Equazione differenziale del moto armonico semplice
Ciao ragazzi non riesco a risolvere l equazione differenziale del moto armonico o per meglio dire , non riesco a determinare le costanti $c_1$ e $c_2$ nella soluzione finale vi mostro i miei passaggi
Equazione differenziale del moto armonico
$(del^2x(t))/(delt^2)+k/mx(t)=0$
$P(lamda)=lamda^2+k/m$
le radici dell' equazione associata sono complesse e coniugate precisamente
$lamda_1=+isqrt(k/m)$
$lamda_2=-isqrt(k/m)$
quindi la soluzione generale è : $x(t)=c_1cos(sqrt(k/m)t)+c_2sen(sqrt(k/m)t)$
sempre se non ho errato qualche passaggio..inoltre pongo $omega=sqrt(k/m)$
da qui dovrei trovarmi le due costanti ma per mia scarsa preparazione sulle equazioni differenziali non riesco a determinare
alla fine il risultato dovrebbe venire $x(t)=Asen(omegat+phi_0)$
Equazione differenziale del moto armonico
$(del^2x(t))/(delt^2)+k/mx(t)=0$
$P(lamda)=lamda^2+k/m$
le radici dell' equazione associata sono complesse e coniugate precisamente
$lamda_1=+isqrt(k/m)$
$lamda_2=-isqrt(k/m)$
quindi la soluzione generale è : $x(t)=c_1cos(sqrt(k/m)t)+c_2sen(sqrt(k/m)t)$
sempre se non ho errato qualche passaggio..inoltre pongo $omega=sqrt(k/m)$
da qui dovrei trovarmi le due costanti ma per mia scarsa preparazione sulle equazioni differenziali non riesco a determinare
alla fine il risultato dovrebbe venire $x(t)=Asen(omegat+phi_0)$
Risposte
I due rusultati che riporti (con $c_1$ e $c_2$ o con $A$ e $\varphi_0$) sono equivalenti, due modi di dire la stessa cosa.
In ogni caso le costanti sono due e le determini con i valori iniziali $x(0)$ e $\dot x(0)$.
In ogni caso le costanti sono due e le determini con i valori iniziali $x(0)$ e $\dot x(0)$.
@alessandrof10
Il tuo dubbio non riguarda le equazioni differenziali ma la trigonometria.
L'equazione generale è corretta, per passare all'altra forma (quella che tu chiami risultato finale) devi considerare che:
$sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)=sin(a+b)$
Il tuo dubbio non riguarda le equazioni differenziali ma la trigonometria.
L'equazione generale è corretta, per passare all'altra forma (quella che tu chiami risultato finale) devi considerare che:
$sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)=sin(a+b)$
ok ragazzi ma vorrei sapere il procedimento matematico .A monte del risultato io mi trovo questa espressione
$x(t)=c_1cos(sqrt(k/m)t)+c_2sen(sqrt(k/m)t)$ ok??
da qui come faccio a determinare le due costanti ?? ripeto consideriamo che noi non sappiamo il risultato finale ovvero ($Acos(omegat+phi0)$
poi se so a priori il risultato finale ovviamente dalla trigonometria e dalle formule di addizione riconosco subito che
$c_1= sin(phi_0) $ e $c_2=cos(ph_0)$
poi vorrei rispondere anche ad Arturo
sono d accordo che quelle me le trovo con le condizioni iniziali ma come ?? forse dovrei tener conto del problema di cauchy ?? (ripeto non ho mai svolto completamente un equazione differenziale e mi scuso se chiedo queste cose a monte di una preparazione non adeguata di questo argomento )
$x(t)=c_1cos(sqrt(k/m)t)+c_2sen(sqrt(k/m)t)$ ok??
da qui come faccio a determinare le due costanti ?? ripeto consideriamo che noi non sappiamo il risultato finale ovvero ($Acos(omegat+phi0)$
poi se so a priori il risultato finale ovviamente dalla trigonometria e dalle formule di addizione riconosco subito che
$c_1= sin(phi_0) $ e $c_2=cos(ph_0)$
poi vorrei rispondere anche ad Arturo
sono d accordo che quelle me le trovo con le condizioni iniziali ma come ?? forse dovrei tener conto del problema di cauchy ?? (ripeto non ho mai svolto completamente un equazione differenziale e mi scuso se chiedo queste cose a monte di una preparazione non adeguata di questo argomento )
È facile. Parti da una delle due soluzioni, mettiamo la seconda:
$x(t)=A sin(\omega t + \varphi)$.
Ti calcoli la derivata rispetto al tempo:
$\dot x(t)=A \omega cos(\omega t + \varphi)$.
Infine applichi le condizioni inziali:
$x(0)=x_0$
$\dot x(0)=\dot x_0$
ovvero:
$A sin \varphi = x_0$
$A \omega cos \varphi = \dot x_0$
e trovi $A$ e $\varphi$.
$x(t)=A sin(\omega t + \varphi)$.
Ti calcoli la derivata rispetto al tempo:
$\dot x(t)=A \omega cos(\omega t + \varphi)$.
Infine applichi le condizioni inziali:
$x(0)=x_0$
$\dot x(0)=\dot x_0$
ovvero:
$A sin \varphi = x_0$
$A \omega cos \varphi = \dot x_0$
e trovi $A$ e $\varphi$.
ok arturo ti ringrazio della risposta ma questo è il passaggio successivo... da quanto sto leggendo su internet devo calcolarmi le condizioni iniziali con il problema di cauchy ovvero quel sistema composta dall' equazione differenziale, dalla soluzione e dalla derivata della soluzione
considero $x(t)'=(c_1)'cos(omegat)-c_1omegasen(omegat)+(c_2)'sin(omegat)+c_2omegacos(omegat)$
e la calcolo in $t=0$ e risulta $x'(t)=c_1'+c_2 omega$
poi devo calcolarmi la derivata seconda di x(t) ?
perche su internet non riesco a capire praticamente quali sono le derivate che devo considerare nel sistema
considero $x(t)'=(c_1)'cos(omegat)-c_1omegasen(omegat)+(c_2)'sin(omegat)+c_2omegacos(omegat)$
e la calcolo in $t=0$ e risulta $x'(t)=c_1'+c_2 omega$
poi devo calcolarmi la derivata seconda di x(t) ?
perche su internet non riesco a capire praticamente quali sono le derivate che devo considerare nel sistema
Se segui il mio procedimento, arrivi alla conclusione in pochi secondi 
lo so ma tu dai gia dato per scontato che la soluzione sia quella con un certo sfasamento... ma ai tempi remoti (non so chi sia stato il primo a studiare il moto armonico con il calcolo differenziale ) ha dovuto determinare quelle due costanti in qualche modo per scrivere la soluzione che tutti conosciamo , quindi devo arrivare a scrivere matematicamente che
$c_1= sin(phi_0) $ e $c_2=cos(phi_0)$ capito perche sto facendo tutto questo casino ??
$c_1= sin(phi_0) $ e $c_2=cos(phi_0)$ capito perche sto facendo tutto questo casino ??
Come ti ha detto chiaramente anche Faussone, non c'è differenza fra le due soluzioni!!! Io sono partito dalla seconda per pure esigenze du semplicità, anche perchè mi fa fare meno fatica a scrivere sul tablet.
lo e ti ringrazio ma per motivi di comprensione matematica io cerco la dimostrazione inversa, cioè partendo dall' mio risultato voglio dimostrare che quello che il prof dice è vero ,con passaggi matematici cronologici
Allora, usiamo la prima soluzione che hai scritto soora:
$x = c_1 sin \omega t + c_2 cos \omega t$.
La derivata è:
$\dot x = c_1 \omega cos \omega t - c_2 \omega sin \omega t$.
Dalle condizioni iniziai hai:
$x(0)=c_2=x_0$
$\dot x(0)=c_1 \omega =\dot x_0$
da cui si ricava:
$c_1=\frac{\dot x_0}{\omega}$
$c_2=x_0$.
$x = c_1 sin \omega t + c_2 cos \omega t$.
La derivata è:
$\dot x = c_1 \omega cos \omega t - c_2 \omega sin \omega t$.
Dalle condizioni iniziai hai:
$x(0)=c_2=x_0$
$\dot x(0)=c_1 \omega =\dot x_0$
da cui si ricava:
$c_1=\frac{\dot x_0}{\omega}$
$c_2=x_0$.
mmm... da qui come fai a dire che
$c1=(x_0')/(omega)=cos(phi)$
$c2=x_0=sin(phi)$
???
$c1=(x_0')/(omega)=cos(phi)$
$c2=x_0=sin(phi)$
???
$x=c_1 sin \omega t + c_2 cos \omega t = A sin(\omega t + \varphi)$
ecc. ecc.
ecc. ecc.
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