Equazione differenziale dell'oscillatore armonico
Buongiorno ragazzi! In quarantena si ha molto tempo per studiare fisica, quindi oggi vi propongo un altro quesito. Pensavo ieri a come risolvere l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico, quindi ho studiato le equazioni differenziali di secondo ordine e ho seguito questo procedimento (mi scuserete, ma preferirei descrivere velocemente i vari passaggi matematici per fissarli in mente).
Da \( \ddot x(t)+\dfrac{k}{m}x(t)=0 \), lineare omogenea di secondo ordine a coefficienti costanti, ho scritto l'equazione algebrica associata: \( z^2+\dfrac{k}{m}=0 \), da cui \( z=\pm i \sqrt{\dfrac{k}{m}} \).
Un'equazione differenziale di quel tipo, se le soluzioni dell'equazione associata sono complesse coniugate e dunque esprimibili nella forma \( z_{1,2}=\alpha \pm i\beta \), ha integrale generale: \( y(x)=e^{\alpha}[c_1\cos (\beta x)+c_2\sin (\beta x)] \) con \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \).
Per cui, ottengo: \( x(t)=c_1\cos \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t \right)+c_2\sin \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t \right) \).
Essendo un oscillatore armonico, il moto del punto materiale obbedisce alle leggi del moto armonico, quindi la posizione in funzione del tempo (con fase nulla) è \( x(t)=A\cos (\omega t)=A\cos \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t \right) \).
Eguagliando le due espressioni per \( x(t) \) noto che i rispettivi coefficienti devono essere uguali, quindi si ha che \( c_1=A \) e \( c_2=0 \). A questo punto sorge spontanea una domanda: la seconda equazione, nota già dalla cinematica, è dunque solo una delle infinite soluzioni di quella equazione differenziale? E se è così, come si interpreta il risultato dal punto di vista fisico? Significherebbe che due masse identiche appese all'estremità di due oscillatori armonici identici (\(k\) uguale) avrebbero posizioni diverse in uno stesso istante \( t \). Questo per via della scelta arbitraria, in \( \mathbb{R} \), delle due costanti di integrazione...
Da \( \ddot x(t)+\dfrac{k}{m}x(t)=0 \), lineare omogenea di secondo ordine a coefficienti costanti, ho scritto l'equazione algebrica associata: \( z^2+\dfrac{k}{m}=0 \), da cui \( z=\pm i \sqrt{\dfrac{k}{m}} \).
Un'equazione differenziale di quel tipo, se le soluzioni dell'equazione associata sono complesse coniugate e dunque esprimibili nella forma \( z_{1,2}=\alpha \pm i\beta \), ha integrale generale: \( y(x)=e^{\alpha}[c_1\cos (\beta x)+c_2\sin (\beta x)] \) con \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \).
Per cui, ottengo: \( x(t)=c_1\cos \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t \right)+c_2\sin \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t \right) \).
Essendo un oscillatore armonico, il moto del punto materiale obbedisce alle leggi del moto armonico, quindi la posizione in funzione del tempo (con fase nulla) è \( x(t)=A\cos (\omega t)=A\cos \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t \right) \).
Eguagliando le due espressioni per \( x(t) \) noto che i rispettivi coefficienti devono essere uguali, quindi si ha che \( c_1=A \) e \( c_2=0 \). A questo punto sorge spontanea una domanda: la seconda equazione, nota già dalla cinematica, è dunque solo una delle infinite soluzioni di quella equazione differenziale? E se è così, come si interpreta il risultato dal punto di vista fisico? Significherebbe che due masse identiche appese all'estremità di due oscillatori armonici identici (\(k\) uguale) avrebbero posizioni diverse in uno stesso istante \( t \). Questo per via della scelta arbitraria, in \( \mathbb{R} \), delle due costanti di integrazione...
Risposte
Le due costanti $c_(1,2)$ cessano di essere arbitrarie dal momento in cui fissi le condizioni iniziali.
La soluzione che hai scritto tu, $x(t)=Acos omegat" "$ (dove: $omega=sqrt(k/m)$ ), è l'unica che soddisfa il fatto che $x(0)=A" "$ e che $dotx(0)=0$, ossia che all'istante $t=0$ la particella si trovi ferma nella posizione $x=A$.
La soluzione che hai scritto tu, $x(t)=Acos omegat" "$ (dove: $omega=sqrt(k/m)$ ), è l'unica che soddisfa il fatto che $x(0)=A" "$ e che $dotx(0)=0$, ossia che all'istante $t=0$ la particella si trovi ferma nella posizione $x=A$.
Ok, quindi quello che ho fatto eguagliando le due espressioni alla fine è equivalente a risolvere questo problema di Cauchy:
\( \begin{cases} \ddot x(t)+\omega^2 x(t)=0 \\ x(0)=A \\ \dot{x}(0)=0 \end{cases} \).
Certo, cambiando posizione e velocità all'istante zero cambia anche l'espressione matematica del vettore posizione. Perfetto, grazie come sempre.
\( \begin{cases} \ddot x(t)+\omega^2 x(t)=0 \\ x(0)=A \\ \dot{x}(0)=0 \end{cases} \).
Certo, cambiando posizione e velocità all'istante zero cambia anche l'espressione matematica del vettore posizione. Perfetto, grazie come sempre.
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