Equazione delle onde in 3dim
perché si usa la trasformata di Fourier per trovare la soluzione dell'eq. delle onde EM in 3-dim.
Risposte
perché è un'equazione lineare.
La trasformata stessa è lineare nelle funzioni, dunque operatori lineari vanno in operatori lineari. Bada bene: operatore lineare vuol dire lineare nella funzione.
Più in dettaglio, la trasformata manda derivate in prodotti per l'argomento e viceversa. Mi spiego meglio: a meno di segni e di fattori $2\pi$ in giro che dipendono dalle convenzioni, hai
$ \partial_a f(x) \rightarrow i k_a \tilde{f}(k) $
Per cui un'equazione differenziale che è una combinazione lineare della funzione e delle sue derivate in trasformata diventa una banalissima equazione algebrica. La risolvi (facendo attenzione a divergenze, distribuzioni, bla bla bla) e poi ritrasformi.
Più fisicamente, se vuoi vederla così, le onde piane $e^{ik\cdot x}$ sono le soluzioni "fondamentali" all'equazione delle onde, nel senso che l'operatore d'Alembertiano le manda in un multiplo di se stesse. Si dice che l'operatore è diagonalizzato nella base delle onde piane. Ha dunque senso decomporre una funzione in termini di queste onde piane per identificare le soluzioni dell'equazione, questo è come puoi facilmente vedere esattamente quello che vuol dire fare la trasformata di Fourier.
La trasformata stessa è lineare nelle funzioni, dunque operatori lineari vanno in operatori lineari. Bada bene: operatore lineare vuol dire lineare nella funzione.
Più in dettaglio, la trasformata manda derivate in prodotti per l'argomento e viceversa. Mi spiego meglio: a meno di segni e di fattori $2\pi$ in giro che dipendono dalle convenzioni, hai
$ \partial_a f(x) \rightarrow i k_a \tilde{f}(k) $
Per cui un'equazione differenziale che è una combinazione lineare della funzione e delle sue derivate in trasformata diventa una banalissima equazione algebrica. La risolvi (facendo attenzione a divergenze, distribuzioni, bla bla bla) e poi ritrasformi.
Più fisicamente, se vuoi vederla così, le onde piane $e^{ik\cdot x}$ sono le soluzioni "fondamentali" all'equazione delle onde, nel senso che l'operatore d'Alembertiano le manda in un multiplo di se stesse. Si dice che l'operatore è diagonalizzato nella base delle onde piane. Ha dunque senso decomporre una funzione in termini di queste onde piane per identificare le soluzioni dell'equazione, questo è come puoi facilmente vedere esattamente quello che vuol dire fare la trasformata di Fourier.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo