Esercizi di Fisica 2
2) Calcolare il valore del campo elettromagnetico al centro di un guscio sferico rotante com pulsazione $ Omega $ =5 Hz, di carica totale Q=3C e raggio R=10 cm. Si ricorda che una striscia dl guscio sferico posta su un parallelo all'angolo $ beta $ (misurato rispetto all'equatore) ha larghezza infinitesima pari a $ R*dbeta $ .
Risposte
Scusa ma il regolamento prevede che il testo debba essere scritto per esteso. Non puoi pubblicare semplicemente una immagine (magari per descrivere il sistema l'immagine va bene, ma il testo va scritto a mano).
Inoltre, almeno da dove cominciare dovresti saperlo....senno mi fai pensare che non hai presenti nemmeno i fondamenti della teoria. Prova a pensare: da cosa è generato un campo magnetico? Come è fatto il tuo sistema? Pensa poi agli esempi fondamentali di campo magnetico...
Inoltre, almeno da dove cominciare dovresti saperlo....senno mi fai pensare che non hai presenti nemmeno i fondamenti della teoria. Prova a pensare: da cosa è generato un campo magnetico? Come è fatto il tuo sistema? Pensa poi agli esempi fondamentali di campo magnetico...
Provvederò a riscrivere il testo. Scusami ma sono sotto esame, lavoro, e ho ripreso a studiare da poco dopo qualche anno. Capisco, i regolamenti sono regolamenti e che probabilmente faccio domande banali ma se sapevo come fare non ero qui a farle. 
Per quanto riguarda l'esercizio 2, posso tagliare via le parti superiore e inferiore della sfera e considerare la striscia come se fosse un anello? Poi prendo e calcolo il campo magnetico sull'asse? Dico eresie?
Alura, vediamo di non dire qualche altra eresia, comunque io la prima cosa che farei e' calcolarmi la densita' di corrente $\vec j$ sulla sfera, dato che so essere distribuita sulla stessa una carica, che suppongo sia uniformemente distribuita ho che la distribuzione superficiale di carica sara' [tex]\sigma = \frac{Q}{S_{sfera}}[/tex]
a questo punto avendo la distribuzione di carica (superficiale) dovrei riusicre a trovare la densita' di corrente (dove dl e' la frontiera che pongo per calcolare la carica che la attraversa, che dovra' essere un pezzettino infinitesimo di meridiano)
[tex]|j|\ =\ \frac{\sigma\ dS}{dl\ dt}\ =\ \frac{\sigma\ r^2\ \sin\theta\ d\theta\ d\phi}{r\ d\theta dt}\ =\ \sigma r\ \sin\theta\ \frac{d\phi}{dt}\ =\ \sigma r\ \sin\theta\ \omega[/tex]
(con $\theta$ ho indicato la colatitudine, ovvero la latitudine misurata dall'asse polare, e non dall'equatore come suggerisce l'esercizio con $\beta$)
avendo la densita' di corrente bisognerebbe poter arrivare al campo magnetico, ma qua mi fermo per non sparare qualche bomba, e ci penso un attimo ...
a questo punto avendo la distribuzione di carica (superficiale) dovrei riusicre a trovare la densita' di corrente (dove dl e' la frontiera che pongo per calcolare la carica che la attraversa, che dovra' essere un pezzettino infinitesimo di meridiano)
[tex]|j|\ =\ \frac{\sigma\ dS}{dl\ dt}\ =\ \frac{\sigma\ r^2\ \sin\theta\ d\theta\ d\phi}{r\ d\theta dt}\ =\ \sigma r\ \sin\theta\ \frac{d\phi}{dt}\ =\ \sigma r\ \sin\theta\ \omega[/tex]
(con $\theta$ ho indicato la colatitudine, ovvero la latitudine misurata dall'asse polare, e non dall'equatore come suggerisce l'esercizio con $\beta$)
avendo la densita' di corrente bisognerebbe poter arrivare al campo magnetico, ma qua mi fermo per non sparare qualche bomba, e ci penso un attimo ...
Senti ma se noi consideriamo la corrente infinitesima che scorre in una spira equivalente al nostro sistema e poi troviamo il momento magnetico associato alla spira e poi integriamo su tutta la superficie della sfera possiamo trovarci il momento magnetico totale. La sfera dovrebbe comportarsi come un dipolo (credo). Dico ancora eresie? Guarda che sembra semplice ma non lo è.
una volta che abbiamo il momento magnetico totale e la corrente ricaviamo il campo. Non mi metto a fare i calcoli adesso perchè non so se è giusto quanto ho detto e aspetto conferma.
mi piace la tua idea di anello infinitesimo: piu' che considerare il momento magnetico io suddividerei la sfera in un'infinita' (continua) di anelli sui quali scorre una certa corrente. Calcolarsi poi il campo magnetico di un anello e' una cosa umana...
il problema e' che ogni anello ha una distanza assiale diversa dal centro della sfera...
il problema e' che ogni anello ha una distanza assiale diversa dal centro della sfera...
Chiaramente potremmo calcolare il campo magnetico nel modo tradizionale tramite la legge di Biot-Savart:
$\vec B\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\ \int \frac{\vec j\wedge (\vec r\ -\ \vec r')}{|r-r'|^3}\ d\Omega$
ora, dato che il campo lo vuole al centro della sfera avremo che r (il vettore che va dall'origine del sistema di coordinate al punto in cui si vuole calcolare il campo magnetico) e' 0, r' invece dovrebbe essere il vettore che dal trattino infinitesimo di corrente arriva all'origine del sistema di coordinate, ma come si scrive, in coordinate sferiche, un punto di una superficie sferica? $(P-O)\ =\ (R\ \theta\ \phi)$? ci ripenso domani
P.S.: ho sonno ma invece la distribuzione di corrente, oltre ad avere il modulo di cui sopra, avra' componenti $\vec j\ =\ (0,0,\ \sigma\omega\ r\sin\theta)$, chiaramente sempre in coordinate sferiche, dove l'ultima componente e' la coordinata $phi$...
$\vec B\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\ \int \frac{\vec j\wedge (\vec r\ -\ \vec r')}{|r-r'|^3}\ d\Omega$
ora, dato che il campo lo vuole al centro della sfera avremo che r (il vettore che va dall'origine del sistema di coordinate al punto in cui si vuole calcolare il campo magnetico) e' 0, r' invece dovrebbe essere il vettore che dal trattino infinitesimo di corrente arriva all'origine del sistema di coordinate, ma come si scrive, in coordinate sferiche, un punto di una superficie sferica? $(P-O)\ =\ (R\ \theta\ \phi)$? ci ripenso domani
P.S.: ho sonno ma invece la distribuzione di corrente, oltre ad avere il modulo di cui sopra, avra' componenti $\vec j\ =\ (0,0,\ \sigma\omega\ r\sin\theta)$, chiaramente sempre in coordinate sferiche, dove l'ultima componente e' la coordinata $phi$...
"davidcape":
Senti ma se noi consideriamo la corrente infinitesima che scorre in una spira equivalente al nostro sistema e poi troviamo il momento magnetico associato alla spira e poi integriamo su tutta la superficie della sfera possiamo trovarci il momento magnetico totale
L'idea buona è proprio questa che hai espresso tu, ma attento a non confondere il momento magnetico con il campo magnetico. Il campo magnetico al centro della sfera è dato dalla somma dei campi magnetici generati dalle infinite spire (anelli orizzontali) in cui puoi suddividere idealmente la superficie sferica. Il campo magnetico generato da una singola spira circolare su un punto del suo asse è dato da una nota formula che trovi su tutti i libri di elettromagnetismo. Quindi basta fare l'integrale di quella formula su tutta la sfera.
Per determinare la corrente associata a ciascuna spira infinitesima basta considerare la carica totale presente sull'anello e dividerla per il tempo impiegato dalla sfera a fare un giro.
$ beta =(mu iota R^2)/(2(x^2+R^2)^(3/2) $ dovrebbe essere la formula in questione dove x esprime la coordinata del generico punto sull'asse della spira.
Dato che io voglio calcolare quanto vale nel centro pongo x =0 e ottengo
$ beta =(mu iota)/(2R) $
$ tau = (2pi)/(omega)= (6,28)/5=1,25 s $
adesso dovrei integrare la formula del campo su tutta la superficie della sfera giusto? va bene fino a qui? help...
ho 2 problemi
1)come si fa l'integrale sulla superficie sferica totale?
2)io ho la carica totale sulla sfera come faccio a trovare la carica sull'anello?
Dato che io voglio calcolare quanto vale nel centro pongo x =0 e ottengo
$ beta =(mu iota)/(2R) $
$ tau = (2pi)/(omega)= (6,28)/5=1,25 s $
adesso dovrei integrare la formula del campo su tutta la superficie della sfera giusto? va bene fino a qui? help...
ho 2 problemi
1)come si fa l'integrale sulla superficie sferica totale?
2)io ho la carica totale sulla sfera come faccio a trovare la carica sull'anello?
Inoltre per quanto riguarda l'esercizio 3 vediamo se ho capito:
La spira rettangolare in questione cade verso il basso con una certa accelerazione data dalla forza peso. Quando entra nel campo magnetico l'accelerazione verso il basso diminuisce perchè si contrappone alla forza peso una forza magnetica data dalla corrente indotta che ha un verso tale che il flusso che genera sia entrante nel foglio ( il campo dai dati del problema è entrante quindi quello autoindotto deve essere per forza uscente no?). Quando si parla di "velocità di caduta" si intende la velocità massima a regime che può raggiungere la spira tenendo conto della differenza tra l'accelerazione di gravità e la "frenatura" dovuta alla forza magnetica. In pratica è un moto viscoso? Dato che mi dice che la velocità di caduta la raggiunge dopo t=10s significa che a quel tempo è penetrata di 32 cm?? Ci sono fino a qui? Ho l'esame a breve i concetti credo di averli capiti il problema sono i calcoli...
Ci provo:
la spira cadendo verso il basso è sede di una f.e.m. indotta pari a
$ epsi=(delta phi) /(delta t)=LvB $
dove $ L $ è la forza di Lorenz $ B $ è il campo magnetico e $ v $ è la velocità
tale da far circolare nella spira una corrente $ iota $ in verso orario (è immersa in un campo magnetico uscente quindi il flusso del campo magnetico autoindotto deve contrapporsi per la legge di Lenz e, quindi, deve essere entrante). A causa di questa corrente, sul lato orizzontale della spira imerso nel campo magnetico nasce una forza $ F $ diretta verso l'alto definita come
$ F=iotaLB=(epsi/R)LB=(L^2B^2)/Rv $
Se applico la seconda legge della dinamica avremo
$ ma=mg-F rArr m(delv)/(delt)=mg-(L^2B^2)/Rv $
Dato che però mi dice il problema che raggiungerò una velocità tale che l'accelerazione si annullerà (quindi in quell'istante la forza di Lorenz sarà uguale alla forza peso in modulo ma con verso opposto) il termine differenziale si elide e avrò:
$ mg-(L^2B^2)/Rv=0 rArr V= $ 0,07 m/s $
il problema mi dice che la spira sarà penetrata di una lunghezza l=32 cm nella regione del campo magnetico al tempo t=10s con una velocità di caduta di 7 cm/s che avrà raggiunto proprio a quel tempo t. Ma allora non basta sostituire la velocità e ricavarmi B?
così non trovo proprio il campo che mi chiede? L'informazione di quanto è penetrata dentro sinceramente mi sembra superflua... e anche il tempo... quello che mi serve è sapere che avrà raggiunto la velocità limite...cosa sbaglio??
La spira rettangolare in questione cade verso il basso con una certa accelerazione data dalla forza peso. Quando entra nel campo magnetico l'accelerazione verso il basso diminuisce perchè si contrappone alla forza peso una forza magnetica data dalla corrente indotta che ha un verso tale che il flusso che genera sia entrante nel foglio ( il campo dai dati del problema è entrante quindi quello autoindotto deve essere per forza uscente no?). Quando si parla di "velocità di caduta" si intende la velocità massima a regime che può raggiungere la spira tenendo conto della differenza tra l'accelerazione di gravità e la "frenatura" dovuta alla forza magnetica. In pratica è un moto viscoso? Dato che mi dice che la velocità di caduta la raggiunge dopo t=10s significa che a quel tempo è penetrata di 32 cm?? Ci sono fino a qui? Ho l'esame a breve i concetti credo di averli capiti il problema sono i calcoli...
Ci provo:
la spira cadendo verso il basso è sede di una f.e.m. indotta pari a
$ epsi=(delta phi) /(delta t)=LvB $
dove $ L $ è la forza di Lorenz $ B $ è il campo magnetico e $ v $ è la velocità
tale da far circolare nella spira una corrente $ iota $ in verso orario (è immersa in un campo magnetico uscente quindi il flusso del campo magnetico autoindotto deve contrapporsi per la legge di Lenz e, quindi, deve essere entrante). A causa di questa corrente, sul lato orizzontale della spira imerso nel campo magnetico nasce una forza $ F $ diretta verso l'alto definita come
$ F=iotaLB=(epsi/R)LB=(L^2B^2)/Rv $
Se applico la seconda legge della dinamica avremo
$ ma=mg-F rArr m(delv)/(delt)=mg-(L^2B^2)/Rv $
Dato che però mi dice il problema che raggiungerò una velocità tale che l'accelerazione si annullerà (quindi in quell'istante la forza di Lorenz sarà uguale alla forza peso in modulo ma con verso opposto) il termine differenziale si elide e avrò:
$ mg-(L^2B^2)/Rv=0 rArr V= $ 0,07 m/s $
il problema mi dice che la spira sarà penetrata di una lunghezza l=32 cm nella regione del campo magnetico al tempo t=10s con una velocità di caduta di 7 cm/s che avrà raggiunto proprio a quel tempo t. Ma allora non basta sostituire la velocità e ricavarmi B?
così non trovo proprio il campo che mi chiede? L'informazione di quanto è penetrata dentro sinceramente mi sembra superflua... e anche il tempo... quello che mi serve è sapere che avrà raggiunto la velocità limite...cosa sbaglio??
"davidcape":
Dato che io voglio calcolare quanto vale nel centro pongo x =0
Bè no...Tieni presente che tu devi calcolare B nel centro della sfera, ma tale punto non corrisponde al centro di tutte le spire che formano la sfera. Se consideri un asse x verticale che passa per il centro della sfera, con l'origine nel centro della sfera, per ogni anello della sfera che si trova a quota x, il centro della sfera si troverà sull'asse della spira proprio a distanza x e quindi questa distanza deve rimanere nella formula.
Per questo problema ti conviene usare coordinate sferiche invece che cartesiane. In queste coordinate, $\theta$ indica l'angolo tra il vettore posizione di un punto sulla sfera e l'asse verticale.
"davidcape":
)io ho la carica totale sulla sfera come faccio a trovare la carica sull'anello?
Se $Q$ è la carica totale, allora la densità superficiale di carica sulla sfera è $\sigma =\frac{Q}{4\pi R^2}$
La superficie dell'anello corrispondente all'angolo $\theta$ è quella di un rettangolo (...immagina di tagliare l'anello e distenderlo su un piano) di base pari alla circonferenza dell'anello (pari a $2\pi R\sin\theta$) ed altezza $Rd\theta$ quindi la superficie dell'anello è $dS=2\pi R^2\sin\theta d\theta$. La carica sull'anello è quindi $dQ=\sigma dS=\frac{Q}{2}\sin\theta d\theta$
La corrente infinitesima associata all'anello è quindi $di=\frac{dQ}{\tau}$ dove $\tau=\frac{2\pi}{\omega}$ è il periodo di rotazione della sfera.
In conclusione, il campo infinitesimo generato nel centro della sfera dall'anello in posizione $\theta$ è dato da
\(\displaystyle dB=\frac{\mu_0 (R\sin\theta)^2di}{2((R\cos\theta)^2+(R\sin\theta)^2)^\frac{3}{2}}= \frac{\mu_0 (R\sin\theta)^2di}{2(R^2)^\frac{3}{2}}=\frac{\mu_0 (R\sin\theta)^2di}{2R^3}=\frac{\mu_0 \sin^2\theta di}{2R}=\frac{\omega Q \mu_0 \sin^3\theta d\theta}{8\pi R}\)
Ora devi integrare $dB$ nella variabile $theta$ tra $0$ e $\pi$. Per il calcolo ti sarà utile sapere che
$\int sin^3(x) dx = 1/12 (cos(3 x)-9 cos(x))$
grazie Mathbells... per l'esercizio 3 qualcuno sa dirmi se il mio ragionamento è corretto??
Sono d'accordo con voi che il metodo di suddivisione in anelli e' il migliore per questo tipo di problema, pero' ora mi sono incaponito a farlo con la definizione classica di biot-savart per conduttori di forma qualsiasi e vorrei venirne fuori
Sto cercando di applicare questa equazione $\vec B\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\ \int_\Omega \frac{\vec j\ \wedge\ (\vec r\ -\ vec r')}{|r-r'|^3}\ d\Omega$, dove $\Omega$ e' la regione in cui scorre la corrente.
Presa $\sigma=\frac{Q}{4\piR^2}$ costante su tutta la sfera, e calcolata la densita' lineare di corrente $j$ che in coordinate sferiche dovrebbe avere la forma $\vec j\ =\ (0,\ \sigma\omega R\sin\theta,0)$, con $\omega$ velocita' angolare di rotazione e $\theta$ colatitudine del sistema sferico, immaginando di centrare il mio sistema di riferimento proprio nel centro della sfera avro' che
Sto cercando di applicare questa equazione $\vec B\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\ \int_\Omega \frac{\vec j\ \wedge\ (\vec r\ -\ vec r')}{|r-r'|^3}\ d\Omega$, dove $\Omega$ e' la regione in cui scorre la corrente.
Presa $\sigma=\frac{Q}{4\piR^2}$ costante su tutta la sfera, e calcolata la densita' lineare di corrente $j$ che in coordinate sferiche dovrebbe avere la forma $\vec j\ =\ (0,\ \sigma\omega R\sin\theta,0)$, con $\omega$ velocita' angolare di rotazione e $\theta$ colatitudine del sistema sferico, immaginando di centrare il mio sistema di riferimento proprio nel centro della sfera avro' che
[*:1m3ol8bq]il vettore $\vec r$ che congiunge il centro del sistema di riferimento con il punto in cui voglio calcolare il campo e' nullo (il centro del sistema e il punto in cui calcolo B coincidono[/*:m:1m3ol8bq]
[*:1m3ol8bq]i vettori $\vec r'$ che congiunge il centro del sistema di riferimento con l'elemento di corrente infinitesimo sono tutti i vettori che vanno dal centro della sfera alla superficie sferica, li indico con $(P-O)$ e in coordinate sferiche dovrebbero avere l'espressione $(R\sin\theta\cos\phi,\ R\sin\theta\sin\phi,\ R\cos\theta)$ (e di questo diciamo che non sono proprio sicurissimo) [/*:m:1m3ol8bq][/list:u:1m3ol8bq]
per applicare la definizione di cui sopra devo effettuare il prodotto vettore $\vec j\ \wedge\ (P-O)$ che sara'
[tex]\begin{array}{l}
\vec j\ =\ (0,\ \sigma\omega R\sin\theta,0)\\
P-O\ =\ (R\sin\theta\cos\phi,\ R\sin\theta\sin\phi,\ R\cos\theta)
\end{array}\\
\\
\vec j\ \wedge\ (P-O)\ =\ (\sigma\omega\ R^2\sin\theta\cos\theta,\ 0,\ \sigma\omega\ R^2\sin^2\theta\cos\phi)$[/tex]
Il modulo del vettore $|vec r\ -\ \vec r'|$ che va al denominatore e' proprio R. A questo punto il campo magnetico potrebbe avere due componenti, $B_r,\ B_z$, facciamo i conti
[tex]B_r\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\ \int_0^\pi\int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega\ R^2\sin\theta\cos\theta}{R^3}\ R^2\sin\theta\ d\theta\ d\phi\\
B_z\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\ \int_0^\pi\int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega\ R^2\sin^2\theta\cos\phi}{R^3}\ R^2\sin\theta\ d\theta\ d\phi[/tex]
come potete vedere nella componente $B_z$ mi compare il termine $\sin^3\theta$, ma e' accompagnato dal suo scomodo amico $\cos\phi$, che se integrato da 0 a $2\pi$, ovvero su tutte le circonferenze della sfera, da' 0 come risultato, cosa sbaglio??
"davidcape":
Dato che però mi dice il problema che raggiungerò una velocità tale che l'accelerazione si annullerà (quindi in quell'istante la forza di Lorenz sarà uguale alla forza peso in modulo ma con verso opposto) il termine differenziale si elide e avrò:
$ mg-(L^2B^2)/Rv=0 rArr V= $ 0,07 m/s $
il problema mi dice che la spira sarà penetrata di una lunghezza l=32 cm nella regione del campo magnetico al tempo t=10s con una velocità di caduta di 7 cm/s che avrà raggiunto proprio a quel tempo t. Ma allora non basta sostituire la velocità e ricavarmi B?
così non trovo proprio il campo che mi chiede? L'informazione di quanto è penetrata dentro sinceramente mi sembra superflua... e anche il tempo... quello che mi serve è sapere che avrà raggiunto la velocità limite...cosa sbaglio??
sembrerebbe che tu abbia ragione, sari che per t=0 $B=0$, per t=10s $B=\sqrt{\frac{Rmg}{l^2v(10s)}}$, la legge con cui varia il campo magnetico e' lineare e di equazione $B=B_0t$, quindi devi trovare solamente il coefficiente angolare della retta dati due punti ...
mah ...
altre opinioni? vorrei essere sicuro sinceramente dato che domani ho l'esame... grazie comunque caesar il tuo parere mi rincuora non di poco!
ASPETTA!!!!
e' sbagliata l'applicazione della terza legge di Maxwell!!!
sappiamo che
[tex]\Phi(\vec B)\ =\ B(t)l x(t)\ =\ B_0tlx(t)[/tex]
ergo applicando la terza legge di maxwell per trovare la fem indotta abbiamp
[tex]\mathcal E\ =\ -\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}\ =\ - (B_0lx(t)\ +\ B_0tl\dot x(t))[/tex]
(con x ho indicato l'asse lungo il quale la spira scivola) ed ecco che l'informazione x(10s)=32 cm diventa assolutamente utile!!!!
e' sbagliata l'applicazione della terza legge di Maxwell!!!
sappiamo che
[tex]\Phi(\vec B)\ =\ B(t)l x(t)\ =\ B_0tlx(t)[/tex]
ergo applicando la terza legge di maxwell per trovare la fem indotta abbiamp
[tex]\mathcal E\ =\ -\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}\ =\ - (B_0lx(t)\ +\ B_0tl\dot x(t))[/tex]
(con x ho indicato l'asse lungo il quale la spira scivola) ed ecco che l'informazione x(10s)=32 cm diventa assolutamente utile!!!!
Ok, forse ora ce l'ho: quando l'accelerazione si annulla valgono le seguenti relazioni (le prime due in realta' valgono per ogni t)
[tex]\left\{\begin{array}{l}
\mathcal{E}\ =\ B_0lx(t)\ +\ B_0tl\dot x(t)\\
I\ =\ \frac{\mathcal{E}}{R}\ =\ \frac{B_0lx(t)\ +\ B_0tl\dot x(t)}{R}\\
F_{lor}\ -\ mg\ =\ 0\ \rightarrow\ I\ lB(t)\ -\ mg\ =\ 0
\end{array}\right.[/tex]
a questo punto mettiamo l'espressione della corrente nella terza equazione, dove l'unica incognita sara' $B_0$, dato che $x(10s) =\ 32\ cm,\ \dot x (10s) = 7\ {cm}/{s}$
[tex]\frac{B_0lx(\hat t)\ +\ B_0tl\dot x(\hat t)}{R}\ lB_0t\ -\ mg\ =\ 0 \rightarrow\ B_0^2\ \left(\frac{l^2x(\hat t)\bar t}{R}\ +\ \frac{\hat t^2l^2\dot x(\hat t)}{R}\right)\ =\ mg[/tex]
risolvendo rispetto a $B_0$ dovremmo aver vinto...
P.S.: rifai i conti per sicurezza ...
[tex]\left\{\begin{array}{l}
\mathcal{E}\ =\ B_0lx(t)\ +\ B_0tl\dot x(t)\\
I\ =\ \frac{\mathcal{E}}{R}\ =\ \frac{B_0lx(t)\ +\ B_0tl\dot x(t)}{R}\\
F_{lor}\ -\ mg\ =\ 0\ \rightarrow\ I\ lB(t)\ -\ mg\ =\ 0
\end{array}\right.[/tex]
a questo punto mettiamo l'espressione della corrente nella terza equazione, dove l'unica incognita sara' $B_0$, dato che $x(10s) =\ 32\ cm,\ \dot x (10s) = 7\ {cm}/{s}$
[tex]\frac{B_0lx(\hat t)\ +\ B_0tl\dot x(\hat t)}{R}\ lB_0t\ -\ mg\ =\ 0 \rightarrow\ B_0^2\ \left(\frac{l^2x(\hat t)\bar t}{R}\ +\ \frac{\hat t^2l^2\dot x(\hat t)}{R}\right)\ =\ mg[/tex]
risolvendo rispetto a $B_0$ dovremmo aver vinto...
P.S.: rifai i conti per sicurezza ...
l'unica cosa che mi lascia un po' perplesso sono i segni, ovvero: quando deriviamo il flusso del campo magnetico per conoscere la fem indotta i due contributi hanno tutti e due lo stesso segno?
bella domanda...
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