Entropia funzione di stato
Buongiorno,
dopo aver passato il pomeriggio a cercare di capire in quali casi l'entropia è una funzione di stato, mi rivolgo a voi nella speranza di un aiuto
Ho cercato su quattro libri diversi, e tutti quanti definiscono la variazione di entropia in una trasformazione dallo stato $A$ allo stato $B$ come $\Delta S_{AB}=int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T$.
Poi si dimostra il teorema di clausius, il quale asserisce che in un ciclo termodinamico reversibile $int_{"linea chiusa"} (\delta Q_{rev})/T=0$, dove con il pedice $rev$ si intende che il calore deve essere scambiato in una trasformazione reversibile. Dunque sotto l'ipotesi di trasformazioni reversibili risulta che l'entropia è una funzione di stato del sistema, e quindi $\Delta S_{AB}=S_B - S_A$
Per cicli in cui avvengono anche trasformazioni irreversibili invece il teorema di Clausius dice che $int_{"linea chiusa"} (\delta Q_{irr})/T<0$.
Ora considerando un ciclo che $A->B->A$ con la prima trasformazione $A->B$ reversibile mentre la seconda $B->A$ irreversibile risulta che $int_{"ciclo"} (\delta Q)/T=int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T+int_{B}^{A} (\delta Q_{irr})/T<0=>int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T
Il mio problema è che a questo punto vari libri (esempio l'halliday) sostengono che quando si deve calcolare una variazione di entropia a seguito di una trasformazione irreversibile è sufficiente trovare una trasformazione reversibile con gli stessi stati di partenza e arrivo ed il valore trovato è lo stesso poichè l'entropia è funzione di stato.
Secondo quello che ho capito io questo approccio è sbagliato, perchè se le trasformazioni sono irreversibili l'entropia non è più funzione di stato!
Cosa ne dite, sono io che ho capito male oppure quella del libro è un'approssimazione?
Ringrazio in anticipo, Lorenzo
dopo aver passato il pomeriggio a cercare di capire in quali casi l'entropia è una funzione di stato, mi rivolgo a voi nella speranza di un aiuto
Ho cercato su quattro libri diversi, e tutti quanti definiscono la variazione di entropia in una trasformazione dallo stato $A$ allo stato $B$ come $\Delta S_{AB}=int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T$.
Poi si dimostra il teorema di clausius, il quale asserisce che in un ciclo termodinamico reversibile $int_{"linea chiusa"} (\delta Q_{rev})/T=0$, dove con il pedice $rev$ si intende che il calore deve essere scambiato in una trasformazione reversibile. Dunque sotto l'ipotesi di trasformazioni reversibili risulta che l'entropia è una funzione di stato del sistema, e quindi $\Delta S_{AB}=S_B - S_A$
Per cicli in cui avvengono anche trasformazioni irreversibili invece il teorema di Clausius dice che $int_{"linea chiusa"} (\delta Q_{irr})/T<0$.
Ora considerando un ciclo che $A->B->A$ con la prima trasformazione $A->B$ reversibile mentre la seconda $B->A$ irreversibile risulta che $int_{"ciclo"} (\delta Q)/T=int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T+int_{B}^{A} (\delta Q_{irr})/T<0=>int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T
Il mio problema è che a questo punto vari libri (esempio l'halliday) sostengono che quando si deve calcolare una variazione di entropia a seguito di una trasformazione irreversibile è sufficiente trovare una trasformazione reversibile con gli stessi stati di partenza e arrivo ed il valore trovato è lo stesso poichè l'entropia è funzione di stato.
Secondo quello che ho capito io questo approccio è sbagliato, perchè se le trasformazioni sono irreversibili l'entropia non è più funzione di stato!
Cosa ne dite, sono io che ho capito male oppure quella del libro è un'approssimazione?
Ringrazio in anticipo, Lorenzo
Risposte
"anonymous_ed8f11":
Buongiorno,
dopo aver passato il pomeriggio a cercare di capire in quali casi l'entropia è una funzione di stato, mi rivolgo a voi nella speranza di un aiuto
Ho cercato su quattro libri diversi, e tutti quanti definiscono la variazione di entropia in una trasformazione dallo stato $A$ allo stato $B$ come $\Delta S_{AB}=int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T$.
Questo e' vero *solo* quando l'integrale lo calcoli lungo una trasformazione reversibile. Altrimenti l'integrale che citi non e' uguale alla variazione di entropia, la quale continua ad essere una brava funzione di stato, solo che si esprimera' in una forma differente.
Da qui la prescrizione di calcolare la variazione su una qualsiasi trasformazione reversibile che connetta i due stati
$\Delta S_{AB}=int_{A}^{B} (\delta Q_{rev})/T$
Credo che almeno una volta nella vita ognuno cada vittima di questo equivoco: meglio prima che poi
Ti ringrazio della risposta, anche se devo ammettere di non aver ancora capito bene la questione:
Io sto cercando uno schema del tipo:
1)definizione generale di entropia per una generica trasformazione termodinamica
2)dimostrazione che è funzione di stato per ogni trasformazione
3)Come si esprime per trasformazioni reversibili o irreversibili
Questo è quello che penso di aver capito fin ora:
1)$dS=(\delta Q)/T$ e perciò in una trasformazione dallo stato $A$ allo stato $B$ risulta che $S=int_A^B (\delta Q)/T$ (la differenza con prima è che manca il pedice $rev$)
2)a questo punto il teorema di Clausius per una generica trasformazione asserisce che $int_{"ciclo chiuso"} (\delta Q)/T<=0$, e questa è anche la variazione di entropia del sistema dopo la trasformazione.
Ora esiste una definizione matematica di funzione di stato, per poter dimostrare che $S$ lo è sempre?
Io sto cercando uno schema del tipo:
1)definizione generale di entropia per una generica trasformazione termodinamica
2)dimostrazione che è funzione di stato per ogni trasformazione
3)Come si esprime per trasformazioni reversibili o irreversibili
Questo è quello che penso di aver capito fin ora:
1)$dS=(\delta Q)/T$ e perciò in una trasformazione dallo stato $A$ allo stato $B$ risulta che $S=int_A^B (\delta Q)/T$ (la differenza con prima è che manca il pedice $rev$)
2)a questo punto il teorema di Clausius per una generica trasformazione asserisce che $int_{"ciclo chiuso"} (\delta Q)/T<=0$, e questa è anche la variazione di entropia del sistema dopo la trasformazione.
Ora esiste una definizione matematica di funzione di stato, per poter dimostrare che $S$ lo è sempre?
"anonymous_ed8f11":
1)$dS=(\delta Q)/T$ e perciò in una trasformazione dallo stato $A$ allo stato $B$ risulta che $S=int_A^B (\delta Q)/T$ (la differenza con prima è che manca il pedice $rev$)
2)a questo punto il teorema di Clausius per una generica trasformazione asserisce che $int_{"ciclo chiuso"} (\delta Q)/T<=0$, e questa è anche la variazione di entropia del sistema dopo la trasformazione.
No: nell'integrale di Clasius come l'hai indicato il calore è quello scambiato REVERSIBILMENTE.
La variazione di Entropia per un ciclo è nulla: essendo grandezza di stato, se stato iniziale e finale coincidono non hai variazione di entropia.
Poichè il calore scambiato dal sistema non è solo quello scambiato reversibilmente con l'ambiente, e si dimostra
che gli altri termini sono maggiori o uguali a zero, hai che quel termine èminore o uguale a zero.
Ripeto: l'Entropia del sistema non è cambiata.
PER L'AMBIENTE:
poichè lo stesso termine minore o uguale a zero per il sistema, è maggiore o uguale a zero per l'ambiente,
se questo scambia calore solo con il sistema, la sUA entropia rimane costante o aumenta.
Ma quindi anche in una trasformazione irreversibile si può dire che una parte di calore è scambiata reversibilmente e una parte no?
Sto continuando a leggere in vari siti di professori universitari, e invece di chiarirmi le idee me le sto ulteriormente confondendo.
Mi sembra di capire che in un sistema isolato dove avviene una trasformazione reale ciclica l'entropia aumenti e basta (quindi non è funzione di stato in teoria); invece nel caso di un sistema non isolato l'entropia finale del sistema è uguale a quella iniziale, ed è l'entropia dell'ambiene però che aumenta
Sto continuando a leggere in vari siti di professori universitari, e invece di chiarirmi le idee me le sto ulteriormente confondendo.
Mi sembra di capire che in un sistema isolato dove avviene una trasformazione reale ciclica l'entropia aumenti e basta (quindi non è funzione di stato in teoria); invece nel caso di un sistema non isolato l'entropia finale del sistema è uguale a quella iniziale, ed è l'entropia dell'ambiene però che aumenta
Vi può essere come non vi può essere del calore scambiato reversibilmente.
l'Entropia /E'/ una grandezza di stato. Questo è certo.
Quello che dicevi, del sistema isolato in cui si compie una trasformazione ciclica, è
da intendere come avevamo detto: un sottosistema compie
una trasformazione ciclica,e la sua entropia non varia. Ma l'entropia dell'ambiente di questo sottosistema, se questo
ambiente scambia calore solo con il sottosistema, può o aumentare o rimanere costante.
Il sistema nella sua totalità comunque non diminuisce di entropia.
Se il sistema isolato compisse SOLO una trasformazione ciclica, essa allora sarebbe reversibile, e con variazione nulla di entropia.
l'Entropia /E'/ una grandezza di stato. Questo è certo.
Quello che dicevi, del sistema isolato in cui si compie una trasformazione ciclica, è
da intendere come avevamo detto: un sottosistema compie
una trasformazione ciclica,e la sua entropia non varia. Ma l'entropia dell'ambiente di questo sottosistema, se questo
ambiente scambia calore solo con il sottosistema, può o aumentare o rimanere costante.
Il sistema nella sua totalità comunque non diminuisce di entropia.
Se il sistema isolato compisse SOLO una trasformazione ciclica, essa allora sarebbe reversibile, e con variazione nulla di entropia.
Allora, il punto principale della discussione è il seguente: la variazione di entropia è definita esclusivamente considerando delle trasformazioni reversibili. Di conseguenza, l'integrale di Clausius lungo un cammino irreversibile non rappresenta affatto la variazione di entropia del sistema. E' ovvio che altrimenti l'entropia non sarebbe affatto una funzione delle variabili di stato. E' per questa ragione che i professori a cui hai chiesto dicono che basta calcolare la variazione di entropia lungo un qualunque cammino reversibile tra gli stati iniziale e finale considerati (a patto che si tratti di stati di equilibrio termodinamico). A tal proposito, per un maggiore chiarimento, ti consiglio di dare un'occhiata alla meccanica statistica e alla teoria degli ensemble di Gibbs, in cui potrai trovare un espressione esplicita per l'entropia di un sistema all'equilibrio termodinamico, come funzione dell'energia e del volume (in ensemble microcanico).
in generale, consiglio come ottimo il
libro di E.Fermi "Lezioni di Termodinamica" (mi sembra il titolo sia questo), ed.Feltrinelli (anche questo mi sembra).
Chiarissimo, preciso, e molto esplicativo.
libro di E.Fermi "Lezioni di Termodinamica" (mi sembra il titolo sia questo), ed.Feltrinelli (anche questo mi sembra).
Chiarissimo, preciso, e molto esplicativo.
@anonymous_ed8f11: c'è una differenza sostanziale nella temperatura a denominatore presente nella disequazione di Clausius in caso di trasformazione reversibile o irreversibile. Nel primo caso è uguale alla temperatura del sistema termodinamico, nel secondo caso non può esserlo, non essendo definita questa temperatura, ma è quella della sorgente termica con cui il sistema scambia calore.
Mi chiedo se esista anche una definizione diversa di entropia, che preveda anche un calcolo in condizioni di non equilibrio termodinamico, quindi quando le variabili di stato non sono definite.
Mi chiedo se esista anche una definizione diversa di entropia, che preveda anche un calcolo in condizioni di non equilibrio termodinamico, quindi quando le variabili di stato non sono definite.
so che c'è una definizione statistica data da Boltzmann, ma sono cose che vanno al di la del mio corso di fisica tecnica e quindi non saprei dirti molto a riguardo. Comunque se come abbiamo visto $S$ è veramente una variabile di stato allora non serve saperla calcolare direttamente in condizioni di non equilibrio, basta usare trasformazioni reversibili con stesso punto di partenza e arrivo di quella irreversibile ed il gioco è fatto
Ti hanno gia' risposto in tanti, io stavo festeggiando un attimino una cosa, quindi ti ho trascurato 
Se stiamo parlando di termodinamica fenomenologica, basta prendere lo stato iniziale, poi quello finale, farci passare una o piu' trasformazioni REVERSIBILI e calcolare l'integrale di Clausius.
Questo ti da' la variazione dell'entropia lungo una trasformazione. Il terzo principio ti permetterebbe di fissare lo zero dell'entropia, ma suppongo che non ti interessi in questo momento.
Beh, uno potrebbe obiettare (forse e' stato gia' detto in questo thread) che la definizione fenomenologica non e' fondamentale, e che c'e' quella della meccanica statistica, ma in effetti basta sapere che quel famoso integrale fa zero su ogni ciclo ***reversibile***, il che conclude la dimostrazione.
Non vorrei suonare antipatico, ma qui ti stai facendo la domanda sbagliata. Cfr. sopra.
"anonymous_ed8f11":
Ti ringrazio della risposta, anche se devo ammettere di non aver ancora capito bene la questione:
Io sto cercando uno schema del tipo:
1)definizione generale di entropia per una generica trasformazione termodinamica
Se stiamo parlando di termodinamica fenomenologica, basta prendere lo stato iniziale, poi quello finale, farci passare una o piu' trasformazioni REVERSIBILI e calcolare l'integrale di Clausius.
Questo ti da' la variazione dell'entropia lungo una trasformazione. Il terzo principio ti permetterebbe di fissare lo zero dell'entropia, ma suppongo che non ti interessi in questo momento.
2)dimostrazione che è funzione di stato per ogni trasformazione
Beh, uno potrebbe obiettare (forse e' stato gia' detto in questo thread) che la definizione fenomenologica non e' fondamentale, e che c'e' quella della meccanica statistica, ma in effetti basta sapere che quel famoso integrale fa zero su ogni ciclo ***reversibile***, il che conclude la dimostrazione.
3)Come si esprime per trasformazioni reversibili o irreversibili
Non vorrei suonare antipatico, ma qui ti stai facendo la domanda sbagliata. Cfr. sopra.
@ sonoqui_: una definizione alternativa di entropia esiste, ed è la famosa formula di Boltzmann $ k log Sigma $ , dove $ Sigma $ è la cosidetta funzione di partizione, ovvero il volume dello spazio delle fasi occupato dall' "ensemble" che stiamo considerando. Il calcolo delle funzioni termodinamiche all'equilibrio è molto più semplice di quello in condizioni di non equilibrio (che, personalmente, nemmeno conosco!); certamente, in questo caso ci sarebbe una dipendenza dell'entropia dal tempo (parametro che scompare quando consideriamo lo stato di equilibrio).
Eccomi quì, è un po'che non rispondevo perchè mi sono guardato due lezioni dell'MIT su youtube...sono stato due giorni però ha meritato davvero, penso di essermi chiarito molto le idee 
Colgo anche l'occasione per ringraziarvi del prezioso aiuto!
PS: mi sono procurato il libro di termodinamica di Fermi ed è davvero valido
Colgo anche l'occasione per ringraziarvi del prezioso aiuto!
PS: mi sono procurato il libro di termodinamica di Fermi ed è davvero valido
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