Equazioni Maxwell in forma Covariante

[***1117]

Salve ragazzi ho questo problema :

Introducendo il tensore del campo $F^{\alpha \beta}$ :

\[ \left( \begin{array}{ccc}
0 & -B_z & -B_y & i\frac{E_x}{c} \\
-B_z & 0 & B_x & i\frac{E_y}{c} \\
B_y & -B_x & 0 & i\frac{E_z}{c} \\
-i\frac{E_x}{c} & -i\frac{E_y}{c} & -i\frac{E_z}{c} & 0 \end{array} \right)\]

Posso descrivere le 2 equazioni di Maxwell non omogenee in forma covariante utilizzando :

$\partial_{\alpha} F^{\alpha \beta} = \mu J^{\beta}$ $\qquad$ con $\qquad$ $J^{\beta}=(c\rho,J)$

E per le equazioni omogeee :

$\partial_{\alpha} F_{\beta \gamma}+\partial_{\beta} F_{\gamma \alpha}+\partial_{\gamma} F_{\alpha \beta}=0$

con $\qquad$ $\alpha,\beta,\gamma$ $\qquad$ tre dei quattro numeri interi 0,1,2,3 .

Bene... ad ad essere sincero non so come da tutto ciò posso ricavare le 4 equazioni di Maxwell..

Potreste mostrarmi il procedimento,più dettagliato possibile , di una equazione omogenea e una non omogenea in modo da poter ricavare da solo le altre due? Ve ne sarei grato!

[redlex91-votailprof]

La convenzione con la \(\imath\) (per dirla con un eufemismo) non mi piace... uso la metrica lorentziana con segnatura \((1,-1,-1,-1)\), nella quale (\(c=1\), unità di misura razionalizzate) si ha
\[\begin{split}
F^{\alpha\beta}&:=\partial^\alpha A^\beta-\partial^\beta A^\alpha\\
&=\begin{bmatrix}
0&-E_x&-E_y&-E_z\\
E_x&0&-B_z&B_y\\
E_y&B_z&0&-B_x\\
E_z&-B_y&B_x&0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
dove
\[
x^\alpha\equiv(t,\vec{x}),\quad A^\alpha\equiv(\phi,\vec{A}),\quad j^\alpha\equiv(\rho,\vec{j})
\]
e le definizioni dei campi sono le solite
\[
\vec{E}:=-\mathrm{grad}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},\quad\vec{B}:=\mathrm{rot}\vec{A}
\]
Ricavo ad esempio
\[
\mathrm{div}\vec{E}=\rho
\]
da
\[
\partial_\alpha F^{\alpha\beta}=j^\beta
\]

mettendo \(\alpha=k,\,\beta=0\)[nota]Attenzione! Con la mia metrica \(x^\alpha x_\alpha=t^2-\vec{x}^2\) e quindi \(x_\alpha\equiv(t,-\vec{x})\), il che si riflette sulle derivate
\[
\partial_\alpha:=\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\equiv(\frac{\partial}{\partial t},+\nabla),\quad\partial^\alpha:=\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\equiv(\frac{\partial}{\partial t},-\nabla)
\]
ne segue che \(\partial_k\partial^k=-\nabla\cdot\nabla,\quad k=1,2,3\), mentre per un vettore \(a^\alpha\equiv(a_0,\vec{a})\) risulta \(\partial_k a^k=\nabla\vec{a}\equiv\partial^k a_k\).
Facile, no? [/nota]
\[\begin{split}
\partial_k F^{k0}&=\partial_k(\partial^k A^0-\partial^0A^k)\\
&=-\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)-\mathrm{div} \frac{\partial}{\partial t}\vec{A}\\
&=\mathrm{div}\vec{E}=j^0=\rho
\end{split}\]

e anche
\[
\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}+\mathrm{rot}\vec{E}=0
\]
da
\[
\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0
\]

ponendo questa volta \(\lambda=0,\,\mu=i,\,\nu=j\)
\[\begin{split}
0&=\partial_0F_{ij}+\partial_j F_{0i}+\partial_i F_{j0}\\
&= \partial_0F_{ij}+\partial_j F_{0i}-\partial_i F_{0j}
\end{split}\]
moltiplico per \(-\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\) ricordando che \(B^k=-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}F_{ij}\) e ottengo
\[\begin{split}
0&=-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}\partial_0F_{ij}-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}(\partial_jE_i-\partial_iE_j)\\
&=B^k-\frac{1}{2}\left[-(\mathrm{rot}\vec{E})^k-(\mathrm{rot}\vec{E})^k\right]\\
&=\frac{\partial}{\partial t}B^k+(\mathrm{rot}\vec{E})^k
\end{split}\]
e quindi
\[
\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}+\mathrm{rot}\vec{E}=0
\]

Per eventuali informazioni ti rimando a questa pagina di Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor.

Nel tuo caso i meno compaiono grazie alle \(\imath\) e le relazioni vanno adattate alla tua (inedita[nota]Dovresti avere una convenzione del genere, se non sbaglio:
\[\begin{split}
&x^\alpha=(\vec{x},\imath ct),\quad A^\alpha=(\vec{A},\imath\phi/c),\quad j^\alpha\equiv(\vec{j},\imath c\rho)\\
&F^{\alpha\beta}=\partial^\beta A^\alpha-\partial^\alpha A^\beta
\end{split}\]
che ha un non so che di sadico, ma come si suol dire de gustibus non est disputandum Mi lascia un po' perplesso la definizione di \(j^\alpha\) che hai scritto tu, perché dalle componenti del tensore di campo mi sembra che la componente tempo sia la quarta (la portatrice di \(\imath\)), mentre tu scrivi \(j^\alpha\equiv(c\rho,\vec{j})\)... il che sarebbe inconsistente (manca la \(\imath\) e la componente tempo è la prima).

Potrei, per diletto, provare a ricavare la prima delle due equazioni di cui sopra
\[\begin{split}
\partial_kF^{k4}&=\partial_k(\partial^4 A^k-\partial^k A^4)\\
&=-\imath\nabla\cdot\nabla\phi-\imath\frac{\partial\nabla\cdot\vec{A}}{\partial t}\\
&=\imath\nabla\cdot(-\nabla\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t})\\
&=\imath\nabla\cdot\vec{E}=\imath\rho
\end{split}\]
Q.E.D.

[/nota] almeno per me) definizione di tensore di campo, ma i calcoli dovrebbero essere in tutto e per tutto simili.

Ciao

[***1117]

Fantastico! Sei stato chiarissimo e soprattutto gentilissimo

Per quanto riguarda la notazione di $\vec{j}$ mi son fatto la stessa domanda , sarà stata una mia svista .

Ora ho solo un'ultima domanda e dopo di essa mi posso cimentare a trovare le altre due equazioni.. non capisco la scelta degli indici... come variano??

$\alpha=i,k,j$ e $\beta=0,1,2,3,4$ ?? se cosi fosse avrei 12 combinazioni possibili no? e sinceramente una cosa del genere non mi quadra per nulla!

mentre nel secondo caso $\lambda,\mu,\nu$ dove variano?

In poche parole non ho capito il criterio di "scelta" di tali indici :/

Il link di Wikipedia si rifà alle pagine del Jackson , infatti , in precedenza , stavo cercando di aiutarmi con quel libro per capirci qualcosa in più.

Grazie ancora

[redlex91-votailprof]

Ci sono svariate convenzioni sugli indici: in Relatività Ristretta di solito si adotta la seguente

[*:19stznzy] gli indici greci assumono i valori \(0,1,2,3\) o nel tuo caso \(1,2,3,4\): la \(0\) (\(4\) nel tuo caso) è la componente tempo;[/*:m:19stznzy]
[*:19stznzy] gli indici latini assumono i valori \(1,2,3\) in entrambi i casi e denotano le componenti spaziali.[/*:m:19stznzy][/list:u:19stznzy]
Quando scrivo \(\alpha=k\) intendo che considero le sole componenti spaziali (quindi \(\alpha=k=1,2,3\)), ad esempio: prendo due quadrivettori \(v\equiv(v_0,\vec{v})\) e \(w\equiv(w_0,\vec{w})\), allora
\[\begin{split}
vw &=v^\alpha w_\alpha=v_0w_0-\vec{v}\cdot\vec{w}\\
v^k w_k &=-\vec{v}\cdot\vec{w}
\end{split}\]
Il segno meno deriva dalla mia metrica
\[
\eta_{\alpha\beta}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0& -1 & 0 & 0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{bmatrix}
\]

Quindi in pratica quando dico "mettendo \(\alpha=k\)" intendo dire che sto restringendo i valori che può assumere \(\alpha\) a \(1,2,3\); ovviamente nel post precedente ed in questo ho adottato la somma sugli indici ripetuti
\[\begin{split}
v^\alpha w_\alpha &= \sum_{\alpha=0}^3 v^\alpha w_\alpha=\sum_{\alpha,\beta=0}^3 v^\alpha w^\beta \eta_{\alpha \beta}\\
v^k w_k &=\sum_{k=1}^3 v ^k w_k=\sum_{k,l=1}^3 v^k w^l \eta_{kl}=-\sum_{k=1}^3 v ^k w^k
\end{split}
\]

Non so se ho chiarito. Comunque utilizzando la \(\imath\) nella componente tempo non hai il problema di indici alti/bassi peché tutto va come se la tua metrica fosse \(\mathbb{I}_4\): il segno meno nel prodotto delle componenti tempo è dato da \(\imath^2=-1\).

Ciao

[***1117]

Hai acceso la luce in me! Tutto chiaro Ciao e grazie infinite.

[redlex91-votailprof]

Spero che non mi arrivino bollette da pagare!

[***1117]

Ahahahahaha

[***1117]

Ho trovato tutte e quattro equazioni, non appena ho 5 minuti le trascrivo qui in modo tale che siano accessibili a tutti.

[***1117]

Ecco qui il PDF ( purtroppo il tempo non mi basta mai ! )

Come elementi di F fate riferimento alla matrice scritta sopra da me, spero sia di aiuto a qualcuno.

Equazioni di Maxwell in forma covariante : https://mega.nz/#!RgRhUTYL!uJgNb8pFUDtS ... mshM_A8QRE