Equilibrio di blocchi sovrapposti
Ciao a tutti! Vorrei sottoporvi il testo di un problema che ha provocato accese discussioni con i miei amici: è tratto dalla prova di ammissione dello scorso anno del Collegio Superiore di Bologna ed è allegato come immagine. Ciò che mi ha provocato dei problemi è il fatto che i blocchi sono tra loro separati e in numero indefinito. Quindi non so se considerare il baricentro di ogni blocco indipendentemente dagli altri (e in questo caso direi che la lunghezza massima è 3L/2) oppure se è necessario cercare ogni volta che si aggiunge un blocco il baricentro di tutto il sistema (ma in questo caso non saprei come fare 
)...
Qualcuno mi sa aiutare?
Grazie mille
,
Luca
)...Qualcuno mi sa aiutare?
Grazie mille
,Luca
Risposte
la soluzione si trova nel post delle 9:20 
E qual è? O meglio qual è il limite che questa può raggiungere (ovviamente in termini di percentuale di $L$)?
Se non ho sbagliato i conti non è $3/2L$ citato dall'autore del post ... ma il limite dello sbalzo, per $n->infty$, è proprio $L$
Cordialmente, Alex
Se non ho sbagliato i conti non è $3/2L$ citato dall'autore del post ... ma il limite dello sbalzo, per $n->infty$, è proprio $L$
Cordialmente, Alex
la disequazione ha come soluzione $n>L/Delta+1$
quindi ad esempio,se $L=1m$ e $Delta=15cm$ la disequazione è verificata per $n>7,6666666...$
quindi il sistema può essere composto al massimo da 7 blocchi
in generale, per determinare la massima estensione orizzontale bisogna considerare il più grande intero positivo che sia minore o uguale $L/Delta+1$
quindi,detto $z$ questo intero ,se non sbaglio,la massima estensione orizzontale $L+(z-1)Delta$
tornando all'esempio di sopra $1m+6cdot15cm=1,9m$
quindi ad esempio,se $L=1m$ e $Delta=15cm$ la disequazione è verificata per $n>7,6666666...$
quindi il sistema può essere composto al massimo da 7 blocchi
in generale, per determinare la massima estensione orizzontale bisogna considerare il più grande intero positivo che sia minore o uguale $L/Delta+1$
quindi,detto $z$ questo intero ,se non sbaglio,la massima estensione orizzontale $L+(z-1)Delta$
tornando all'esempio di sopra $1m+6cdot15cm=1,9m$
Non mi sono spiegato bene ...
Quello che volevo dire (e che forse l'autore del post voleva sapere) è questo: qual è il massimo sbalzo misurato come frazione di $L$?
Nell'esempio che hai fatto il massimo sbalzo è il $90%$ di $L$ mentre se $Delta=1\ cm$ allora il massimo sbalzo sarebbe del $100%$ e questo dovrebbe essere il massimo in assoluto (anche se c'è qualcosa che non mi torna ...)
Cordialmente, Alex
Quello che volevo dire (e che forse l'autore del post voleva sapere) è questo: qual è il massimo sbalzo misurato come frazione di $L$?
Nell'esempio che hai fatto il massimo sbalzo è il $90%$ di $L$ mentre se $Delta=1\ cm$ allora il massimo sbalzo sarebbe del $100%$ e questo dovrebbe essere il massimo in assoluto (anche se c'è qualcosa che non mi torna ...)
Cordialmente, Alex
la massima estensione orizzontale ,in termini assoluti ,è $L+(z-1)Delta$
dove $z$ l'ho definito nel post precedente
un'espressione più semplice di questa non riesco a tirarla fuori
dove $z$ l'ho definito nel post precedente
un'espressione più semplice di questa non riesco a tirarla fuori
"stormy":
un'espressione più semplice di questa non riesco a tirarla fuori
Sostanzialmente è quello che ho detto anch'io (il $90%$ di sbalzo corrisponde al tuo $1.9\ m$), ma il mio interesse (e forse anche quello della domanda) è sapere se il massimo sbalzo POSSIBILE è il $100%$ della lunghezza del mattone (o la massima estensione è il doppio di $L$ secondo la tua versione, tanto sono equivalenti) qualsiasi sia la lunghezza o il numero di mattoni.
Tra l'altro se ci pensi bene è un fatto abbastanza sorprendente di primo acchito ...
"stormy":
la domanda sarebbe stata meno infame se avesse chiesto il numero di blocchi
Troppo facile ...
Cordialmente, Alex
se intendi la massima estensione al variare di $L$ e di $Delta$,penso che non chieda questo
$L$ e $Delta$ sono generici ma fissati
$L$ e $Delta$ sono generici ma fissati
Allora .. due cose:
1) Il problema che mi pongo è: preso un mattone di lunghezza qualsiasi facendo variare senza restrizioni sia il $Delta$ sia il numero di mattoni qual è il massimo sbalzo che la torre di mattoni avrà rispetto al mattone che fa da base, prendendo come unità di misura di questo sbalzo la lunghezza del mattone? (non mi interessa il numero di mattoni né la dimensione del $Delta$ quantomeno in questa fase)
2) La risposta che mi sono dato è: $100%$. D'altronde la formula che hai ricavato tu porta alla stessa conclusione, la riprendo qui:
Detto $z$ un intero tale che $z<=L/Delta+1$ allora la massima estensione orizzontale è data da $L+(z-1)Delta$.
Ma sostituendo ho $L+(z-1)Delta<=L+(L/Delta+1-1)Delta=L+(L/Delta)Delta=2L$ che è esattamente quello che sostengo.
Però la cosa interessante è che nella realtà tale relazione sembra non funzionare SEMPRE (pur con un numero di mattoni compatibile con la soluzione).
Esempio: poniamo $Delta=L$ allora sarà $z<=L/Delta+1=L/L+1=2$ ed essendo $2$ intero porta a $z=2$ cioè due mattoni. Sostituiamo questo valore nella seconda espressione $L+(z-1)Delta=L+(2-1)L=L+L=2L$ cioè $100%$ di sbalzo.
Adesso però voglio vederti con due mattoni soli metterne uno completamente a sbalzo e pretendere che non cada ...
Cordialmente, Alex
1) Il problema che mi pongo è: preso un mattone di lunghezza qualsiasi facendo variare senza restrizioni sia il $Delta$ sia il numero di mattoni qual è il massimo sbalzo che la torre di mattoni avrà rispetto al mattone che fa da base, prendendo come unità di misura di questo sbalzo la lunghezza del mattone? (non mi interessa il numero di mattoni né la dimensione del $Delta$ quantomeno in questa fase)
2) La risposta che mi sono dato è: $100%$. D'altronde la formula che hai ricavato tu porta alla stessa conclusione, la riprendo qui:
Detto $z$ un intero tale che $z<=L/Delta+1$ allora la massima estensione orizzontale è data da $L+(z-1)Delta$.
Ma sostituendo ho $L+(z-1)Delta<=L+(L/Delta+1-1)Delta=L+(L/Delta)Delta=2L$ che è esattamente quello che sostengo.
Però la cosa interessante è che nella realtà tale relazione sembra non funzionare SEMPRE (pur con un numero di mattoni compatibile con la soluzione).
Esempio: poniamo $Delta=L$ allora sarà $z<=L/Delta+1=L/L+1=2$ ed essendo $2$ intero porta a $z=2$ cioè due mattoni. Sostituiamo questo valore nella seconda espressione $L+(z-1)Delta=L+(2-1)L=L+L=2L$ cioè $100%$ di sbalzo.
Adesso però voglio vederti con due mattoni soli metterne uno completamente a sbalzo e pretendere che non cada ...
Cordialmente, Alex
e ti credo che non ci troviamo : la risoluzione è viziata da un gravissimo errore di fondo (una tiratina d'orecchie anche per te che non te ne sei accorto ): nel calcolo del baricentro bisogna considerare il sistema formato dal 2° blocco in poi
il primo blocco va tenuto fuori altrimenti si arriva a conclusioni assurde
domani(che poi è già oggi) rifarò i calcoli(sempre se non sarò preceduto da qualcuno,magari da te)
): nel calcolo del baricentro bisogna considerare il sistema formato dal 2° blocco in poiil primo blocco va tenuto fuori altrimenti si arriva a conclusioni assurde
domani(che poi è già oggi) rifarò i calcoli(sempre se non sarò preceduto da qualcuno,magari da te)
allora,
consideriamo il sistema di riferimento nel quale il blocco di base abbia il baricentro coincidente con l'origine ed il sistema di $n$ blocchi sovrapposti su quello base con la modalità descritta dal testo
il baricentro di questo sistema ha ascissa data dalla formula
$(Delta+2Delta+...+nDelta)/n=Delta/n(1+2+...n)=Delta/ncdot(n(n+1))/2=Delta/2(n+1)$
il sistema è in equilibrio se la proiezione del baricentro non è esterna al blocco di base,cioè quando $Delta/2(n+1) leq L/2$
,cioè per $n leq L/Delta-1$
detto $N$ il massimo intero che verifichi la disequazione,la massima estensione è uguale a $L+NDelta$
se $Delta$ tende a $0$,l'estensione massima tende a $2L$
consideriamo il sistema di riferimento nel quale il blocco di base abbia il baricentro coincidente con l'origine ed il sistema di $n$ blocchi sovrapposti su quello base con la modalità descritta dal testo
il baricentro di questo sistema ha ascissa data dalla formula
$(Delta+2Delta+...+nDelta)/n=Delta/n(1+2+...n)=Delta/ncdot(n(n+1))/2=Delta/2(n+1)$
il sistema è in equilibrio se la proiezione del baricentro non è esterna al blocco di base,cioè quando $Delta/2(n+1) leq L/2$
,cioè per $n leq L/Delta-1$
detto $N$ il massimo intero che verifichi la disequazione,la massima estensione è uguale a $L+NDelta$
se $Delta$ tende a $0$,l'estensione massima tende a $2L$
"stormy":
... il primo blocco va tenuto fuori altrimenti si arriva a conclusioni assurde ...
No, ma di questo già ne tenevo conto; ma non solo io, lo facevi anche tu, forse senza rendertene conto; difatti la conclusione a cui sei giunto stamattina (che riporto ...
"stormy":
allora, se $ Delta $ tende a $ 0 $,l'estensione massima tende a $ 2L $
giunge alla stessa mia conclusione usando sempre le tue formule.
Come vedi non c'è contraddizione.
L'assurdità nasce da un altro fatto (me ne sono accorto stanotte ma non era il caso di postarlo subito ...
) e cioè che $Delta$ non può mai essere maggiore di $L/2$. Con questa restrizione va tutto a posto (credo ... )Cordialmente, Alex
no,nella prima formula che avevo scritto nel mio primo post(che infatti ho cancellato) calcolavo il baricentro tenendo conto anche del primo blocco
infatti ,come vedi,la disequazione con incognita $n$ è diversa da quella che ho scritto nei post precedenti
infatti ,come vedi,la disequazione con incognita $n$ è diversa da quella che ho scritto nei post precedenti
Scusami se insisto, ma funzionava lo stesso ... 
(cioè arrivavi allo stesso risultato)
E ovvio che nelle considerazioni successive si deve tener conto di questo fatto ma l'importante era capirsi (su cosa sia lo "sbalzo", "l'estensione", il $Delta$, il numero di mattoni $n$, ecc.)
(cioè arrivavi allo stesso risultato)E ovvio che nelle considerazioni successive si deve tener conto di questo fatto ma l'importante era capirsi (su cosa sia lo "sbalzo", "l'estensione", il $Delta$, il numero di mattoni $n$, ecc.)
scusami tu se insisto,ma ti dico di no
Vedo che il problema ha acceso una discussione anche qui! 
Scherzi a parte, vi ringrazio dell'impegno ma mi resta un dubbio: per raggiungere la massima lunghezza teorica di $ 2L $ bisogna ammettere un numero $ n->oo $ di mattoncini, giusto?
Inoltre non mi è ben chiaro qual è la risposta matematicamente più corretta al quesito: non è possibile esprimere il numero $ L+NDelta $ come frazione di $ L $ ? Cioè, non è possibile trovare il valore di $ N $ ? Nel caso in cui (come immagino) la risposta sia no: se si conoscesse il valore numerico di $ Delta $ invece sarebbe possibile, vero?
Ancora grazie
Scherzi a parte, vi ringrazio dell'impegno ma mi resta un dubbio: per raggiungere la massima lunghezza teorica di $ 2L $ bisogna ammettere un numero $ n->oo $ di mattoncini, giusto?
Inoltre non mi è ben chiaro qual è la risposta matematicamente più corretta al quesito: non è possibile esprimere il numero $ L+NDelta $ come frazione di $ L $ ? Cioè, non è possibile trovare il valore di $ N $ ? Nel caso in cui (come immagino) la risposta sia no: se si conoscesse il valore numerico di $ Delta $ invece sarebbe possibile, vero?
Ancora grazie
certo che è possibile trovare il valore di $N$
$N$ è il massimo intero che verifica la disequazione $n leq L/Delta-1$
se dai dei valori particolari ad $L$ e $Delta$ lo trovi
$2L$ è un limite ovviamente non raggiungibile
$N$ è il massimo intero che verifica la disequazione $n leq L/Delta-1$
se dai dei valori particolari ad $L$ e $Delta$ lo trovi
$2L$ è un limite ovviamente non raggiungibile
"aquilax":
Vedo che il problema ha acceso una discussione anche qui!
A dir la verità, mi sembra che io gli do ragione comunque mentre lui vuole avere torto comunque ...
Cordialmente, Alex
P.S.: ho visto che ha già risposto e sono d'accordo (per quel che vale ...
)
@axpgn
spero che tu sia d'accordo sul fatto che c'è differenza tra $nleq L/Delta-1$ e $nleqL/Delta+1$
per la cronaca,ribadisco che la disequazione giusta è la prima in quanto non cade in contraddizione nemmeno se $Delta>L/2$
la seconda invece contempla il caso in cui il secondo blocco sia in equilibrio con $Delta=L$ (che è assurdo)
spero che tu sia d'accordo sul fatto che c'è differenza tra $nleq L/Delta-1$ e $nleqL/Delta+1$
per la cronaca,ribadisco che la disequazione giusta è la prima in quanto non cade in contraddizione nemmeno se $Delta>L/2$
la seconda invece contempla il caso in cui il secondo blocco sia in equilibrio con $Delta=L$ (che è assurdo)
Attento stormy, se vai a rivedere il tuo post nella pagina precedente vedrai che la seconda disequazione l'hai scritta con il verso nell'altro senso e cioè così $n>L/Delta+1$ ...
Ok 
grazie mille per l'aiuto!!!
grazie mille per l'aiuto!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo