Equazione del moto
Buongiorno, avrei una domanda da fare, di cui più che la soluzione, mi servirebbe la spiegazione, la domanda è la f(prima tutto liscio), ho la correzione del professore ma non riesco a capire una cosa. Questa è la soluzione(che anch'io ho scritto):
$m*a_m=-kDeltaz+m*g$; $M*a_M=kDeltaz+M*g$.
Ora, la cosa che non riesco a capire è perché devo sottrarle l'una all'altra per trovare l'equazione del moto $a_(mM)=a_m-a_M=-k(1/m+1/M)[(z_m-z_M)-l_0]+g-g$, capisco che in qualche modo devo far andar via la $g$, visto che chiede il moto relativo, ma una spiegazione più "scientifica" e teorica c'è?
Qualcuno può darmi una mano?
grazie in anticipo.
$m*a_m=-kDeltaz+m*g$; $M*a_M=kDeltaz+M*g$.
Ora, la cosa che non riesco a capire è perché devo sottrarle l'una all'altra per trovare l'equazione del moto $a_(mM)=a_m-a_M=-k(1/m+1/M)[(z_m-z_M)-l_0]+g-g$, capisco che in qualche modo devo far andar via la $g$, visto che chiede il moto relativo, ma una spiegazione più "scientifica" e teorica c'è?
Qualcuno può darmi una mano?
grazie in anticipo.
Risposte
Probabilmente non ti sembrerà una spiegazione molto "scientifica", ma proviamo:
Immagino che quando, in f), chiede l'equazione di moto "relativo", voglia dire: nel riferimento del centro di massa?
supponendo che sia così, questo vuol dire trovare l'equazione di moto "al netto della gravità", e possiamo trovarla sostituendo quel sistema con un altro che si trova su un piano orizzontale liscio.
Questo è un sistema molto più familiare, due masse unite da una molla, e la trattazione è nota.
(ma ho paura che non sarai soddisfatto...poche formule...
)
Immagino che quando, in f), chiede l'equazione di moto "relativo", voglia dire: nel riferimento del centro di massa?
supponendo che sia così, questo vuol dire trovare l'equazione di moto "al netto della gravità", e possiamo trovarla sostituendo quel sistema con un altro che si trova su un piano orizzontale liscio.
Questo è un sistema molto più familiare, due masse unite da una molla, e la trattazione è nota.
(ma ho paura che non sarai soddisfatto...poche formule...
)
Forse intendi della massa ridotta? infatti $1/m+1/M=(mM)/(m+M)=mu$ che è proprio la massa ridotta, quello che non riesco a capire della tua risposta è l'ultima parte del piano liscio, dici così solo perché siamo senza gravità in questo moto essendo relativo? In ogni caso non volevo formule o altro, con "scientifica" o teorica intendevo anche solo il perché vedendo una situazione così dovrei subito pensare a sottrarre le accelerazioni, cioè la logica che ci sta dietro al ragionamento ecco, non so se mi spiego, così in caso di una situazione simile so come comportarmi.
In ogni caso grazie mille
In ogni caso grazie mille
Intanto ti segnalo un problema analogo (sul piano orizzontale)
viewtopic.php?f=19&t=173494
Parlo di piano orizzontale liscio perchè rappresenta la situazione "vista" dal CM del sistema (naturalmente con gli assi ruotali), in cui agiscono solo le forze interne - la tensione della molla. Poi volendo il moto nel sistema della terra, basta sommargli il moto generale di caduta libera.
Una situazione simile potrebbe essere quella di un proiettile che esplode in volo: qui il moto delle schegge, nel riferimento del CM è semplicemente radiale con velocità costanti; mentre il CM prosegue normalmente con il suo moto parabolico.
viewtopic.php?f=19&t=173494
Parlo di piano orizzontale liscio perchè rappresenta la situazione "vista" dal CM del sistema (naturalmente con gli assi ruotali), in cui agiscono solo le forze interne - la tensione della molla. Poi volendo il moto nel sistema della terra, basta sommargli il moto generale di caduta libera.
Una situazione simile potrebbe essere quella di un proiettile che esplode in volo: qui il moto delle schegge, nel riferimento del CM è semplicemente radiale con velocità costanti; mentre il CM prosegue normalmente con il suo moto parabolico.
Probabilmente vi è sfuggito che il sistema di riferimento del centro di massa viene scomodato solo al punto h. Per "equazione del moto relativo" intende l'equazione soddisfatta da $[z_1-z_2]$, la differenza tra le due quote per intenderci, in un sistema di riferimento inerziale.
"anonymous_0b37e9":
Per "equazione del moto relativo" intende l'equazione soddisfatta da $[z_1-z_2]$, la differenza tra le due quote per intenderci, in un sistema di riferimento inerziale.
Intendi dire, una sola variabile? Ma non ti pare che trovare z1 e z2 nel sistema del CM - per poi magari fonderle in $[z_1-z_2]$ - sia la via più naturale?
Intendo la procedura standard, quella che si applica nel problema a due corpi mediante il seguente cambiamento di variabili:
$[vecr_(CM)=(m_1vecr_1+m_2vecr_2)/(m_1+m_2)] ^^ [vecr=vecr_1-vecr_2]$
Mi premeva solo sottolineare che, per "equazione del moto relativo", intende l'equazione differenziale soddisfatta da $vecr$ in un sistema di riferimento inerziale. Tra l'altro, nel caso in esame, il sistema del centro di massa, a differenza del problema a due corpi, non è nemmeno inerziale (questo non significa che, in quest'ultimo sistema, l'analisi si complichi, come mi sembra tu abbia già illustrato). Non c'è dubbio che si possa procedere anche in altri modi. Tuttavia, intendevo solo adottare una procedura già collaudata.
Più in dettaglio, adottando la procedura standard, mediante il seguente cambiamento di variabili:
$\{(z_(CM)=(Mz_1+mz_2)/(M+m)),(z=z_1-z_2):} rarr \{(z_1=z_(CM)+m/(M+m)z),(z_2=z_(CM)-M/(M+m)z):}$
si ottengono le seguenti equazioni del moto:
$\{(Mddot(z_1)=Mg+k(-z_1+z_2-l_0)),(mddot(z_2)=mg+k(z_1-z_2+l_0)):} rarr$
$rarr \{(Mddot(z_(CM))+(Mm)/(M+m)ddotz=Mg-kz-kl_0),(mddot(z_(CM))-(Mm)/(M+m)ddotz=mg+kz+kl_0):} rarr$
$rarr \{(ddot(z_(CM))=g),((Mm)/(M+m)ddotz=-k(z+l_0)):}$
In definitiva, il punto g) della consegna richiede di risolvere la seguente equazione differenziale:
$[(Mm)/(M+m)ddotz=-k(z+l_0)]$
con le opportune condizioni iniziali. Ad ogni modo, noto con ingiustificato stupore che l'equazione differenziale soddisfatta da $[z=z_1-z_2]$ in un sistema di riferimento inerziale è del tutto identica a quella che si otterrebbe nel sistema di riferimento non inerziale del centro di massa, quello in caduta libera per intenderci. Premesso che sarebbe stato doveroso comprenderlo a priori, si tratta di una conseguenza diretta dell'indipendenza dell'accelerazione di gravità dalla massa, non arrivo a dire che il mio intervento precedente:
sia del tutto ingiustificato, ma certo aggiunge molto meno di quanto ritenessi necessario alle argomentazioni di mgrau. Insomma, quel che è giusto è giusto.
$[vecr_(CM)=(m_1vecr_1+m_2vecr_2)/(m_1+m_2)] ^^ [vecr=vecr_1-vecr_2]$
Mi premeva solo sottolineare che, per "equazione del moto relativo", intende l'equazione differenziale soddisfatta da $vecr$ in un sistema di riferimento inerziale. Tra l'altro, nel caso in esame, il sistema del centro di massa, a differenza del problema a due corpi, non è nemmeno inerziale (questo non significa che, in quest'ultimo sistema, l'analisi si complichi, come mi sembra tu abbia già illustrato). Non c'è dubbio che si possa procedere anche in altri modi. Tuttavia, intendevo solo adottare una procedura già collaudata.
Più in dettaglio, adottando la procedura standard, mediante il seguente cambiamento di variabili:
$\{(z_(CM)=(Mz_1+mz_2)/(M+m)),(z=z_1-z_2):} rarr \{(z_1=z_(CM)+m/(M+m)z),(z_2=z_(CM)-M/(M+m)z):}$
si ottengono le seguenti equazioni del moto:
$\{(Mddot(z_1)=Mg+k(-z_1+z_2-l_0)),(mddot(z_2)=mg+k(z_1-z_2+l_0)):} rarr$
$rarr \{(Mddot(z_(CM))+(Mm)/(M+m)ddotz=Mg-kz-kl_0),(mddot(z_(CM))-(Mm)/(M+m)ddotz=mg+kz+kl_0):} rarr$
$rarr \{(ddot(z_(CM))=g),((Mm)/(M+m)ddotz=-k(z+l_0)):}$
In definitiva, il punto g) della consegna richiede di risolvere la seguente equazione differenziale:
$[(Mm)/(M+m)ddotz=-k(z+l_0)]$
con le opportune condizioni iniziali. Ad ogni modo, noto con ingiustificato stupore che l'equazione differenziale soddisfatta da $[z=z_1-z_2]$ in un sistema di riferimento inerziale è del tutto identica a quella che si otterrebbe nel sistema di riferimento non inerziale del centro di massa, quello in caduta libera per intenderci. Premesso che sarebbe stato doveroso comprenderlo a priori, si tratta di una conseguenza diretta dell'indipendenza dell'accelerazione di gravità dalla massa, non arrivo a dire che il mio intervento precedente:
"anonymous_0b37e9":
Probabilmente vi è sfuggito che il sistema di riferimento del centro di massa viene scomodato solo al punto h. Per "equazione del moto relativo" intende l'equazione soddisfatta da $[z_1-z_2]$, la differenza tra le due quote per intenderci, in un sistema di riferimento inerziale.
sia del tutto ingiustificato, ma certo aggiunge molto meno di quanto ritenessi necessario alle argomentazioni di mgrau. Insomma, quel che è giusto è giusto.
E' un po' la storia del famoso regalo di compleanno di Einstein...
"mgrau":
E' un po' la storia del famoso regalo di compleanno di Einstein...
Confesso di non conoscerla. Pur avendo cercato in rete, non capisco il significato che gli stai attribuendo.
"mgrau":
Era qui nel forum ...
Grazie del riferimento. Cercando in rete, non avevo capito che si trattasse di un indovinello di fisica.
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