Es. campo elettrico

[daenerys1]

Salve, avrei il seguente esercizio:

Due sferette metalliche di raggio $r_1= 10 cm$ ed $r_2=30 cm$ e poste ad una distanza molto maggiore di r1 ed r2, vengono cariate con carica uguale pari a Q=$10^-9 C$
Successivamente vengono collegate tramite una catenella metallica.
Trovare:
a) Campo E in prossimità della superficie prima del contatto (per entrambe le sfere)
b) Le cariche q1 e q2 come si redistribuiscono dopo il contatto
c) Potenziale cui si portano le 2 sferette dopo il contatto
d) Il campo E in prossimità della superficie dopo il contatto

Allora, per il punto a) non credo di aver problemi, mi posso benissimo trovare il campo E attraverso il teorema di Gauss (del flusso)
Per gli altri punti però, ho un pò di difficoltà..Dopo aver collegato le due sferette queste non raggiungono lo stesso potenziale?

[shiva28]

b) Esatto, dopo il contatto le due sferette hanno lo stesso potenziale $V$, ma occhio.. stesso potenziale non implica che le cariche $q_1$ e $q_2$ siano uguali!

[shiva28]

Precisamente, una volta collegate formano un corpo metallico unico.

Questo corpo ha carica totale $Q=q_1+q_2$

Il potenziale è lo stesso $V_1=V_2=V$

$V_1=(q_1)/(4 pi epsilon_0 r_1) \ \ \ \ \ = \ \ \ \ \ \ V_2=(q_2)/(4 pi epsilon_0 r_2)$

Ne deriva che $q_1/r_1=q_2/r_2 \ \ \rArr \ \ q_2=q_1 (r_2)/(r_1)$

$Q=q_1+q_2=q_1+q_1 (r_2)/(r_1)=q_1(1+(r_2)/(r_1))$

$q_1=(Q \ \ r_1)/(r_1+r_2)$

$q_2=(Q \ \ r_2)/(r_1+r_2)$


c) il potenziale è lo stesso per le due sferette.
d) Prova a calcolare il campo E, ora hai tutto.

Ti ricordo che le linee di campo elettrico si addensano dove il raggio di curvatura dell'oggetto metallico è minore.
Quindi $E_1>E_2$

[luc.mm]

Ci sono delle ipotesi di approssimazione che devi fare, la prima è che la distribuzione di carica sulle sfere rimane uniforme (in realtà non lo sarebbe perchè le sfere si influenzano a vicenda) così da darti quelle espressioni per i potenziali sulle sfere, e poi stai considerando che il potenziale dovuto a ciascuna sfera nella zona occupata dall'altra sfera sia nullo per via della distanza elevata, così non si aggiungono altri termini al potenziale.

[shiva28]

Si esatto, da quel "molto maggiore" discendono tutte le approssimazioni del caso.

[luc.mm]

In realtà non è troppo scontato dal "molto maggiore", l'unica cosa che puoi dedurre è la distribuzione sferica (cioè il comportamento delle sfere è quello di cariche puntiformi), ma non l'espressione dei potenziali, puoi infatti immaginare una situazione in cui le sfere scollegate sono mosse da una distanza $ d_1 $ a una $ d_2 $ sempre molto maggiori dei raggi, e l'energia potenziale del sistema varia, mentre sotto l'altra ipotesi non dovrebbe variare (stessi potenziali e stesse quantità di carica $ U_e=1/2 qV $).

Lo dico perchè ho trovato degli esercizi che usavano la stessa espressione ma intendevano due casi diversi ogni volta, quindi è un pò ambiguo.

[RenzoDF]

Provo a complicare un po' il problema, e se non fosse "molto maggiore" ... che si fa?

[daenerys1]

Grazie mille per gli aiuti!
Comunque, il "molto maggiore" sta ad intendere che si può trascurare l'induzione tra le due sfere, altrimenti la densità di carica sulla superficie non sarebbe uniforme...giusto?