Equazioni differenziali 2

[mbo89]

salve a tt, avrei bisogno di una mano, in pratica da un probblema di fisica(di cui non so nulla) devoricavare un equazione differenziale....
se qualcuno pou darmi una mano.....
un punto materiale P si muove di moto rettilineo e la sua velocità V è direttamente proporzionale all'ascissa x di P sulla retta,calcolat a partire da un punto O, preso come origine delle cordinate ascisse: si ha cioè v=kx dove k è una costante assegnata.
Determinare la posizione del Punto P in funzione del tempo, sapendo che, nell'istante t=0 la posizione di p è data x=1

[Steven11]

L'equazione te la dà il problema
$v(t)=k*x(t)$
ovviamente saprai che $v(t)=dot x(t)$
quindi ti riconduci a una semplice equazione differenziale del primo ordine.

[mbo89]

"Steven":L'equazione te la dà il problema
$v(t)=k*x(t)$
ovviamente saprai che $v(t)=dot x(t)$
quindi ti riconduci a una semplice equazione differenziale del primo ordine.

ok ti ho seguito, ma scusa la mia ignoranza, ma io sono abituato a trattare con equazioni differenziali del tipo y° +y =x^2, ho provato a sviluppare la tua, ma non sonno arrivato al giusto risultato che equivale a x=e^kt, non è che potresti postarmi la risoluzione?????

[Steven11]

Si solito di procede così:
$dot x(t)-kx(t)=0$
moltiplicando ambo i membri per $e^(-kt)$
ottieni
$e^(-kt)dot x(t)-k*e^(-kt)*x(t)=0$
ovvero, riconoscendo la derivata del prodotto,
$(d[e^(-kt)x(t)])/dt=0$
Integrando in $"d"t$
$e^(-kt)x(t)=c$
cioè
$x(t)=c*e^(kt)$
ma
$x(0)=c*e^(k*0)=c=1$

Quindi si ha
$x(t)=e^(kt)$

Chiaro tutto?
Ciao.