Entropia e disuguaglianza di clausius
Stavo leggendo online alcune cose riguardo l'entropia e sono incappato in una formulazione che non conosco sul come ricavare la disugaglianza di clausius.
L'unico capitoletto che ho trovato è il seguente su wikpedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Entropia# ... i_bilancio
Qualcuno saprebbe consigliarmi dove leggere una trattazione su qualche dispensa? Non l'avevo mai vista prima
grazie
L'unico capitoletto che ho trovato è il seguente su wikpedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Entropia# ... i_bilancio
Qualcuno saprebbe consigliarmi dove leggere una trattazione su qualche dispensa? Non l'avevo mai vista prima
grazie
Risposte
Eh?
Mica si ricava, è un dato sperimentale
"gtx":
Eh?
non credo di capire questa trattazione https://it.wikipedia.org/wiki/Entropia# ... i_bilancio
Inoltre mi pare che trascurando il termine convettivo si giunge alla disuguaglianza di clausius in forma differenziale.
Non l'ho mai visto così
Non ti piace il modo tradizionale in cui è introdotta la disuguaglianza di Clausius ? Usando “cerca” ho trovato questa discussione .
"Five":
Non ti piace il modo tradizionale in cui è introdotta la disuguaglianza di Clausius ? Usando “cerca” ho trovato questa discussione .
Nono non è che non mi piaccia, in realtà volevo solo capirci di piu e chiedevo se qualcuno conoscesse qualche dispensa o fonte dove poter leggere riguardo quella trattazione di Wikipedia dell'entropia. Che non ci ho capito molto da quel breve trafiletto sull'equazione di bilancio e come si connette al modo classico.
Inoltre osservavo che il termine convettivo, quando viene a mancare, faceva uscire la disuguaglianza di Clausius e mi aveva incuriosito.
Il dubbio di questa trattazione dell'entropia era sorto dato che ero finito su questo forum cercando alcune cose su Gibbs https://www.myttex.net/forum/Thread-Ene ... a-di-Gibbs
E mi ero trovato quella trattazione mai vista (se interessati è il settimo post)
Sono la stessa cosa.
A te avranno insegnato che per un sistema chiuso vale:
$ds >= (deltaq)/T$
Puoi rendere tale disugualianza una uguaglianza aggiungendo una "entropia generata" $deltag>=0$ dal sistema nei processi irreversibili (gran cazzata a mio parere)
$ds=(deltaq)/T+deltag$
Se consideri il tuo sistema tempo-variante tale relazione, dividendo per $dt$ diventa una formulazione in termini di flussi di entropia e calore:
$dots=dotq/T+dotg$
Se inoltre il tuo sistema non è chiuso ma aperto, allora dalla sua frontiera potranno entrare "flussi di entropia" $dotf$, il cosiddetto termine convettivo nella pagina di wikipedia, avrai quindi in generale:
$dots=dotq/T+dotf +dotg$
A te avranno insegnato che per un sistema chiuso vale:
$ds >= (deltaq)/T$
Puoi rendere tale disugualianza una uguaglianza aggiungendo una "entropia generata" $deltag>=0$ dal sistema nei processi irreversibili (gran cazzata a mio parere)
$ds=(deltaq)/T+deltag$
Se consideri il tuo sistema tempo-variante tale relazione, dividendo per $dt$ diventa una formulazione in termini di flussi di entropia e calore:
$dots=dotq/T+dotg$
Se inoltre il tuo sistema non è chiuso ma aperto, allora dalla sua frontiera potranno entrare "flussi di entropia" $dotf$, il cosiddetto termine convettivo nella pagina di wikipedia, avrai quindi in generale:
$dots=dotq/T+dotf +dotg$
In prtica è una banale equazione di bilancio, come ce ne sono tante:
variazione temporale= flussi in entrata/uscita+sorgenti/pozzi interni.
Stessa cosa si può fare per il primo principio, l'energia in sistemi aperti tempovarianti diventa potenza.
variazione temporale= flussi in entrata/uscita+sorgenti/pozzi interni.
Stessa cosa si può fare per il primo principio, l'energia in sistemi aperti tempovarianti diventa potenza.
Così mi torna, grazie gtx.
Però non capisco la logica
Non so mi stona il perché diciamo
Però non capisco la logica
Puoi rendere tale disugualianza una uguaglianza aggiungendo una "entropia generata" δg≥0 dal sistema nei processi irreversibili (gran cazzata a mio parere)
Non so mi stona il perché diciamo
Non so mi stona il perché diciamo
La logica è semplice. Se ds è sempre maggiore o uguale a deltaq/T, allora ci deve essere un $deltag>=0$ che rende la disuguaglianza una uguaglianza.
Intendevo "gran cazzata" dal punto di vista concettuale, perché l'entropia non si "genera" o distrugge, almeno secondo me. Mentre dal punto di vista pratica rendere la disuguaglianza una uguaglianza è molto utile nei calcoli tecnici, infatti il termine di generazione $deltag$ può essere stimato a seconda del sistema analizzato e quindi valutare numericamemente la variazione di entropia che ci interessa.
Scusate ma sono sullo studio della termodinamica anche io e ho letto la discussione con interesse.
@gtx posso chiederti una cosa anche io?
Come evidenziavi si può rendere una equazione di bilancio e mi sembra molto chiara la tua esposizione. Però vorrei ordinare le idee trovandomi con il seguente dubbio:
La prima equazione di bilancio che ho trovato nella mia carrira di studente al primo anno è stata l'equazione di continutià nei fluidi che in forma differenziale era
$\nabla*(\rho\vecv)+(\partialrho)/(\partialt)=0$, poi l'ho vista quasi immutata nel caso del calore e flussi di esso.
E mi pare sempre che ci sia un termine $\nablaJ$ dove J è una "densità di ..." (con i puntini che dipende dal campo)
Non riesco a capire qui perché appaia solo quello che su wikipedia chiama $J_S$ e non la divergenza di qualche campo.
Cioè vedo delle similitudini tra le due e mi pare di capire che l'equazione di continuità stabilisce una conservazione di qualcosa infatti. Ma nel caso dell'entropia non capisco perché manchi il nabla applicato a una densità di..
Riprendendo quanto dicevi sono della forma:
variazione temporale= flussi in entrata/uscita+sorgenti/pozzi interni.
in quella del flido ad esempio sarebbe
-variazione temp.=0 (garantisce la conservazione appunto)
-il flusso rientra nel calcolo del nabla
-i pozzi interni dipendono da $(\partialrho)/(\partialt)$
Però c'è il nabla di qualcosa, nell'entropia proprio no.
Ringrazio per gli aiuti
@gtx posso chiederti una cosa anche io?
Come evidenziavi si può rendere una equazione di bilancio e mi sembra molto chiara la tua esposizione. Però vorrei ordinare le idee trovandomi con il seguente dubbio:
La prima equazione di bilancio che ho trovato nella mia carrira di studente al primo anno è stata l'equazione di continutià nei fluidi che in forma differenziale era
$\nabla*(\rho\vecv)+(\partialrho)/(\partialt)=0$, poi l'ho vista quasi immutata nel caso del calore e flussi di esso.
E mi pare sempre che ci sia un termine $\nablaJ$ dove J è una "densità di ..." (con i puntini che dipende dal campo)
Non riesco a capire qui perché appaia solo quello che su wikipedia chiama $J_S$ e non la divergenza di qualche campo.
Cioè vedo delle similitudini tra le due e mi pare di capire che l'equazione di continuità stabilisce una conservazione di qualcosa infatti. Ma nel caso dell'entropia non capisco perché manchi il nabla applicato a una densità di..
Riprendendo quanto dicevi sono della forma:
variazione temporale= flussi in entrata/uscita+sorgenti/pozzi interni.
in quella del flido ad esempio sarebbe
-variazione temp.=0 (garantisce la conservazione appunto)
-il flusso rientra nel calcolo del nabla
-i pozzi interni dipendono da $(\partialrho)/(\partialt)$
Però c'è il nabla di qualcosa, nell'entropia proprio no.
Ringrazio per gli aiuti
Si chiama equazione di continuità, una grandezza estensiva può essere caratterizzata da una densità, e le differenze di densità generano una corrente.
$ (dQ) /dt=I_q $ se non ci sono sorgenti, se ve ne sono aggiungi $ S_q $ a sinistra
L'entropia è un caso molto particolare
$ (dQ) /dt=I_q $ se non ci sono sorgenti, se ve ne sono aggiungi $ S_q $ a sinistra
L'entropia è un caso molto particolare
"Lucacs":
Si chiama equazione di continuità, una grandezza estensiva può essere caratterizzata da una densità, e le differenze di densità generano una corrente.
$ (dQ) /dt=I_q $ se non ci sono sorgenti, se ve ne sono aggiungi $ S_q $ a sinistra
L'entropia è un caso molto particolare
Sì, non ho però capito come risponda alla mia domanda sulla divergenza che non vedo nel caso succitato
.
Flusso uguale divergenza, tralasciando i particolari
Quindi potrei anche scrivere così?
$\nabla*(\rho\vecv)+(\partialrho)/(\partialt)=0$
se flusso uguale divergenza
$\rho \vecv \vecn d\Sigma+(\partialrho)/(\partialt)=0$ con $d\Sigma$ la superficie del volumetto infinitesimo
Mi piacerebbe un po' formalizzarla oltre che a parole, sul concetto ci sono.
$\nabla*(\rho\vecv)+(\partialrho)/(\partialt)=0$
se flusso uguale divergenza
$\rho \vecv \vecn d\Sigma+(\partialrho)/(\partialt)=0$ con $d\Sigma$ la superficie del volumetto infinitesimo
Mi piacerebbe un po' formalizzarla oltre che a parole, sul concetto ci sono.
l'equazione di continuità non esiste (continuità di cosa?), nemmeno le equazioni di conservazione, niente si conserva, ma si bilancia, si chiamano equazioni di bilancio (della massa, dell'energia, della quantità di moto etc).
Ritornando al punto, quello che ho scritto per l'entropia è un bilancio integrale, non puntuale/differenziale, c'è molta differenza.
Per semplicità considero un volume di controllo V fisso nel tempo, che non si muove, detta M la massa totale del volume, si ha:
$(dM)/(dt)$=flussi di massa -> equazione in forma integrale.
Ma $M=int_Vrho$ e flussi di massa =$int_(partialV)rhov cdot n=int_V di v(rhov)$, essendo v la velocità della massa entrante/uscente dal volume, derivando sotto il segno di integrale (sfruttando il teorema del trasporto di reynolds) si ha, per l'arbitrarietà di V:
$(partial rho)/(partialt)=di v(rhov)$ -> equazione in forma locale.
STessa cosa si pu fare per l'entropia: Detta S l'entropia totale di V ho:
(dS)/(dt)= flussi di entropia + entropia generata
Con $S=int_Vs$
entropia generata = $int_Vg$
flussi di entropia = flussi di calore + flussi di massa = $int_(partial V) (q cdot n) /T + int_(partial V) s v cdotn=int_Vdi v(q/T+sv)$
Derivando sotto integrale e per l'atbitrarietà di V si ha:
$(partial s)/(partial t)=di v(q/T+sv)+g$
Formalmente identica a quella della massa, a parte il termine di generazione.
Ritornando al punto, quello che ho scritto per l'entropia è un bilancio integrale, non puntuale/differenziale, c'è molta differenza.
Per semplicità considero un volume di controllo V fisso nel tempo, che non si muove, detta M la massa totale del volume, si ha:
$(dM)/(dt)$=flussi di massa -> equazione in forma integrale.
Ma $M=int_Vrho$ e flussi di massa =$int_(partialV)rhov cdot n=int_V di v(rhov)$, essendo v la velocità della massa entrante/uscente dal volume, derivando sotto il segno di integrale (sfruttando il teorema del trasporto di reynolds) si ha, per l'arbitrarietà di V:
$(partial rho)/(partialt)=di v(rhov)$ -> equazione in forma locale.
STessa cosa si pu fare per l'entropia: Detta S l'entropia totale di V ho:
(dS)/(dt)= flussi di entropia + entropia generata
Con $S=int_Vs$
entropia generata = $int_Vg$
flussi di entropia = flussi di calore + flussi di massa = $int_(partial V) (q cdot n) /T + int_(partial V) s v cdotn=int_Vdi v(q/T+sv)$
Derivando sotto integrale e per l'atbitrarietà di V si ha:
$(partial s)/(partial t)=di v(q/T+sv)+g$
Formalmente identica a quella della massa, a parte il termine di generazione.
variazione temporale= flussi in entrata/uscita+sorgenti/pozzi interni.
in quella del flido ad esempio sarebbe
-variazione temp.=0 (garantisce la conservazione appunto)
-il flusso rientra nel calcolo del nabla
-i pozzi interni dipendono da ∂ρ∂t
Però c'è il nabla di qualcosa, nell'entropia proprio no.
No.
I pozzi interni sono quantità note.
Il flusso si trova sotto divergenza (niente nabla, cos'è sto nabla)
variazione nel tempo non è zero ma è pari a quelle due quantità di sopra (niente si conserva, si bilancia ciò che esce con ciò che entra)
Chiarissimo!!
Con nabla intendevo la divergenza.
Se il bilancio è nullo pensavo potessi chiamarla conservazione.
Ultima cosa: di solito si arriva alla formulazione localre con la divergenza come mi hai spiegato e arrivo sfruttando il teorema della divergenza nell' integrale del flusso
Giungendo alla formulazione $\di v(\rho\vecv)+(\partialrho)/(\partialt)=0$ mi chiedo eprò se possa essere scritta localmente anche immaginando una superficie infinitesima chiusa e quindi scriverla con il flusso del tipo:
$\rho \vecv \vecn d\Sigma+(\partialrho)/(\partialt)=0$ con $d\Sigma$ la superficie del volumetto infinitesimo, ed è chiusa
Ha senso? Siccome penso non si possa, non avendola mai letta così, chiedo: e se no perché?
Con nabla intendevo la divergenza.
Se il bilancio è nullo pensavo potessi chiamarla conservazione.
Ultima cosa: di solito si arriva alla formulazione localre con la divergenza come mi hai spiegato e arrivo sfruttando il teorema della divergenza nell' integrale del flusso
Giungendo alla formulazione $\di v(\rho\vecv)+(\partialrho)/(\partialt)=0$ mi chiedo eprò se possa essere scritta localmente anche immaginando una superficie infinitesima chiusa e quindi scriverla con il flusso del tipo:
$\rho \vecv \vecn d\Sigma+(\partialrho)/(\partialt)=0$ con $d\Sigma$ la superficie del volumetto infinitesimo, ed è chiusa
Ha senso? Siccome penso non si possa, non avendola mai letta così, chiedo: e se no perché?
mi chiedo eprò se possa essere scritta localmente anche immaginando una superficie infinitesima chiusa e quindi scriverla con il flusso del tipo:
Si può fare ma non si fa cosi. Se si passa da volume finito a "volume infinitesimo" bisogna innanzitutto aver scelto un sistema di coordinate con cui è orientale l'elemento, e scrivere le varie componenti dell'equazione per ogni componente...è un troiaio, in genere questi metodi sono altamente stupidi, richiedono calcoli noiosi e c'è moltissima probabilità di errore, e non sono applicabili a equazioni piu complesse. Il punto di partenza è SEMPRE una equazione di bilancio in forma integrale su un volume finito, sempre, perché l'integrazione è una proprietà globale che richiede meno restrizioni della differenziazione. Una volta scritto un bilancio integrale, se possibile, si può passare a un bilancio differenziale. (non a caso i metodi numerici per pde sono per la maggior parte basati sulla formulazione integrale delle equazioni, per esempio volumi finiti oppure elementi finiti)
Guarda per esempio qui https://www.continuummechanics.org/cont ... ation.html
Dimmi se uno non diventa scemo a scrivere tutta quella notazione e freccette senza senso.
"gtx":
equation.html
Dimmi se uno non diventa scemo a scrivere tutta quella notazione e freccette senza senso.
Esatto così lo conoscevo ma non capivo perché non potessi passarci direttamente prendendo la parte interna dell'integrale in modo molto raffazzonato, però intuitivamente pensavo di prendere quella parte infinitesima di cui l'integrale era la somma al continuo diciamo. (spero non mi leggano i matematici
)Credo che hai riassunto bene qui:
per ogni componente...è un troiaio
Grazie ancora!
Piccola nota: Molto spesso per ricavare il bilancio di massa si fanno delle ipotesi sul volume di controllo,in genere lo si assume fisso, oppure che si muove come un volume materiale, ossia segue il flusso, ma non si dice mai in genere cosa succede per un volume di controllo la cui superficie si muove con velocità $u$, mentre il flusso ha velocità $v$. Quando u=0 si ha il volume di controllo fisso, quando u=v si ha il volume di controllo materiale. La cosa interessante è che l'equazione di bilancio non cambia nel generico caso con u e w. La dimostrazione è semplice sfrutta il teorema del trasporto:
Bilancio integrale: dM/dt=flusso di massa sul volume V(t) (notare che la derivata temporale è una derivata totale, non parziale, in molti testi derivano sotto il segno di integrale e magicamente quella derivata totale diventa parziale, senza un perché)
$M=int_(V(t))rho$
flussi = $int_(partialV(t)) rhow*n$
Essendo $w=v-u$ la velocità relativa del flusso rispetto al volume di controllo.
Il teorema del trasposrto dice che: $d/(dt) int_(V(t))rho=int_(V(t))(partial rho)/(partial t)-int_(partialV(t))rho u\cdot n$
E quindi:
$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho (u+w)\cdot n=int_(partialV(t))rho v\cdot n$
In genere questo passaggio non viene fatto, si prende sempre un volume di controllo V(t) mobile, senza dire nulla su come si muove, e si dice subito
$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho v\cdot n$
Interpretandola alla buona come: tasso di variazione di rho= flussi in ingresso/uscita. E' chiaro che tale equazione scritta così senza dire nient'altro non ha nessun fondamento, probabilmente è così che te l'hanno insegnata.
Bilancio integrale: dM/dt=flusso di massa sul volume V(t) (notare che la derivata temporale è una derivata totale, non parziale, in molti testi derivano sotto il segno di integrale e magicamente quella derivata totale diventa parziale, senza un perché)
$M=int_(V(t))rho$
flussi = $int_(partialV(t)) rhow*n$
Essendo $w=v-u$ la velocità relativa del flusso rispetto al volume di controllo.
Il teorema del trasposrto dice che: $d/(dt) int_(V(t))rho=int_(V(t))(partial rho)/(partial t)-int_(partialV(t))rho u\cdot n$
E quindi:
$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho (u+w)\cdot n=int_(partialV(t))rho v\cdot n$
In genere questo passaggio non viene fatto, si prende sempre un volume di controllo V(t) mobile, senza dire nulla su come si muove, e si dice subito
$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho v\cdot n$
Interpretandola alla buona come: tasso di variazione di rho= flussi in ingresso/uscita. E' chiaro che tale equazione scritta così senza dire nient'altro non ha nessun fondamento, probabilmente è così che te l'hanno insegnata.
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