Equazione di Schrodinger

[g171]

Sto facendo degli esercizi di meccanica Quantistica, mi sono imbattuto in questo problema:
"Un elettrone è soggetto ad un campo magentico uniforme, indipendente dal tempo, di intensità B lungo la direzione positiva dell'asse z. Per t=0 si sa che l'elettrone si trova in un autostato di $S*n$ con autovalore $\hbar/2$, dove n è un versore nel piano xz che fa un angolo ß con l'asse z.

a) Ottenere la probabilità di trovare l'elettrone nello stato con Sx = $\hbar/2$ in funzione del tempo
b) Trovare il valore di aspettazione di Sx in funzione del tempo.
c) Per vostra tranquillità controllate che le vostre risposte facciano senso nei casi estremi: ß--->0 e ß----->90

Io ho cercato di risolverlo ma non sono sicuro...
Ho trovato la probabilità facendo il prodotto tra Sx e il vettore di stato /c,t=0;t> tutto con modulo quadro ma non so come mettere le mani su l'angolo ß... potete aiutarmi?? Grazie mille

[yoshiharu]

"g17":Sto facendo degli esercizi di meccanica Quantistica, mi sono imbattuto in questo problema:
"Un elettrone è soggetto ad un campo magentico uniforme, indipendente dal tempo, di intensità B lungo la direzione positiva dell'asse z. Per t=0 si sa che l'elettrone si trova in un autostato di $S*n$ con autovalore [tex]\hbar /2[/tex], dove n è un versore nel piano xz che fa un angolo $\beta$ con l'asse z.

a) Ottenere la probabilità di trovare l'elettrone nello stato con [tex]S_x = \hbar /2[/tex] in funzione del tempo
b) Trovare il valore di aspettazione di $S_x$ in funzione del tempo.
c) Per vostra tranquillità controllate che le vostre risposte facciano senso nei casi estremi: [tex]\beta\rightarrow 0[/tex] e [tex]\beta\rightarrow 90[/tex]

Io ho cercato di risolverlo ma non sono sicuro...
Ho trovato la probabilità facendo il prodotto tra $S_x$ e il vettore di stato /c,t=0;t> tutto con modulo quadro ma non so come mettere le mani su l'angolo $\beta$... potete aiutarmi?? Grazie mille

Scusa, cosa significa che hai fatto "il prodotto tra $S_x$ e il vettore di stato"?
Per quanto riguarda l'angolo $\beta$ devi imporre la condizione che $S\cdot n$ applicato al vettore di stato $|\psi\rangle$ dia

[tex]n\cdot S |\psi\rangle = \frac{\hbar}{2} |\psi\rangle[/tex]

ricordandoti che

[tex]n\cdot S = \cos\beta S_z + \sin\beta S_x[/tex]

Risolvendo il sistema trovi le componenti del vettore dello stato iniziale. Poi applichi l'operatore [tex]e^{iHt}[/tex] e fai il prodotto scalare per l'autovettore di $S_x$, e prendi il modulo quadro

[tex]|\langle +|e^{iHt}|\psi\rangle|^2[/tex]

con [tex]S_x|+\rangle = \frac{\hbar}{2}|+\rangle[/tex] ottenendo la probabilita'. Poi (ricordandosi che in italiano "to make sense" non si traduce con "fare senso" ) poni $\beta$ a quello che ti pare ($\beta=0$ corrisponde a uno stato iniziale che e' autostato di $S_z$, $\beta=\pi / 2$ corrisponde a un autostato di $S_x$).

Credo che sia tutto.

[g171]

Grazie mille!

Una domanda: L'operatore che hai applicato: $e^(iHt)$ non dovrebbe essere $exp[(iHt)/h]$??

[yoshiharu]

"g17":
Una domanda: L'operatore che hai applicato: $e^(iHt)$ non dovrebbe essere $exp[(iHt)/h]$??

Ahem, si', giusto, sono cosi' abituato a mettere [tex]\hbar=1[/tex] che mi ero dimenticato
La versione corretta e'

[tex]\exp{i\frac{H t}{\hbar}}[/tex]

[g171]

"yoshiharu":[quote="g17"]
Una domanda: L'operatore che hai applicato: $e^(iHt)$ non dovrebbe essere $exp[(iHt)/h]$??

Ahem, si', giusto, sono cosi' abituato a mettere [tex]\hbar=1[/tex] che mi ero dimenticato
La versione corretta e'

[tex]\exp{i\frac{H t}{\hbar}}[/tex][/quote]

Ok grazie mille! sei stato di grande aiuto