno al proprio asse ed è tenuto su dall'attrito quando il pavimento del cilindro si abbassa sotto i suoi piedi. La velocità della giostra è di 1.1 giri al secondo. Calcolare il valore del coefficiente d'attrito."
La frequenza è f = 1.1 Hz. La trasformo in velocità angolare trovando il periodo T = 1/(1.1) = 0.90 s e calcolando w = 2π/T = 6.9 rad/s.
La forza d'attrito agisce da forza centripeta e deve equilibrare la forza peso, quindi $ mu momega ^2r = mg $.
Il coefficiente d'attrito vale 0.10.
Inoltre ho una domanda: cosa succederebbe se il coefficiente di attrito fosse superiore a 0.10?
1) "Una ragazza trascina una cassa su un pavimento orizzontale con velocità costante, tirando una fune assicurata alla cassa con un angolo di 33° rispetto all'orizzontale. La massa della cassa è di 45 kg ed il coefficiente di attrito cinetico tra la cassa e il pavimento è 0,63. Determinare la tensione della fune."
Il moto della cassa è dato da $ F - mu mg = ma $, che diventa $ F - mu mg = 0 $ osservando che la velocità è costante.
La forza che agisce sulla cassa è la componente orizzontale della tensione T, cioé $ Tcostheta $.
Risulta: $ Tcostheta -mu mg = 0 $.
Il valore di T è -20,9 N.
2) "Un proiettile viene lanciato in aria con una velocità di 43 m/s. L'angolo formato con la componente orizzontale vale 35°. Dopo un certo tempo t, il corpo tocca terra. Calcolare l'altezza massima raggiunta dal proiettile, la gittata, il tempo trascorso prima che tocchi terra e i vettori velocità e accelerazione nel punto di altezza massima."
Per l'altezza massima: $ h = (v^2sen^2theta)/(2g) $.
Ottengo 17.3 m.
Per la gittata: $ x = (2vcosthetavsentheta)/g $.
Ottengo 146 m.
Per il tempo di volo: $ t = (2vsentheta)/g $.
Ottengo 3.75 s. (Anche se in realtà sarebbe un valore negativo. E' giusto prenderlo comunque come positivo?)
Il vettore velocità nel punto di altezza massima non ha componente verticale.
$ v_x = v_0costheta $.
In modulo, 35,22 m/s.
Il vettore accelerazione ha solo la componente verticale, ed equivale a $ -ghat(u_y) $.
3) "In un luna park, un ragazzo di massa m = 70 kg viene spinto contro la parete interna di un cilindro (R = 2 m) che ruota attorno al proprio asse ed è tenuto su dall'attrito quando il pavimento del cilindro si abbassa sotto i suoi piedi. La velocità della giostra è di 1.1 giri al secondo. Calcolare il valore del coefficiente d'attrito."
La frequenza è f = 1.1 Hz. La trasformo in velocità angolare trovando il periodo T = 1/(1.1) = 0.90 s e calcolando w = 2π/T = 6.9 rad/s.
La forza d'attrito agisce da forza centripeta e deve equilibrare la forza peso, quindi $ mu momega ^2r = mg $.
Il coefficiente d'attrito vale 0.10.
Inoltre ho una domanda: cosa succederebbe se il coefficiente di attrito fosse superiore a 0.10?
Risposte
Non ci sei.
Sul primo devi fare un diagramma di corpo libero. Ti accorgerai che la reazione del piano non e' mg e quindi la forza d'attrito non e' $mumg$ (e' minore).
Per il secondo esercizio, l'altezza va bene, il tempo di volo va bene, la gittata no (probabilmente un errore di battitura, dovrebbe essere $v^2% non $v$. Il resto OK.
Il terzo non va bene. Intanto puoi convertire direttamente giri al secondo in velocita' angolare, senza passare per frequenza: 1.1 g/sec = 1.1*2pi [rad]/[sec]=6.9$ (il tuo metodo va bene, ma perche' complicarsi la vita?)
La forza d' attrito e' verticale: non puo essere centripeta!
In un sistema di riferimento fisso, il ragazzo percorre una circonferenza e quindi ha un'accelerazione centripeta $omega^2R$ essendo soggetto solo all'azione della reazione del cilindro N. Quindi $N=momega^2R$.
Lungo la verticale le forze sono 2: la forza peso e la forza d'attrito e queste devono essere identiche per garantire l'equilibrio.
La forza d'attrito e' $F_a=muN=mumomega^2R$
Quindi $mg=mumomega^2R$, da cui ricavi il coefficiente minimo $mu=g/(omega^2R)$ per garantire l'equilibrio a quella velocita' angolare. Se il coefficiente d'attrito e' piu' alto puoi diminuire $omega$ e il ragazzo non scivolera' (esistera' comunque un valore minimo della velocita' al di sotto della quale comincia lo scivolamento)
Sul primo devi fare un diagramma di corpo libero. Ti accorgerai che la reazione del piano non e' mg e quindi la forza d'attrito non e' $mumg$ (e' minore).
Per il secondo esercizio, l'altezza va bene, il tempo di volo va bene, la gittata no (probabilmente un errore di battitura, dovrebbe essere $v^2% non $v$. Il resto OK.
Il terzo non va bene. Intanto puoi convertire direttamente giri al secondo in velocita' angolare, senza passare per frequenza: 1.1 g/sec = 1.1*2pi [rad]/[sec]=6.9$ (il tuo metodo va bene, ma perche' complicarsi la vita?)
La forza d' attrito e' verticale: non puo essere centripeta!
In un sistema di riferimento fisso, il ragazzo percorre una circonferenza e quindi ha un'accelerazione centripeta $omega^2R$ essendo soggetto solo all'azione della reazione del cilindro N. Quindi $N=momega^2R$.
Lungo la verticale le forze sono 2: la forza peso e la forza d'attrito e queste devono essere identiche per garantire l'equilibrio.
La forza d'attrito e' $F_a=muN=mumomega^2R$
Quindi $mg=mumomega^2R$, da cui ricavi il coefficiente minimo $mu=g/(omega^2R)$ per garantire l'equilibrio a quella velocita' angolare. Se il coefficiente d'attrito e' piu' alto puoi diminuire $omega$ e il ragazzo non scivolera' (esistera' comunque un valore minimo della velocita' al di sotto della quale comincia lo scivolamento)
1) $ F-mu mgcos33=0 rArr Tcos33-mgcos33=0 rArr T =mg $
Va meglio?
3) Non so se ho capito.
Quando un corpo percorre una circonferenza, è sottoposto ad una forza centripeta $ mv^2/r $ e ad una forza d'attrito $ mu mv^2/r $ . Giusto?
Quindi, per risolvere questo problema, poiché la forza centripeta deve vincere sulla forza d'attrito per tenere il ragazzo al centro della circonferenza, imponi che la forza d'attrito sia in modulo uguale solamente alla forza peso, cioè contrasti solo la forza peso per impedire la caduta in verticale, ma non la forza centripeta.
Ho capito bene?
Va meglio?
3) Non so se ho capito.
Quando un corpo percorre una circonferenza, è sottoposto ad una forza centripeta $ mv^2/r $ e ad una forza d'attrito $ mu mv^2/r $ . Giusto?
Quindi, per risolvere questo problema, poiché la forza centripeta deve vincere sulla forza d'attrito per tenere il ragazzo al centro della circonferenza, imponi che la forza d'attrito sia in modulo uguale solamente alla forza peso, cioè contrasti solo la forza peso per impedire la caduta in verticale, ma non la forza centripeta.
Ho capito bene?
No.
In orizzontale, $Tcostheta-F_a=0$ ($F_a$ e' la forza d'attrito
$Tsintheta+N-mg=0$ (N e' la reazione del piano)
$F_a=muN$
3. No, hai frainteso il testo, ovviamente non hai mai visto un "vorticator". E' un cilindro con asse verticale in cui ti metti dentro contro la parete del cilindro stesso. Comincia a ruotare, e a un certo punto il fondo si apre. Tu resti appesa perche la forza d'attrito (verticale) si oppone al tuo peso. E la forza d'attrito e' proporzionale alla reazione che la parete del cilindro esercita su di te, che e' centripeta (perche tu hai un'accelerazione centripeta, in un sdr inerziale).
In orizzontale, $Tcostheta-F_a=0$ ($F_a$ e' la forza d'attrito
$Tsintheta+N-mg=0$ (N e' la reazione del piano)
$F_a=muN$
3. No, hai frainteso il testo, ovviamente non hai mai visto un "vorticator". E' un cilindro con asse verticale in cui ti metti dentro contro la parete del cilindro stesso. Comincia a ruotare, e a un certo punto il fondo si apre. Tu resti appesa perche la forza d'attrito (verticale) si oppone al tuo peso. E la forza d'attrito e' proporzionale alla reazione che la parete del cilindro esercita su di te, che e' centripeta (perche tu hai un'accelerazione centripeta, in un sdr inerziale).
1) Scusami, non so perché ma nella risposta ho perso il coefficiente per strada.
Quello che ho capito è: la componente Tcosα è in modulo uguale a Fa. La forza peso P è uguale a N + Tsenα.
Per risolvere il problema impongo Tcosα = Fa, cioé $ Tcostheta = mu N $.
Poiché N = P - Tsenα, ottengo $ Tcostheta = mu (mg-Tsentheta) $ e quindi $ T = (mu mg)/(costheta + mu sentheta) $.
Ho sbagliato ancora?
Andrebbe bene questo disegno come rappresentazione?
Quello che ho capito è: la componente Tcosα è in modulo uguale a Fa. La forza peso P è uguale a N + Tsenα.
Per risolvere il problema impongo Tcosα = Fa, cioé $ Tcostheta = mu N $.
Poiché N = P - Tsenα, ottengo $ Tcostheta = mu (mg-Tsentheta) $ e quindi $ T = (mu mg)/(costheta + mu sentheta) $.
Ho sbagliato ancora?
Andrebbe bene questo disegno come rappresentazione?
Avevo perso un segno di dollaro nella mia risposta. Ho corretto. Si, ora tutto ok
E se volessi trovare l'equazione del moto, sarebbe questa?
$ T - F_A = ma rArr T - mu (mg-Tsentheta) = ma $
$ T - F_A = ma rArr T - mu (mg-Tsentheta) = ma $
Banalmente $Tcostheta-F_a=ma$. Il che ti da' $a=0$
Okay, quindi:
l'attrito è dato da $ mu (mg-Tsentheta) $, con $ mg-Tsentheta = N $ perché la reazione N non è in modulo solo uguale a P, come quando il corpo è sottoposto ad una forza orizzontale, ma bisogna tenere conto della componente verticale di T, che "aiuta" N a contrastare il peso del corpo.
Il moto è dato dalla componente orizzontale di T, che sposta il corpo, a cui sottraiamo la forza d'attrito. Poiché la velocità è costante, le due sono in modulo uguali. Se non fosse stata costante, $ Tcostheta $ sarebbe stata maggiore dell'attrito e avrei ottenuto una risultante con $ a != 0 $.
l'attrito è dato da $ mu (mg-Tsentheta) $, con $ mg-Tsentheta = N $ perché la reazione N non è in modulo solo uguale a P, come quando il corpo è sottoposto ad una forza orizzontale, ma bisogna tenere conto della componente verticale di T, che "aiuta" N a contrastare il peso del corpo.
Il moto è dato dalla componente orizzontale di T, che sposta il corpo, a cui sottraiamo la forza d'attrito. Poiché la velocità è costante, le due sono in modulo uguali. Se non fosse stata costante, $ Tcostheta $ sarebbe stata maggiore dell'attrito e avrei ottenuto una risultante con $ a != 0 $.
yes
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