Equazioni di Maxwell
Leggiucchiando alcune dispense mi son venute in mente alcune idee sulla "manipolazione" delle equazioni di Maxwell...
Mi pare di aver capito che si possono scrivere nel dominio dello spaziotempo.
Facendo in questo modo introduciamo un potenziale vettoriale (indicato con la lettera A o L) definito come $B=grad x A$
Innanzitutto: perchè riscrivere le eq di Maxwell nel dominio spaziotemporale ?
E qual è, se c'è, l'interpretazione fisica del potenziale vettore A ?
Mi pare di aver capito che si possono scrivere nel dominio dello spaziotempo.
Facendo in questo modo introduciamo un potenziale vettoriale (indicato con la lettera A o L) definito come $B=grad x A$
Innanzitutto: perchè riscrivere le eq di Maxwell nel dominio spaziotemporale ?
E qual è, se c'è, l'interpretazione fisica del potenziale vettore A ?
Risposte
![R[i]dd[i]cK11](/datas/avatars/000/012/218/000012218402.gif)
Beh possiamo dire che il potenziale vettore $A$ ci serve per descrivere i campi elettromagnetici $E$ e $B$. Per esempio, prendiamo l'equazione più semplice:
$grad \cdot B = 0$
essa ci dice che $B$ è il rotore di qualcosa, quindi scrivendo l'equazione da te posta:
$B = grad x A$
possiamo dire di aver risolto una delle equazioni di Maxwell. Inoltre considerando la legge di Faraday (seconda equazione):
$grad x E = -\frac{\partial B}{\partial t}$
sostituiamo $B$ e derivando rispetto al tempo otteniamo:
$grad x E = -\frac{\partial}{\partial t} grad x A$
che possiamo scrivere anche così:
$grad x ( E + \frac{\partial A}{\partial t} ) = 0$
dove si nota che $E + \frac{\partial A}{\partial t}$ è un vettore il cui rotore è uguale a zero, quindi possiamo dedurne che questo vettore è il gradiente di qualcosa. Allora poniamo
$E + \frac{\partial A}{\partial t} = - grad \psi$
in modo che la soluzione dell'equazione di Faraday può essere scritta così:
$E = - grad \psi - \frac{\partial A}{\partial t}$
risolvendo un'altra equazione di Maxwell. Da questi passaggi si nota che per descrivere i campi elettromagnetici $E$ e $B$ abbiamo bisogno di quattro funzioni potenziali, che sono: un potenziale scalare $\psi$ e un potenziale vettore $A$ (3 funzioni).
$grad \cdot B = 0$
essa ci dice che $B$ è il rotore di qualcosa, quindi scrivendo l'equazione da te posta:
$B = grad x A$
possiamo dire di aver risolto una delle equazioni di Maxwell. Inoltre considerando la legge di Faraday (seconda equazione):
$grad x E = -\frac{\partial B}{\partial t}$
sostituiamo $B$ e derivando rispetto al tempo otteniamo:
$grad x E = -\frac{\partial}{\partial t} grad x A$
che possiamo scrivere anche così:
$grad x ( E + \frac{\partial A}{\partial t} ) = 0$
dove si nota che $E + \frac{\partial A}{\partial t}$ è un vettore il cui rotore è uguale a zero, quindi possiamo dedurne che questo vettore è il gradiente di qualcosa. Allora poniamo
$E + \frac{\partial A}{\partial t} = - grad \psi$
in modo che la soluzione dell'equazione di Faraday può essere scritta così:
$E = - grad \psi - \frac{\partial A}{\partial t}$
risolvendo un'altra equazione di Maxwell. Da questi passaggi si nota che per descrivere i campi elettromagnetici $E$ e $B$ abbiamo bisogno di quattro funzioni potenziali, che sono: un potenziale scalare $\psi$ e un potenziale vettore $A$ (3 funzioni).
Questi,però, sono passaggi matematici per la determinazioni delle soluzioni dell'equazione di Maxwell.
Io chiedevo il motivo dell'introduzione di un potenziale vettore $A$ e del potenziale scalare $psi$...
E la loro eventuale interpretazione fisica...
In altre parole, tra le infinite scelte che si potevano fare, perchè riscrivere le equazioni di Maxwell in quel modo ?
Io chiedevo il motivo dell'introduzione di un potenziale vettore $A$ e del potenziale scalare $psi$...
E la loro eventuale interpretazione fisica...
In altre parole, tra le infinite scelte che si potevano fare, perchè riscrivere le equazioni di Maxwell in quel modo ?
"spassky":
Questi,però, sono passaggi matematici per la determinazioni delle soluzioni dell'equazione di Maxwell.
Io chiedevo il motivo dell'introduzione di un potenziale vettore $A$ e del potenziale scalare $psi$[...]
I passaggi matematici, al contrario di quello che hai capito, servono per farti capire che $A$ e $\psi$ sono necessarie per descrivere i campi elettromagnetici. Occorrono 4 funzioni potenziali di cui il potenziale vettore $A$ rappresenta 3 di queste 4 funzioni.
"spassky":
[...]In altre parole, tra le infinite scelte che si potevano fare, perchè riscrivere le equazioni di Maxwell in quel modo ?
Infinite scelte?!! Potresti spiegarti meglio pls, cosa intendi per infinite scelte? Che si poteva anche non ricorrere al potenziale vettore o cosa? E comunque le equazioni di Maxwell sono state riscritte in quel modo perché quello è il modo corretto e anche il più semplice!
Questo l'avevo capito pure prima...
Quello che mi sfugge è il motivo di questa formulazione.Perchè scegliere un potenziale vettore $A$ definito in quel modo?
Più semplice ? Perchè ? ( non ha senso rispondere alla domanda sul perchè si usasse tale formulazione con "questa è la formulazione corretta").
Quello che mi sfugge è il motivo di questa formulazione.Perchè scegliere un potenziale vettore $A$ definito in quel modo?
Più semplice ? Perchè ? ( non ha senso rispondere alla domanda sul perchè si usasse tale formulazione con "questa è la formulazione corretta").
Invece ha senso, perchè così le cose funzionano. In questo modo se fai delle previsioni con queste equazioni queste vengono confermate dagli esperimenti.
Non esistono infinite scelte, esistono scelte coerenti coi principi primi e con l'esperienza.
Non esistono infinite scelte, esistono scelte coerenti coi principi primi e con l'esperienza.
Benissimo...
Io avevo chiesto" perchè così le cose funzionano"....
Io avevo chiesto" perchè così le cose funzionano"....
funzionano perchè soddisfano i principi primi e sono coerenti con l'esperienza. Funzionano perchè con il potenziale vettore si possono risolvere situazioni in cui nè il campo E, nè quello B sono costanti. Ti consiglio di andare a vedere il Landau Teoria dei Campi, capitolo III
Questa si che è una risposta. Grazie!
"spassky":
[...]Quello che mi sfugge è il motivo di questa formulazione.Perchè scegliere un potenziale vettore A definito in quel modo?[...]
Molti si domandano se $A$ sia solo un artificio utile per fare calcoli oppure, diciamo così, un campo a tutti gli effetti (cioè una funzione matematica che viene usata per evitare il concetto di azione a distanza). E' anche vero che $A$ è più difficile per problemi semplici, per esempio nel caso in cui si debba calcolare il campo in un punto dell'asse di un anello di corrente; ma è anche vero che in problemi più complessi usare $A$ risulta più facile.
Il vero motivo per cui viene usato questo potenziale vettore è però diverso, in quanto $A$ ha un significato fisico importante. Oltre al fatto che è in rapporto con l'energia delle correnti, esso è un campo a tutti gli effetti. Ciò è dimostrato da una serie di fenomeni connessi con la meccanica quantistica.
Scusate l'intromissione, vorrei chiedere cortesemente a RiddicK se può farmi una gentilezza. Ricerco disperatamente alcune importanti informazioni di astrofisica. Per favore se qualcuno dovesse sapere come mettersi in contatto con lui potrebbe riferirmelo all'indirizzo e.mail : hokanoei@msn.com. Ringrazio tanto chi vorrà aiutarmi e mi scuso ancora per l'intervento fuori tema.
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