Esercizi di Fisica 2

[davidcape1]

2) Calcolare il valore del campo elettromagnetico al centro di un guscio sferico rotante com pulsazione $ Omega $ =5 Hz, di carica totale Q=3C e raggio R=10 cm. Si ricorda che una striscia dl guscio sferico posta su un parallelo all'angolo $ beta $ (misurato rispetto all'equatore) ha larghezza infinitesima pari a $ R*dbeta $ .

[quirino2]

Ok, sono arrivato a risolvere il problema della sfera in rotazione tramite la legge di Biot-Savart:

[*:26atskts]avevo detto che $\vec j\ =\ (0,\sigma\omega R\sin\theta,\ 0)$, e questo e' vero, ma quell'espressione e' in coordinate polari sferiche, per ricordarcelo usiamo i versori associati a tali coordinate ed abbiamo $\vec j\ =\ \sigma\omega R\sin\theta\ \hat e_\phi$.[/*:m:26atskts]
[*:26atskts]avevo detto anche che il vettore che va dal centro del sistema di riferimento al generico trattino infinitesimo di corrente e' $(P-O)\ =\ (R\sin\theta\cos\phi,\ R\sin\theta\sin\phi,\ R\cos\theta)$, e anche questo e' vero, ma in questo caso sto usando le coordinate cartesiane, usando i vettori associati abbiamo $(P-O)\ =\ (R\sin\theta\cos\phi\ \hat e_x\ +\ \ R\sin\theta\sin\phi \hat e_y\ +\ R\cos\theta\ \hat e_z$[/*:m:26atskts][/list:u:26atskts]

il prodotto vettore che quindi facevo qualche post fa era sbagliato, bisogna infatti o passare prima tutto in coordinate polari sferiche (ma questo e' scomodo perche' poi nell'integrale bisognerebbe integrare anche i versori), o tutto in coordinate cartesiane. Scegliamo quest'ultima via: trasformiamo la densita' di corrente
[tex]\vec j\ =\ \sigma\omega R\sin\theta\ \hat e_\phi\ =\ \sigma\omega R\sin\theta\ (-\sin\phi\ \hat e_x\ +\ \cos\phi\ \hat e_y)$[/tex]

facendo adesso il prodotto vettore $\vec j\wedge (P-O)$ abbiamo

[tex]\vec j\wedge (P-O)\ =\ \sigma\omega R^2\sin\theta (\cos\phi\cos\theta \hat e_x\ +\ \sin\phi\cos\theta\ \hat e_y\ -\ (\sin^2\phi\sin\theta\ +\ \cos^2\phi\sin\theta)\ \hat e_z)[/tex]

e a questo punto il gioco e' fatto: immaginando di calcolare il campo magnetico per le tre componenti $x,y,z$ tramite la legge di Biot-Savart $ B_i\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec j\wedge (P-O)}{|P-O|^3}\ \cdot \hat e_i\ d\Omega$, dove con $\Omega$ intendiamo il dominio sul quale scorre la corrente (la superficie sferica), per le prime due componenti x e y l'integrale sara' nullo, facendo per esempio quello per la componente x abbiamo

[tex]B_x\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sigma\omega R^2\sin\theta (\cos\phi\cos\theta)\ R^2\sin\theta\ d\phi\ d\theta\ =\ 0[/tex]

per la componente z invece abbiamo

[tex]B_z\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sigma\omega R^2\sin\theta (-\sin\theta)\ R^2\sin\theta\ d\phi\ d\theta\\ =\ \frac{\mu_0}{2}\ \sigma\omega R\ \int_0^\pi (-\sin^3\theta)\ d\theta[/tex]

che e' proprio il risultato cercato (e trovato tramite la suddivisione in anelli)

[davidcape1]

Confermo, ho rifatto i calcoli, grazie. Speriamo di non aver bisogno di riguardare questa materia, sto aspettando il risultato dell'esame