Energia potenziale esercizio
Ciao a tutti e buon anno,
Come esercizio devo scrivere l'energia potenziale del seguente sistema in funzione di una sola variabile.
Posto l'immagine, descrivo accuratamente il sistema e faccio delle premesse necessarie riguardo alcune relazioni cinematiche, dopodiché scrivo l'energia potenziale che ho pensato io e che mi è stato detto essere sbagliata.
Si considerino:
- un disco di massa $M$, e raggio $R$, un disco rigidamente fissato ad esso di raggio $R/2$ e massa trascurabile. Il corpo si muove su di un piano orizzontale scabro rotolando senza strisciare;
- una molla ideale di lunghezza a riposo nulla disposta orizzontalmente, di costante elastica $k$. Ha le due estremità vincolate al centro del disco $G$ e ad una parete verticale. La molla è inizialmente allungata di $L_0$ nella configurazione iniziale.
- una fune ideale ed inestensibile avvolta attorno al disco di raggio $R/2$ e fissata ad un punto materiale;
- il suddetto punto materiale di massa $2M$ vincolato a muoversi su di una guida circolare ideale di raggio $2R$.
Si indica con $phi$ l'angolo che descrive il disco muovendosi. Dato che fa rotolamento puro, $x_g = Rphi$.
Si indica con $vartheta$ l'angolo che il segmento congiungente il punto materiale con il centro della circonferenza della guida circolare forma con la verticale (vedi figura). Il sistema si trova inizialmente nella configurazione con $vartheta =pi/6$
Dal momento che il disco si muove di rotolamento puro e che il punto $O$ (vedi figura) ed il punto materiale $P$ si muovono con la stessà velocità perché la fune è inestensibile ed ideale, allora posso scrivere:
$v_O=v_P$, ovvero
$R/2 dot(phi)= 2Rdot(vartheta)$
$dot(phi) = 4dot(vartheta)$
$phi - phi_0 = 4(vartheta - vartheta_0)$
$phi = 4 (vartheta - pi/6)$
Fatte queste premesse necessarie, io ho scritto:
-Energia potenziale gravitazionale disco = $0$ (fissando lo zero a livello del centro di massa del disco).
-Energia potenziale gravitazionale punto materiale = $-2Mg(R/2 - (2R - 2R(cos(vartheta)))) = MgR(-5 + 4cos(vartheta)) $.
-Energia potenziale molla = $1/2 k (Delta x)^2 = 1/2k (L_0 + Rphi)^2= 1/2k (4R(vartheta-pi/6))^2 =2k(Rvartheta- Rpi/6)^2$.
quindi, finalmente, la mia soluzione è:
$U = MgR(-5 + 4cos(vartheta)) + 2k(Rvartheta- Rpi/6)^2$
Mi è stato detto che questa equazione è errata e che invece una corretta è:
$U= 1/2k(L_0 + Rphi)^2 - MgRcos (phi/4 + pi/6)$
A me sembra il contrario e non capisco dove sbaglierei. Dato che io studio da un anno fisica mentre chi me l'ha detto la studia da decenni, chiedo a voi.
Nota bene: L'energia potenziale elastica mi sembra uguale, quella che è diversa e nella quale può risiedere l'errore è l'energia potenziale gravitazionale. Ho scritto anche quella elastica perché magari può darsi che abbia sbagliato anche lì.
Come esercizio devo scrivere l'energia potenziale del seguente sistema in funzione di una sola variabile.
Posto l'immagine, descrivo accuratamente il sistema e faccio delle premesse necessarie riguardo alcune relazioni cinematiche, dopodiché scrivo l'energia potenziale che ho pensato io e che mi è stato detto essere sbagliata.
Si considerino:
- un disco di massa $M$, e raggio $R$, un disco rigidamente fissato ad esso di raggio $R/2$ e massa trascurabile. Il corpo si muove su di un piano orizzontale scabro rotolando senza strisciare;
- una molla ideale di lunghezza a riposo nulla disposta orizzontalmente, di costante elastica $k$. Ha le due estremità vincolate al centro del disco $G$ e ad una parete verticale. La molla è inizialmente allungata di $L_0$ nella configurazione iniziale.
- una fune ideale ed inestensibile avvolta attorno al disco di raggio $R/2$ e fissata ad un punto materiale;
- il suddetto punto materiale di massa $2M$ vincolato a muoversi su di una guida circolare ideale di raggio $2R$.
Si indica con $phi$ l'angolo che descrive il disco muovendosi. Dato che fa rotolamento puro, $x_g = Rphi$.
Si indica con $vartheta$ l'angolo che il segmento congiungente il punto materiale con il centro della circonferenza della guida circolare forma con la verticale (vedi figura). Il sistema si trova inizialmente nella configurazione con $vartheta =pi/6$
Dal momento che il disco si muove di rotolamento puro e che il punto $O$ (vedi figura) ed il punto materiale $P$ si muovono con la stessà velocità perché la fune è inestensibile ed ideale, allora posso scrivere:
$v_O=v_P$, ovvero
$R/2 dot(phi)= 2Rdot(vartheta)$
$dot(phi) = 4dot(vartheta)$
$phi - phi_0 = 4(vartheta - vartheta_0)$
$phi = 4 (vartheta - pi/6)$
Fatte queste premesse necessarie, io ho scritto:
-Energia potenziale gravitazionale disco = $0$ (fissando lo zero a livello del centro di massa del disco).
-Energia potenziale gravitazionale punto materiale = $-2Mg(R/2 - (2R - 2R(cos(vartheta)))) = MgR(-5 + 4cos(vartheta)) $.
-Energia potenziale molla = $1/2 k (Delta x)^2 = 1/2k (L_0 + Rphi)^2= 1/2k (4R(vartheta-pi/6))^2 =2k(Rvartheta- Rpi/6)^2$.
quindi, finalmente, la mia soluzione è:
$U = MgR(-5 + 4cos(vartheta)) + 2k(Rvartheta- Rpi/6)^2$
Mi è stato detto che questa equazione è errata e che invece una corretta è:
$U= 1/2k(L_0 + Rphi)^2 - MgRcos (phi/4 + pi/6)$
A me sembra il contrario e non capisco dove sbaglierei. Dato che io studio da un anno fisica mentre chi me l'ha detto la studia da decenni, chiedo a voi.
Nota bene: L'energia potenziale elastica mi sembra uguale, quella che è diversa e nella quale può risiedere l'errore è l'energia potenziale gravitazionale. Ho scritto anche quella elastica perché magari può darsi che abbia sbagliato anche lì.
Risposte
Rimosso per errori inenarrabili 
"professorkappa":
...
Ora basta integrare per ottenere
$U=1/2kR^2*phi^2/2+16mgRcos(phi/4)+C$
Quando $phi=0$, rispetto al centro del disco (bruttissima scelta) l'energia vale
$U_0=1/2kL_0^2+2mg(-R-(2R-2Rcospi/6))$ e quindi
...
Mi spiegheresti come mai è una bruttissima scelta il centro del disco?
Se avessi dovuto derivare l'energia potenziale effettivamente sarebbe stata una pessima scelta, dato che tale termine non sarebbe servito a niente.
Ma dato che devo scrivere l'energia potenziale per intero, secondo me è una scelta azzeccata.
Secondo te quale sarebbe stata una scelta migliore?
Io spesso (non sempre) quando ho un sistema con due corpi, tendo a mettere lo zero dell'energia potenziale in modo da considerare un corpo solo.
Inoltre non ho capito come mai hai scritto, all'inizio $1/2kxdx$. Mai visto prima. Come mai quel $dx$ accanto ad $x$? Per uno spostamento infinitesimo io avrei ascritto $kdx$
Copia e nicola sbagliato. Correggo tra 2 ore e rispondo alle domande.
Allora, ignora il primo post che rimuovo, perche' troppo confusionario e pieno di errori, dovuti a distrazione, disattenzione e soprattutto presunzione di risolverlo a mente come facevo tanti anni fa prima dell'Alzheimer.
Le relazioni le ripetiamo qui:
Per la x: $x=Rphi$ e ovviamente $dx=Rdphi$
Per $theta$: $theta=phi/4$ e ovviamente $d theta=1/4dphi$
Ovviamente,$phi$ e' contate dalla molla a riposo, e il pezzo di corda tra puleggia e massa 2M lo posso regolare di modo che per $phi$, $theta=0$, senza timore di influire sul risultato.
In definitiva, la situazione a molla scarica e' $phi=theta=0$ e la massa 2M si trova ad altezza R rispetto al piano di rotolamento del disco. Ti anticipo che, per me, la posizione a molla scarica della massa 2M sara' anche l posizione di riferimento per il computo dell energia gravitazionale.
Dunque:
Lavoro delle forze cambiato di segno = Energia potenziale
Pertanto:
$dU=kxdx-4MgRsinthetad theta$.
Sostituendo x e $theta$ con la variabile $phi$
$dU=kR^2phidphi-MgRsin(phi/4)d phi$.
Integrando si ha
$U=[kR^2]/2phi^2+4MgRcos(phi/4)+C$
Per calcolare C, come anticipato, prendiamo il livello di riferimento ad altezza R/2.
Per $phi=0$, la molla e' scarica, e il corpo si trova proprio ad R/2, pertanto energia potenziale totale (molla+gravita') e' nulla. Questo intendevo quando dicevo che prendere il centro del disco era una brutta scelta.
Allora: $U(0)=4MgR+C=0$, il che implica $C=-4MgR$.
L'energia potenziale e' dunque
$U=[kR^2]/2phi^2+4MgR(cos(phi/4)-1)$
Se usassimo il tuo sistema di riferimento passante per il centro del disco
$U(0)=4MgR+C=-MgR$ da cui $C=-5MgR$ e quindi
$U=[kR^2]/2phi^2+MgR[4cos(phi/4)-5]$
Le relazioni le ripetiamo qui:
Per la x: $x=Rphi$ e ovviamente $dx=Rdphi$
Per $theta$: $theta=phi/4$ e ovviamente $d theta=1/4dphi$
Ovviamente,$phi$ e' contate dalla molla a riposo, e il pezzo di corda tra puleggia e massa 2M lo posso regolare di modo che per $phi$, $theta=0$, senza timore di influire sul risultato.
In definitiva, la situazione a molla scarica e' $phi=theta=0$ e la massa 2M si trova ad altezza R rispetto al piano di rotolamento del disco. Ti anticipo che, per me, la posizione a molla scarica della massa 2M sara' anche l posizione di riferimento per il computo dell energia gravitazionale.
Dunque:
Lavoro delle forze cambiato di segno = Energia potenziale
Pertanto:
$dU=kxdx-4MgRsinthetad theta$.
Sostituendo x e $theta$ con la variabile $phi$
$dU=kR^2phidphi-MgRsin(phi/4)d phi$.
Integrando si ha
$U=[kR^2]/2phi^2+4MgRcos(phi/4)+C$
Per calcolare C, come anticipato, prendiamo il livello di riferimento ad altezza R/2.
Per $phi=0$, la molla e' scarica, e il corpo si trova proprio ad R/2, pertanto energia potenziale totale (molla+gravita') e' nulla. Questo intendevo quando dicevo che prendere il centro del disco era una brutta scelta.
Allora: $U(0)=4MgR+C=0$, il che implica $C=-4MgR$.
L'energia potenziale e' dunque
$U=[kR^2]/2phi^2+4MgR(cos(phi/4)-1)$
Se usassimo il tuo sistema di riferimento passante per il centro del disco
$U(0)=4MgR+C=-MgR$ da cui $C=-5MgR$ e quindi
$U=[kR^2]/2phi^2+MgR[4cos(phi/4)-5]$
"professorkappa":
...
Dunque:
Lavoro delle forze cambiato di segno = Energia potenziale
Pertanto:
$dU=kxdx-4MgRsinthetad theta$.
Sostituendo x e $theta$ con la variabile $phi$
$dU=kR^2phidphi-MgRsin(phi/4)d phi$.
Integrando si ha
$U=[kR^2]/2phi^2+4MgRcos(phi/4)+C$
Per calcolare C, come anticipato, prendiamo il livello di riferimento ad altezza R/2.
Per $phi=0$, la molla e' scarica, e il corpo si trova proprio ad R/2, pertanto energia potenziale totale (molla+gravita') e' nulla. Questo intendevo quando dicevo che prendere il centro del disco era una brutta scelta.
Allora: $U(0)=4MgR+C=0$, il che implica $C=-4MgR$.
L'energia potenziale e' dunque
$U=[kR^2]/2phi^2+4MgR(cos(phi/4)-1)$
Se usassimo il tuo sistema di riferimento passante per il centro del disco
$U(0)=4MgR+C=-MgR$ da cui $C=-5MgR$ e quindi
$U=[kR^2]/2phi^2+MgR[4cos(phi/4)-5]$
Grazie professorkappa.
Non avevo mai visto scrivere l'energia potenziale in questo modo.
Tu hai scritto:
differenziale Lavoro delle forze cambiato di segno = differenziale Energia potenziale
dopodiché hai integrato determinando la costante additiva scegliendo lo zero dell'energia potenziale ed imponendo l'energia potenziale uguale a zero.
E' molto interessante, non ho mai visto scrivere l'energia potenziale in questo modo.
Io faccio cosi perche' usando spesso Lagrange mi conviene. Inoltre, usando la derivata del potenziale, elimino tutte le quantita cinematiche costanti che trovo rognose, e che re-introduco alla fine in un blocco solo.
Se sei pratica (e mi pare che lo sei abbastanza), puoi procedere per scorciatoie scrivendo subito l'energia potenziale (io scriverei quella gravitazionale nel centro della circonferenza di 2R), quindi
$U=1/2kx^2+4mgRcostheta$
Dove
$x=Rphi$
$theta=phi/4-L_0/R+pi/6$
Se sei pratica (e mi pare che lo sei abbastanza), puoi procedere per scorciatoie scrivendo subito l'energia potenziale (io scriverei quella gravitazionale nel centro della circonferenza di 2R), quindi
$U=1/2kx^2+4mgRcostheta$
Dove
$x=Rphi$
$theta=phi/4-L_0/R+pi/6$
"professorkappa":
...puoi procedere per scorciatoie scrivendo subito l'energia potenziale (io scriverei quella gravitazionale nel centro della circonferenza di 2R), quindi
$U=1/2kx^2+4mgRcostheta$
Dove
$x=Rphi$
$theta=phi/4-L_0/R+pi/6$
Non sono d'accordo, io nel centro della circonferenza di raggio $2R$ avrei scritto
$U=1/2kx^2+ R(2+1/2)Mg + 2R2Mgcos(vartheta) $
$=1/2kx^2+ 5/2RMg + 4RMgcos(vartheta) $
$=1/2kx^2+ RMg (5/2 +4cos(vartheta))= U $
Spiega da dove salta fuori il termine centrale 3/2MgR
"professorkappa":
...puoi procedere per scorciatoie scrivendo subito l'energia potenziale (io scriverei quella gravitazionale nel centro della circonferenza di 2R), quindi
$U=1/2kx^2+4mgRcostheta$
Dove
$x=Rphi$
$theta=phi/4-L_0/R+pi/6$
$1/2kx^2$ = energia potenziale della molla;
$R(2+1/2)Mg$ = energia potenziale gravitazionale del disco;
$2R2Mgcos(vartheta) $ = energia potenziale gravitazionale del punto materiale.
Non c'è $3/2$, al massimo $2+1/2= 5/2$
Non ha senso scrivere energia gravitazionale del disco, è costante, il disco non può dare nessuna energia perché è vincolato a muoversi su un piano. Il lavoro della sua forza peso è sempre nullo.
Non è sbagliatissimo, tanto l'energia e definita a meno di una costante (infatti ha poco senso parlare di U, meglio parlare di dU). Pero e inutile e dispendioso.
Il 3 al posto del 5 è dovuto al fatto che non leggo bene da cell
Non è sbagliatissimo, tanto l'energia e definita a meno di una costante (infatti ha poco senso parlare di U, meglio parlare di dU). Pero e inutile e dispendioso.
Il 3 al posto del 5 è dovuto al fatto che non leggo bene da cell
"professorkappa":
Non ha senso scrivere energia gravitazionale del disco, è costante, il disco non può dare nessuna energia perché è vincolato a muoversi su un piano. Il lavoro della sua forza peso è sempre nullo.
Non è sbagliatissimo, tanto l'energia e definita a meno di una costante (infatti ha poco senso parlare di U, meglio parlare di dU). Pero e inutile e dispendioso.
Il 3 al posto del 5 è dovuto al fatto che non leggo bene da cell
Perfetto, ti ringrazio.
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