Equivalenza tra lavoro ed energia nella formula della potenza

[Nexus991]

Ho un dubbio che mi ha fatto venire questo problema:
Su di un rullo inclinato viene posata, da un’altezza trascurabile, della sabbia ad
un ritmo di $\lambda = \frac{dm}{dt}$ . Grazie ad un motore che eroga una potenza W, la velocità
del rullo viene mantenuta costante (v0). Il rullo porta la sabbia fino ad una certa
altezza, dalla quale poi essa cade verticalmente con velocità iniziale di modulo v0
su un recipiente posto alla quota base del rullo, h più in basso. Il recipiente è
appoggiato su di una bilancia (vedi disegno). Ad un certo istante t, quando il rullo
è già coperto di sabbia e si è accumulata una massa M di sabbia nel recipiente,
calcolare:
1. la potenza erogata dal motore W;
2. la quantità di moto trasferita alla sabbia dalla bilancia nell’unità di tempo $\frac{dq}{dt}$;
3. il peso indicato dalla bilancia P.




La soluzione alla prima domanda è:
$ W = \lambda(gh + \frac{1}{2}v_0^2)$
Mentre io avrei detto che la soluzione corretta fosse:
$ W = \frac{1}{2} \lambda v_0^2 = -\lambda gh$
In quanto segue dalla defizione di potenza che:
$W = \frac{ \delta L}{dt} $
e $ dL = dK = -dU $
Come mai lavoro ed energia totale sono in questo caso la stessa cosa?

[Sk_Anonymous]

Non devi usare definizioni in questo caso, ti basta sapere che la potenza del motore deve essere pari all'energia cinetica della sabbia + l'energia dovuta all'aumento di quota della sabbia, tutto qui.

[Nexus991]

Ma scusa che senso ha non seguire la definizione?
E poi come facevo ad intuirlo questo?

[Capitan Harlock1]

Semplice, conservazione dell'energia
Tu hai scritto che il lavoro si è convertito tutto in energia cinetica, che poi si può convertire in potenziale, cosa ben diversa

[Dracmaleontes]

Hai questo:
$E_i = 0$
$E_f = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$
E allora:
$ L = \Delta E$
E nel caso di masse infinitesime:
$ dL = dE = \frac{1}{2}dmv_0^2 + dmgh$

[Capitan Harlock1]

Giusto