Equazione del moto in forma differenziali: esercizio
Ciao a tutti ragazzi. Mi trovo alle prese con il seguente esercizio:
io risolverei la seguente equazione differenziale:
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-\beta (\frac{dx}{dt})^2$
Da qui mi calcolo l'equazione differenziale per la velocità e si avrà che:
$m\frac{dv}{dt}=-\beta*v^2$.
Integrando fra istante iniziale e un generico finale ottengo che:
$\-frac{1}{v}+\frac{1}{v_0}=-\frac{\beta}{m}*(t-t_0)$
Ovviamente, per ipotesi $t_0=0$ e alla fine si che:
$v(t)=\frac{m*v_0}{m+v_0*\beta*t}$.
Quindi il primo punto è risolto. Mi date conferma dell'esattezza del risultato? :/
Per il secondo punto sembra che, invece, la velocità v tende a 0 solo per t infinito e quindi la distanza percorsa della particella non può' essere finita. Corretto?
io risolverei la seguente equazione differenziale:
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-\beta (\frac{dx}{dt})^2$
Da qui mi calcolo l'equazione differenziale per la velocità e si avrà che:
$m\frac{dv}{dt}=-\beta*v^2$.
Integrando fra istante iniziale e un generico finale ottengo che:
$\-frac{1}{v}+\frac{1}{v_0}=-\frac{\beta}{m}*(t-t_0)$
Ovviamente, per ipotesi $t_0=0$ e alla fine si che:
$v(t)=\frac{m*v_0}{m+v_0*\beta*t}$.
Quindi il primo punto è risolto. Mi date conferma dell'esattezza del risultato? :/
Per il secondo punto sembra che, invece, la velocità v tende a 0 solo per t infinito e quindi la distanza percorsa della particella non può' essere finita. Corretto?
Risposte
Il risultato dell'equazione differenziale da te impostata è esatto: puoi notare infatti che per $t=0$ otteniamo effettivamente la $v_0$ iniziale.
per il secondo punto potresti integrare nuovamente sapendo che $v(t)=(dx(t))/dt$ e trovarti $x(t)$. sinceramente non ho svolto l'integrale e, visto che il testo dice di motivare quantitativamente la risposta, penso che la tua analisi sia sufficiente e corretta.
per il secondo punto potresti integrare nuovamente sapendo che $v(t)=(dx(t))/dt$ e trovarti $x(t)$. sinceramente non ho svolto l'integrale e, visto che il testo dice di motivare quantitativamente la risposta, penso che la tua analisi sia sufficiente e corretta.
Grazie per la risposta 
Comunque integrando ancora, ponendo che $x_f$=0, si avrà che ($x_f$=x finale):
$log(m+v_0*\beta*t_f)=log(m)$ che risulta vero solo se $t_f=0$, quindi alla fine il mio ragionamento fatto inizialmente sia esatto, ossia che x non potrà mai essere 0. Corretto?
Comunque integrando ancora, ponendo che $x_f$=0, si avrà che ($x_f$=x finale):
$log(m+v_0*\beta*t_f)=log(m)$ che risulta vero solo se $t_f=0$, quindi alla fine il mio ragionamento fatto inizialmente sia esatto, ossia che x non potrà mai essere 0. Corretto?
Ma perché imponi che la $x_f$ sia 0 ?
Per trovare lo spostamento x(t), ti conviene imporre $x_0=0$ , lasciare come estremo di integrazione libero x(t) e risolvere l'integrale...
Per trovare lo spostamento x(t), ti conviene imporre $x_0=0$ , lasciare come estremo di integrazione libero x(t) e risolvere l'integrale...
Si hai ragione, che stupido che sono :/
comunque il risultato è:
$x(t)=\frac{m}{\beta}*log(\frac{m+v_0*\beta*t}{m})$
Quindi è abbastanza evidente che per $t$ che tende a infinito, x(t) va a infinito e quindi non si potrà mai avere una x finita. Penso il problema possa essere concluso, spero :/
comunque il risultato è:
$x(t)=\frac{m}{\beta}*log(\frac{m+v_0*\beta*t}{m})$
Quindi è abbastanza evidente che per $t$ che tende a infinito, x(t) va a infinito e quindi non si potrà mai avere una x finita. Penso il problema possa essere concluso, spero :/
"eliofio":
Si hai ragione, che stupido che sono :/
si tratta di abitudine, tutti commettiamo errori grossolani, l'importante è capire dove e quando si sbaglia
ad ogni modo, ciò che hai trovato è corretto, pertanto lo spostamento $x(t)$ non tende a un valore finito
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