Equazione del moto da energia meccanica
Ciao a tutti,
Vi propongo questo esercizio in cui viene chiesto di ricavare l'equazione di moto partendo dalla definizione di energia meccanica.
Dato il seguente sistema:
Si ha un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ disposto in un piano verticale ed imperniato nel suo centro.
Una molla ideale di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla collegata al punto $A$. La molla si mantiene sempre verticale.
All'estremo opposto del diametro passante per $A$ abbiamo il punto $B$ nel quale si trova un punto materiale di massa $M$ (uguale al disco.
$vartheta$ è l'angolo che il raggio che tocca $B$ forma con l'orizzontale.
L'energia cinetica è uguale a
$T= 1/2I_Odot(vartheta)^2$
L'energia potenziale è uguale
$U= 1/2k (Rsin(vartheta))^2 - MgRsin(vartheta)$
Questo è quello che ho scritto io.
Nella soluzione dell'esercizio viene scritto, non so perché, che l'energia potenziale gravitazionale non è negativa, ma è $+MgRsin(vartheta)$.
Non capisco, se pongo una terna destrorsa nel centro del disco (in $O$), con un asse $x$ crescente verso destra, un asse $y$ crescente verso il basso, ed un asse $z$ entrante, avrò che il mio angolo $vartheta$ aumenterà in senso orario.
Infatti potrò scrivere
$E= 1/2I_Odot(vartheta)^2 + 1/2k (Rsin(vartheta))^2 - MgRsin(vartheta)$
Se derivo tale energia meccanica ottengo:
$ddot(vartheta)= MgRcos(vartheta) - (kR^2sin(vartheta))/I_O$
invece nella soluzione leggo scritto:
$ddot(vartheta)= -MgRcos(vartheta) - (kR^2sin(vartheta))/I_O$
ovvero il primo termine ha segno negativo.
Perché accade ciò? Dove sta l'errore?
Vi propongo questo esercizio in cui viene chiesto di ricavare l'equazione di moto partendo dalla definizione di energia meccanica.
Dato il seguente sistema:
Si ha un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ disposto in un piano verticale ed imperniato nel suo centro.
Una molla ideale di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla collegata al punto $A$. La molla si mantiene sempre verticale.
All'estremo opposto del diametro passante per $A$ abbiamo il punto $B$ nel quale si trova un punto materiale di massa $M$ (uguale al disco.
$vartheta$ è l'angolo che il raggio che tocca $B$ forma con l'orizzontale.
L'energia cinetica è uguale a
$T= 1/2I_Odot(vartheta)^2$
L'energia potenziale è uguale
$U= 1/2k (Rsin(vartheta))^2 - MgRsin(vartheta)$
Questo è quello che ho scritto io.
Nella soluzione dell'esercizio viene scritto, non so perché, che l'energia potenziale gravitazionale non è negativa, ma è $+MgRsin(vartheta)$.
Non capisco, se pongo una terna destrorsa nel centro del disco (in $O$), con un asse $x$ crescente verso destra, un asse $y$ crescente verso il basso, ed un asse $z$ entrante, avrò che il mio angolo $vartheta$ aumenterà in senso orario.
Infatti potrò scrivere
$E= 1/2I_Odot(vartheta)^2 + 1/2k (Rsin(vartheta))^2 - MgRsin(vartheta)$
Se derivo tale energia meccanica ottengo:
$ddot(vartheta)= MgRcos(vartheta) - (kR^2sin(vartheta))/I_O$
invece nella soluzione leggo scritto:
$ddot(vartheta)= -MgRcos(vartheta) - (kR^2sin(vartheta))/I_O$
ovvero il primo termine ha segno negativo.
Perché accade ciò? Dove sta l'errore?
Risposte
Se assumi come piano di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale il piano orizzontale passante per il centro del disco, dove $E_p=0$, hai che la massa M posta in B ha energia potenziale: $ + MgRsentheta $
"Shackle":
Se assumi come piano di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale il piano orizzontale passante per il centro del disco, dove $E_p=0$, hai che la massa M posta in B ha energia potenziale: $ + MgRsentheta $
Non capisco.
Se $vartheta$ aumenta,avrò un angolo positivo (dato che esso cresce in senso orario).
Prendiamo ad esempio $vartheta_0= pi/6$.
Quando il raggio che tocca la mia massettina descrive un angolo $vartheta_0$ con l'orizzontale, avrò che l'angolo sarà positivo e che l'energia potenziale sarà però negativa, in quanto $E_p=0$ lungo il piano orizzontale passante per il centro del disco.
In tale configurazione avrò $MgRsin(vartheta_0)=MgR/2$ , il quale è un valore positivo.
Per far sì che esso sia negativo dovrei scrivere $-MgRsin(vartheta)$, in caso contrario avrei un energia potenziale positiva quando $vartheta$ è, per esempio, uguale a $pi/6$.E questo sarebbe falso.
"anonymous_f3d38a":
[
Non capisco.
Se $vartheta$ aumenta,avrò un angolo positivo (dato che esso cresce in senso orario).
Prendiamo ad esempio $vartheta_0= pi/6$.
Stai assumendo che le rotazioni orarie siano positive? Ok, nessun problema.
Quando il raggio che tocca la mia massettina descrive un angolo $vartheta_0$ con l'orizzontale, avrò che l'angolo sarà positivo e che l'energia potenziale sarà però negativa, in quanto $E_p=0$ lungo il piano orizzontale passante per il centro del disco.
Innanzitutto, è più corretto parlare di “differenze” di energia potenziale. Il lavoro della forza gravitazionale è uguale alla differenza tra Energia potenziale iniziale e quella finale: come tu stesso dici qui....:
In tale configurazione avrò $MgRsin(vartheta_0)=MgR/2$ , il quale è un valore positivo.
...per un angolo iniziale di $\pi/6 = 30 º$ , hai il valore positivo : $E_p(i) = MgR/2$ . Quando il raggio vettore è ruotato di $30º$ nel senso positivo da te stabilito : $E_p(f) = 0 $ , perché sul piano orizzontale per il centro l‘energia potenziale è zero, per convenzione. LA differenza : $ E_p(i) - 0 = MgR/2 $ è $>0$ , e infatti l campo gravitazionale fa lavoro positivo nello spostamento di B fin sul piano .
Per far sì che esso sia negativo dovrei scrivere $-MgRsin(vartheta)$, in caso contrario avrei un energia potenziale positiva quando $vartheta$ è, per esempio, uguale a $pi/6$.E questo sarebbe falso.
Perché deve essere negativa, questa differenza? LA variazione di $ E_p$ , che è uguale alla differenza tra En. pot. iniziale e En. pot. finale , deve essere positiva , in quanto uguale al lavoro della forza peso per B che si abbassa.
Rivedi le tue conoscenze sull’energia potenziale.
"Shackle":
Rivedi le tue conoscenze sull’energia potenziale.
Ciao Shackle ho studiato tutto il giorno tutto ciò che riguarda l'energia.
Ho provato a rileggere tutto sull'energia potenziale e sono d'accordo con te, essa è definita a meno di una costante.
Però c'è ancora una cosa che non capisco.
Provo a prendere lo stesso problema di prima e lo semplifico per andare dritti al punto.
Dato il seguente sistema in cui ho solamente un punto materiale della stessa massa del disco costretto a muoversi sulla circonferenza del disco appeso, voglio scrivere solamente la funzione energia potenziale gravitazionale.
Impongo delle condizioni per non commettere più errori in futuro di questo tipo.
Mettiamo caso che l'angolo debba essere definito, come prima, crescente in senso orario, e lo zero dell'energia potenziale debba essere lungo il diametro orizzontale passante lungo il centro del disco.
E' chiaro che sono imposizioni che non stanno né in cielo né in terra perché tali decisioni sono arbitrarie, però, ribadisco, è per rivedere bene l'errore.
Io non capisco perché scrivere
$U= -MgRsin(vartheta)$
sia un errore.
Anzi secondo me sarebbe sbagliato scrivere $U=0- (-MgRsin(vartheta))= +MgRsin(vartheta)$ .
Mettiamo caso che l'angolo debba essere definito, come prima, crescente in senso orario, e lo zero dell'energia potenziale debba essere lungo il diametro orizzontale passante lungo il centro del disco.
Ottimo. Immaginiamo che la terra stia sotto la circonferenza ; diciamo che sul diametro orizzontale passante per il centro l’energia potenziale gravitazionale è zero, per convenzione stabilita tra noi due.
Ogni qualvolta B si trova sopra il diametro ha energia potenziale gravitazionale positiva rispetto a quel diametro; il lavoro della forza peso (che è diretta verso il basso) nello spostamento di B da un punto iniziale fin sul diametro è positivo , ed è uguale a :
$L = U(i) -U(f) = U(i) - 0 = U(i) > 0 $ , come deve essere per definizione di energia potenziale gravitazionale.
Ogni qualvolta B si trova sotto il diametro ha energia potenziale gravitazionale negativa rispetto al diametro: ci sei fin qui ? Il lavoro della forza peso nello spostamento da un punto giacente sul diametro fino al punto finale, che sta sotto il diametro, vale :
$L = U(i) -U(f) = 0 - U(f) =- U(f) > 0 $
cioè, il lavoro della forza peso , nello spostamento detto , è ancora positivo , visto che vale $ - U(f) $ .
Se vuoi attribuire automaticamente il segno all’energia potenziale, facendolo venir fuori dal segno di $sen\theta$, devi necessariamente scrivere :
$ U = + MgRsen\theta$
Infatti, quando B si trova sopra il diametro l’angolo $theta$ varia da $0$ a $pi$ , col raggio vettore che ruota in verso orario da sinistra verso destra, e quindi $ sen\theta >0 $ . Quando B si trova sotto il diametro l’angolo varia da $pi$ a $2pi$ , e $sen\theta <0$ . Se poi vuoi prendere il valore assoluto del seno, il segno lo metti tu prima: positivo se B è sopra il diametro, negativo se è sotto.
Mi viene voglia di chiederti ora che segno ha il lavoro “della forza peso” , quando B ruota da 0 a 90 gradi; poi da 90 a 180; poi da 180 a 270; poi da 270 a 360, nel verso positivo della rotazione da te assunto...
É chiaro ?
"Shackle":
...
$ U = + MgRsen\theta$
Infatti, quando B si trova sopra il diametro l’angolo $theta$ varia da $0$ a $pi$ , col raggio vettore che ruota in verso orario da sinistra verso destra, e quindi $ sen\theta >0 $ . Quando B si trova sotto il diametro l’angolo varia da $pi$ a $2pi$ , e $sen\theta <0$ . Se poi vuoi prendere il valore assoluto del seno, il segno lo metti tu prima: positivo se B è sopra il diametro, negativo se è sotto.
...
Sono d'accordo con te fino alla prima equazione appena citata.
Non sono d'accordo tuttavia su una cosa.
Dal momento che il mio angolo cresce in senso orario, l'angolo varia tra $0$ e $pi$ quando $B$ si trova sotto il diametro orizzontale, e non sopra come hai appena scritto.
Faccio un paragone con l'orologio in quanto non posso disegnare o usare paint al momento.
L'angolo è $0$ quando la lancetta delle ore segna le 3,
$pi/2$ quando segna le 6,
e $pi$ quando segna le 9.
Non dico di aver ragione, sia chiaro, sto semplicemente esponendo ciò che penso.
Per questo motivo ho scritto $-MgRsin(vartheta)$, in modo che se $B$ sta sotto al diametro orizzontale, l'angolo è positivo (in quanto è compreso tra $0$ e $pi$), e mettendo un segno meno davanti, l'energia potenziale gravitazionale è negativa!
Insomma, stai facendo una confusione enorme tra angoli, versi di rotazione, B sopra o sotto il diametro orizzontale...SE mi scrivi questo .....:
Non capisco.
Se $vartheta$ aumenta,avrò un angolo positivo (dato che esso cresce in senso orario).
Prendiamo ad esempio $vartheta_0= pi/6$.[/quote]
...io, che sto davanti a uno schermo di pc a centinaia di km da te, capisco che $theta$ cresce in senso orario, e aumenta. Allora, per fare questo, vuol dire che inizialmente il raggio vettore, che ruota in senso orario, si trova adagiato sul diametro orizzontale , con B alla sinistra del centro .
Adesso dici praticamente l’opposto...Come fa l’angolo a crescere da $0$ a $pi$ ruotando in senso orario ma stando al di sotto del diametro, solo tu lo sai. Insomma, dove cavolo è il raggio vettore di partenza?
Comunque sia , questo è secondario. Il punto principale, su cui ti sei intestardito e non ti muovi, è questo :
La terra è sotto il disco, $vecg$ è diretto ovviamente verso il basso; il piano di riferimento P è quello diametrale della circonferenza di raggio R; l’energia potenziale gravitazionale di un punto B posto al di sopra del diametro, riferita al piano P, è (guarda la figura) :
$U_B = +mgh$ , quindi positiva (rispetto al piano!) .
se il punto B’ si trova sotto il piano P , l’energia potenziale gravitazionale riferita al piano detto è :
$U_(B’) = -mgk$ , quindi negativa (rispetto al piano!) .
"anonymous_f3d38a":
[quote="Shackle"]Se assumi come piano di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale il piano orizzontale passante per il centro del disco, dove $E_p=0$, hai che la massa M posta in B ha energia potenziale: $ + MgRsentheta $
Non capisco.
Se $vartheta$ aumenta,avrò un angolo positivo (dato che esso cresce in senso orario).
Prendiamo ad esempio $vartheta_0= pi/6$.[/quote]
...io, che sto davanti a uno schermo di pc a centinaia di km da te, capisco che $theta$ cresce in senso orario, e aumenta. Allora, per fare questo, vuol dire che inizialmente il raggio vettore, che ruota in senso orario, si trova adagiato sul diametro orizzontale , con B alla sinistra del centro .
Adesso dici praticamente l’opposto...Come fa l’angolo a crescere da $0$ a $pi$ ruotando in senso orario ma stando al di sotto del diametro, solo tu lo sai. Insomma, dove cavolo è il raggio vettore di partenza?
Comunque sia , questo è secondario. Il punto principale, su cui ti sei intestardito e non ti muovi, è questo :
La terra è sotto il disco, $vecg$ è diretto ovviamente verso il basso; il piano di riferimento P è quello diametrale della circonferenza di raggio R; l’energia potenziale gravitazionale di un punto B posto al di sopra del diametro, riferita al piano P, è (guarda la figura) :
$U_B = +mgh$ , quindi positiva (rispetto al piano!) .
se il punto B’ si trova sotto il piano P , l’energia potenziale gravitazionale riferita al piano detto è :
$U_(B’) = -mgk$ , quindi negativa (rispetto al piano!) .
"Shackle":
...(guarda la figura) :
$U_B = +mgh$ , quindi positiva (rispetto al piano!) .
se il punto B’ si trova sotto il piano P , l’energia potenziale gravitazionale riferita al piano detto è :
$U_(B’) = -mgk$ , quindi negativa (rispetto al piano!) .
Tutto il problema del segno, a quanto ho capito, sta nel fatto che io ho fatto partire lo zero dell'angolo (che cresce in senso orario) da quando B si trova a destra (ore $3$ dell'orologio), così che il seno dell'angolo sarà positivo quando mi troverò sotto il diametro orizzontale.
Mentre tu lo hai posto a sinistra (ore $9$ dell'orologio), così che il seno sarà positivo quando mi troverò sopra il diametro orizzontale.
E' errato, in linea generale, definire gli angoli come ho fatto io?
Chiedo per non rifare lo stesso errore.
Quando si tratta di stabilire qualcosa per convenzione, non è sbagliato; niente è sbagliato, in una convenzione, purché tutti siano al corrente e la usino alla stessa maniera. Va pur detto che quella da te adottata è inusuale, normalmente gli angoli si considerano crescenti da zero quando il raggio vettore ruota in senso antiorario, a partire dallo stesso orientamento dell’asse x , che è, normalmente, orientato positivo verso destra, mentre y è orientato positivo verso l’alto. Hai studiato trigonometria, geometria analitica, e le coordinate polari, quindi lo sai.
Ma la cosa importante è invece capire la questione dell’energia potenziale, che è anch’essa basata su una convenzione; ma non ripeto perché te l’ho già spiegata molte volte.
Ma la cosa importante è invece capire la questione dell’energia potenziale, che è anch’essa basata su una convenzione; ma non ripeto perché te l’ho già spiegata molte volte.
"Shackle":
Quando si tratta di stabilire qualcosa per convenzione, non è sbagliato; niente è sbagliato, in una convenzione, purché tutti siano al corrente e la usino alla stessa maniera. Va pur detto che quella da te adottata è inusuale, normalmente gli angoli si considerano crescenti da zero quando il raggio vettore ruota in senso antiorario, a partire dallo stesso orientamento dell’asse x , che è, normalmente, orientato positivo verso destra, mentre y è orientato positivo verso l’alto. Hai studiato trigonometria, geometria analitica, e le coordinate polari, quindi lo sai.
Ma la cosa importante è invece capire la questione dell’energia potenziale, che è anch’essa basata su una convenzione; ma non ripeto perché te l’ho già spiegata molte volte.
Ho capito Shackle, ti ringrazio per aver dedicato tempo a questo post. Ammetto che mi sono intestardito su dei punti sui quali non era utile intestardirsi.
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