Esercizi di Teorie relativistiche.
Salve a tutti, ho queste due domande di Teorie Relativistiche dove non riesco a trovare una soluzione. Qui di seguito il testo:
ESERCIZIO 1
Il campo elettromagnetico nel sistema di riferimento $\Sigma$ è dato da:
$E_x= 0$, $E_y= E_0 sink(xcos\theta + zsin\theta - ct)$, $E_z = 0$
$B_x= (E_0)/(c)cos\theta sink(xcos\theta + zsin\theta - ct)$, $B_y= 0$, $B_z = -((E_0)/(c))sin\theta*sink(xcos\theta + zsin\theta - ct)$.
$a)$ Individuare il versore di propagazione della corrispondente onda piana in $\Sigma$;
$b)$ determinare le relazioni che legano $k$ al numero d'onda $k'$ dell'onda piana rispetto a $\Sigma'$
$c)$ Determinare il versore di propagazione $n'$ rispetto a $\Sigma'$.
ESERCIZIO 2
Nella regione $x>0$ il potenziale scalare è $\phi= -\lambda ln|ax - bt|$ e il potenziale vettore è $A= 0$.
$a)$ Verificare che l'hamiltoniano di una carica lentamente accelerata dal campo elettromagnetico corrispondente a questi potenziali non è una costante del moto;
$b)$ individuare un sistema di riferimento in cui l'hamiltoniana è una costante del moto;
$c)$ se la carica all'istante $t= 0$ è ferma in $(x_0, 0, 0)$, con $x_0> 0$, determinarne la velocità quando occupa il punto $(x_0, 0, 0)$, con $x > 0$
$d)$ con le condizioni iniziali date in $c$, trovare la legge del moto $x(t)$.
Per il secondo esercizio il punto $a$ sono riuscito a svolgerlo ponendo la derivata della Lagrangiana diversa da zero. Ed effettivamente esce così.
Per il punto $b$ ho pensato di applicare prima l'equazione $(\partial L) / (\partial t) = 0$ ma non sono molto convinto da questa ipotesi... Ho pensato anche di applicare le coordinate euleriane... Ma sto andando troppo per ipotesi...
Al terzo punto invece so che dovrei ricavare la velocità considerando prima il sistema dove l'Hamiltoniana è costante e poi "trasportarlo" nel sistema iniziale. Il quarto punto vuoto semi totale...
Storia simile invece per il secondo esercizio..
Applicherei le nozioni di onda piana con l'effetto onda piana, ma come si evince un pò da come ho scritto prima, ho lacune abbastanza evidenti in materia...
E' l'ultimo esame della triennale e sto cercando di prepararlo (purtroppo) in fretta e furia per poter accedere alla seduta di Luglio...
Scusate se sono andato quindi fuori regolamento e vi ringrazio per l'attenzione!
ESERCIZIO 1
Il campo elettromagnetico nel sistema di riferimento $\Sigma$ è dato da:
$E_x= 0$, $E_y= E_0 sink(xcos\theta + zsin\theta - ct)$, $E_z = 0$
$B_x= (E_0)/(c)cos\theta sink(xcos\theta + zsin\theta - ct)$, $B_y= 0$, $B_z = -((E_0)/(c))sin\theta*sink(xcos\theta + zsin\theta - ct)$.
$a)$ Individuare il versore di propagazione della corrispondente onda piana in $\Sigma$;
$b)$ determinare le relazioni che legano $k$ al numero d'onda $k'$ dell'onda piana rispetto a $\Sigma'$
$c)$ Determinare il versore di propagazione $n'$ rispetto a $\Sigma'$.
ESERCIZIO 2
Nella regione $x>0$ il potenziale scalare è $\phi= -\lambda ln|ax - bt|$ e il potenziale vettore è $A= 0$.
$a)$ Verificare che l'hamiltoniano di una carica lentamente accelerata dal campo elettromagnetico corrispondente a questi potenziali non è una costante del moto;
$b)$ individuare un sistema di riferimento in cui l'hamiltoniana è una costante del moto;
$c)$ se la carica all'istante $t= 0$ è ferma in $(x_0, 0, 0)$, con $x_0> 0$, determinarne la velocità quando occupa il punto $(x_0, 0, 0)$, con $x > 0$
$d)$ con le condizioni iniziali date in $c$, trovare la legge del moto $x(t)$.
Per il secondo esercizio il punto $a$ sono riuscito a svolgerlo ponendo la derivata della Lagrangiana diversa da zero. Ed effettivamente esce così.
Per il punto $b$ ho pensato di applicare prima l'equazione $(\partial L) / (\partial t) = 0$ ma non sono molto convinto da questa ipotesi... Ho pensato anche di applicare le coordinate euleriane... Ma sto andando troppo per ipotesi...
Al terzo punto invece so che dovrei ricavare la velocità considerando prima il sistema dove l'Hamiltoniana è costante e poi "trasportarlo" nel sistema iniziale. Il quarto punto vuoto semi totale...
Storia simile invece per il secondo esercizio..
Applicherei le nozioni di onda piana con l'effetto onda piana, ma come si evince un pò da come ho scritto prima, ho lacune abbastanza evidenti in materia...
E' l'ultimo esame della triennale e sto cercando di prepararlo (purtroppo) in fretta e furia per poter accedere alla seduta di Luglio...
Scusate se sono andato quindi fuori regolamento e vi ringrazio per l'attenzione!
Risposte
Roba tosta, occorrerebbero conocenze profonde e consolidate (io sono molto arrugginito su 'ste cose)... Nel primo esercizio, hai calcolato $ \bold{n}$ ?
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