Energia potenziale e molle
Ciao!
stavo facendo questo semplice esercizio e vorrei ragionarci sù:
- una pietra di massa $m=8kg$ è poggiata su una molla.
La molla si comprime di $10cm$ prima di arrivare all'equilibrio: trovare la costante elastica $K$
- si consideri di comprimere la molla di altri $20cm$: quale sarà l'altezza raggiunta dalla pietra?
premetto che ho già visto le soluzioni, presenti anche quì
L'iniziò è abbastanza facile, pongo l'origine del sistema sul punto in cui è poggiata la pietra e considero che la risultante delle forze sarà $F=P+F_(e l)=(-kx-mg)hat(j)$ e l'equilibrio si raggiungerà quando
ora supponiamo di aumentare la compressione della molla fino a $-0,3m$, avremo che $F_(e l)approx235,4hat(j)$
ora per lanciare la pietra la forza elastica e la forza peso dovranno compiere un lavoro(resistente uno, motore l'altro).
Dal teorema dell'energia cinetica sappiamo che se la pietra parte da velocità nulla e deve arrivare a velocità nulla, il lavoro totale sarà nullo, quindi:
cercando di tradurre questa uguaglianza[continua dopo...]
dunque che $mgh=1/2kx^2 => h=k/(2mg)*x^2approx20cm$
ho pensato che la molla lavora solo fino al punto di equilibrio e da lì in poi il suo contributo è nullo, pertanto ho posto $x=0,2m$
Inoltre considerando che l'altezza $h$ era rispetto alla compressione, l'unica cosa che succederà è che la molla lo riporterà fino alla situazione di equilibrio ma non lo solleverà
[...continua quì]ho dedotto che in sostanza l'energia con cui la forza peso vorrebbe spingere la pietra verso il basso, viene ad essere contrastata dall'energia con cui la molla vorrebbe tornare alla sua lunghezza iniziale e pertanto sul corpo non vi è alcuna energia potenziale e l'unica cosa che può succedere è che appunto torni nella situazione di stallo.
vi chiedo di porre sotto osservazione sopratutto le ultime quattro righe.
stavo facendo questo semplice esercizio e vorrei ragionarci sù:
- una pietra di massa $m=8kg$ è poggiata su una molla.
La molla si comprime di $10cm$ prima di arrivare all'equilibrio: trovare la costante elastica $K$
- si consideri di comprimere la molla di altri $20cm$: quale sarà l'altezza raggiunta dalla pietra?
premetto che ho già visto le soluzioni, presenti anche quì
L'iniziò è abbastanza facile, pongo l'origine del sistema sul punto in cui è poggiata la pietra e considero che la risultante delle forze sarà $F=P+F_(e l)=(-kx-mg)hat(j)$ e l'equilibrio si raggiungerà quando
$k=-(mg)/xapprox 784,8 [N/m]$ dove $x=-0,1m$
ora supponiamo di aumentare la compressione della molla fino a $-0,3m$, avremo che $F_(e l)approx235,4hat(j)$
ora per lanciare la pietra la forza elastica e la forza peso dovranno compiere un lavoro(resistente uno, motore l'altro).
Dal teorema dell'energia cinetica sappiamo che se la pietra parte da velocità nulla e deve arrivare a velocità nulla, il lavoro totale sarà nullo, quindi:
$0=DeltaE_k=L_T=L_(F_(e l))+L_P=> L_(F_(e l ))=-L_P => E_(P)=-E_(F_(e l))$
cercando di tradurre questa uguaglianza[continua dopo...]
dunque che $mgh=1/2kx^2 => h=k/(2mg)*x^2approx20cm$
ho pensato che la molla lavora solo fino al punto di equilibrio e da lì in poi il suo contributo è nullo, pertanto ho posto $x=0,2m$
Inoltre considerando che l'altezza $h$ era rispetto alla compressione, l'unica cosa che succederà è che la molla lo riporterà fino alla situazione di equilibrio ma non lo solleverà
[...continua quì]ho dedotto che in sostanza l'energia con cui la forza peso vorrebbe spingere la pietra verso il basso, viene ad essere contrastata dall'energia con cui la molla vorrebbe tornare alla sua lunghezza iniziale e pertanto sul corpo non vi è alcuna energia potenziale e l'unica cosa che può succedere è che appunto torni nella situazione di stallo.
vi chiedo di porre sotto osservazione sopratutto le ultime quattro righe.
Risposte
Il primo va bene. il secondo non capisco cosa fai. Ma la compressione e' di 0.3m, quindi $1/2k*0.3^2=mgh$, con h la distanza contata a partire dal punto di compressione. Perche' tu consideri x=0.2? La molla si scarica per x=0.3
ma la molla per $0.2
No, dell'equilibrio non ci importa niente nel secondo punto, siamo in condizioni dinamiche. La molla solleverà la pietra fino al suo punto di riposo (non fino al punto di equilibrio), da lì in poi la pietra si stacca dalla molla ed è soggetta solo al proprio peso, quindi $1/2kx^2=mgh$, dove $x=0.3 m$
Se non specifichi da dove conti le distanze (l'origine del sdr) scrivere $0.2
Una cosa e' certa: la molla agisce tra il punto di compressione massima e la posizione a riposo (cioe' $x=-0.3$, se metto l'origine nel punto a riposo e l'origine stessa).
E' per quello che non ci troviamo (e anche il testo e' impreciso, perche ti chiede un 'altezza massima, ma non ti dice da dove contarla)
Una cosa e' certa: la molla agisce tra il punto di compressione massima e la posizione a riposo (cioe' $x=-0.3$, se metto l'origine nel punto a riposo e l'origine stessa).
E' per quello che non ci troviamo (e anche il testo e' impreciso, perche ti chiede un 'altezza massima, ma non ti dice da dove contarla)
Si infatti, il problema è un po' ambiguo.
Ad ogni modo la soluzione del problema, che riporta, è $20cm$ quindi non saprei.
Ad ogni modo la soluzione del problema, che riporta, è $20cm$ quindi non saprei.
SE, dopo aver poggiato ( quasi staticamente! poi capirai perchè) la massa sulla molla, la quale si accorcia di 10 cm, applichi una ulteriore forza che la deforma ancora, e poi togli la forza istantaneamente, cioe senza accompagnare la molla che si distende, essa si allunga spingendo la massa, ma quando questa passa per la posizione di equilibrio di prima possiede ancora dell'energia, perciò continua a spostarsi verso l'alto , e si instaura una oscillazione armonica che, teoricamente, non dovrebbe cessare. In realtà termina dopo pochi istanti, perchè siamo in un mondo reale ....e il sistema si ferma alla posizione di equilibrio di partenza, prima della applicazione della forza; ho fatto l'esperimento con una bilancia a molla che ho in cucina, mettendoci su un pacco di sale da 1 kg. Non è detto che la pietra , nelle condizioni del problema, salti via , bisognerebbe fare dei conti esatti per vedere se la forza che la molla imprime alla pietra è sufficiente a farla saltare via . Nel mio esperimento non succede.
Ho detto prima che la massa sulla molla deve essere appoggiata 'quasi staticamente' , cioè con molta lentezza. Se la appoggi bruscamente, la freccia iniziale è maggiore della soluzione statica : $delta_(st) = (mg)/k$ trovata . Questo si spiega col fatto che la freccia statica è solo una soluzione particolare dell'equazione differenziale :
$mddotx(t) + k x(t) = mg $
Ho trovato nel forum una vecchia discussione :
viewtopic.php?f=19&t=141259&hilit=massa+e+molla&start=30#p896934
dove si spiega il perchè del fattore $2$ che si ha , risolvendo l'equazione algebrica :
$1/2kDeltal^2 - mgDeltal = 0 $
la quale, oltre alla soluzione banale $ Deltal =0$ , fornisce $Deltal = (2mg)/k $
Chissà se Profkappa se ne ricorda .
Altro esercizio utile :
viewtopic.php?f=19&t=117747&hilit=massa+cade+su+molla#p770426
Ho detto prima che la massa sulla molla deve essere appoggiata 'quasi staticamente' , cioè con molta lentezza. Se la appoggi bruscamente, la freccia iniziale è maggiore della soluzione statica : $delta_(st) = (mg)/k$ trovata . Questo si spiega col fatto che la freccia statica è solo una soluzione particolare dell'equazione differenziale :
$mddotx(t) + k x(t) = mg $
Ho trovato nel forum una vecchia discussione :
viewtopic.php?f=19&t=141259&hilit=massa+e+molla&start=30#p896934
dove si spiega il perchè del fattore $2$ che si ha , risolvendo l'equazione algebrica :
$1/2kDeltal^2 - mgDeltal = 0 $
la quale, oltre alla soluzione banale $ Deltal =0$ , fornisce $Deltal = (2mg)/k $
Chissà se Profkappa se ne ricorda .
Altro esercizio utile :
viewtopic.php?f=19&t=117747&hilit=massa+cade+su+molla#p770426
Ciao shackle.
Grazie per la risposta dettagliata, mi ha motivato a fare dei conti che un po’ mi seccava fare seppur brevi e sono giunto a queste conclusioni: faccio il punto dettagliato per tutti
Considero come origine il ‘punto finale’ della molla a riposo.
Dunque considero $x<0$ per spostamenti verso il basso e pongo $x=-0,1m$ ottenendo
Ora effettuiamo una compressione della molla , comprimendola di $-0,3m$ ottenendo una forza elastica pari a $F_e=3mg$
Allora adesso sulla massa agiranno la forza peso e la forza elastica.
Consideriamo il loro lavoro che va da $x_f=-0,3$ a $x_i=-0,1$ allora avremo
$L_(t o t)=L_P+L_(F_e)=-mg(x_f-x_i)+1/2k(x_f-x_i)^2=-1/5mg+1/5mg=0$
Questo ci dice che la variazione di energia cinetica è nulla ed essendo la velocità iniziale nulla, significa che la velocità finale deve essere anch’essa nulla. Essendo che la velocità di arrivo al punto di equilibrio è nulla, il corpo rimarrà fermo lì e otteniamo uno spostamento di $20cm$ se consideriamo dal punto di compressione massima
Grazie per la risposta dettagliata, mi ha motivato a fare dei conti che un po’ mi seccava fare seppur brevi e sono giunto a queste conclusioni: faccio il punto dettagliato per tutti
Considero come origine il ‘punto finale’ della molla a riposo.
Dunque considero $x<0$ per spostamenti verso il basso e pongo $x=-0,1m$ ottenendo
$-k(-0,1)-mg=0=>k=10mg$
Ora effettuiamo una compressione della molla , comprimendola di $-0,3m$ ottenendo una forza elastica pari a $F_e=3mg$
Allora adesso sulla massa agiranno la forza peso e la forza elastica.
Consideriamo il loro lavoro che va da $x_f=-0,3$ a $x_i=-0,1$ allora avremo
$L_(t o t)=L_P+L_(F_e)=-mg(x_f-x_i)+1/2k(x_f-x_i)^2=-1/5mg+1/5mg=0$
Questo ci dice che la variazione di energia cinetica è nulla ed essendo la velocità iniziale nulla, significa che la velocità finale deve essere anch’essa nulla. Essendo che la velocità di arrivo al punto di equilibrio è nulla, il corpo rimarrà fermo lì e otteniamo uno spostamento di $20cm$ se consideriamo dal punto di compressione massima
L'energia contenuta nella molla e; $1/2*10mg*0.3^2$
Questa energia si rilascia e fa risalire la pietra fino ad un altezza h, contata dal punto di massima compressione (x=-0.3)
Quindi $1/2*10mg*0.3^2=mgh$
$h=1/2*10*0.3^2=0.45m$, cioe 15cm al di sopra della posizione della molla a riposo (he per tua scelta e' l'origine).
Hai sbagliato i conti nel calcolo del lavoro totale. Quando il corpo passa da -0.1 ha ancora velocita' (in altre parole il lavoro della molla non $1/5mg$, ma $1/25mg$
Questa energia si rilascia e fa risalire la pietra fino ad un altezza h, contata dal punto di massima compressione (x=-0.3)
Quindi $1/2*10mg*0.3^2=mgh$
$h=1/2*10*0.3^2=0.45m$, cioe 15cm al di sopra della posizione della molla a riposo (he per tua scelta e' l'origine).
Hai sbagliato i conti nel calcolo del lavoro totale. Quando il corpo passa da -0.1 ha ancora velocita' (in altre parole il lavoro della molla non $1/5mg$, ma $1/25mg$
Altro modo che a te sembra piu congeniale:
Nel passare da (-0.3) a 0, punto di riposo della molla, la forza peso fa lavoro $-mg*0.3$ La molla fa lavoro $1/2*10*mg*0.3^2$.
L'energia cinetica della pietra quando passa dalla posizione di riposo e'
$1/2mv^2=1/2*10*mg*0.3^2-mg*0.3$
A questo punto solo la forza peso fa lavoro fino al punto di massima altezza dove si annulla la velocita, pertanto
$0-1/2mv^2=-1/2*10*mg*0.3^2+mg*0.3=-mgh$
Quindi $h=1/2*10*0.3^2-0.3=0.15$ (contati dall'origine)
Nel passare da (-0.3) a 0, punto di riposo della molla, la forza peso fa lavoro $-mg*0.3$ La molla fa lavoro $1/2*10*mg*0.3^2$.
L'energia cinetica della pietra quando passa dalla posizione di riposo e'
$1/2mv^2=1/2*10*mg*0.3^2-mg*0.3$
A questo punto solo la forza peso fa lavoro fino al punto di massima altezza dove si annulla la velocita, pertanto
$0-1/2mv^2=-1/2*10*mg*0.3^2+mg*0.3=-mgh$
Quindi $h=1/2*10*0.3^2-0.3=0.15$ (contati dall'origine)
ma non li ho sbagliati...
$L_(F_e)=1/2k(x_f-x_i)^2=10mg(-0.1+0.3)^2=1/2k(0.2)^2$ e considerando che $k=10mg$ viene
$L_(F_e)=1/2k(x_f-x_i)^2=10mg(-0.1+0.3)^2=1/2k(0.2)^2$ e considerando che $k=10mg$ viene
$5mg*(1/5)^2=1/5mg$
Noneeeee. Hai sbagliato!!!!
Il lavoro della molla tra $x_i$ e $x_f$ e' $1/2k(x_f^2-x_i^2)$
NON E' $1/2k(x_f-x_i)^2$
Il lavoro della molla tra $x_i$ e $x_f$ e' $1/2k(x_f^2-x_i^2)$
NON E' $1/2k(x_f-x_i)^2$
Allora ti tocca discutertela con la soluzione dell’esercizio, perché riporta $20cm$ e da qualsiasi punto lo guardi non è nè $15$ nè $45$.
Guarda quì. Il numero otto.
PS: mi sono persuaso dell’errore, a casa lo ricalcolo. In ogni caso non capisco la distinzione tra il tuo risultato e quello proposto.
Guarda quì. Il numero otto.
PS: mi sono persuaso dell’errore, a casa lo ricalcolo. In ogni caso non capisco la distinzione tra il tuo risultato e quello proposto.
@anto_zoolander
forse non hai letto con attenzione la mia ultima risposta , e allora fallo . Da essa estraggo questa frase :
che ti dà ragione, anzi dà ragione alla soluzione : la pietra, che già tiene compressa la molla , spinta in basso da una forza, ritorna alla posizione da cui è partita allorchè si toglie la forza, dopo una serie di oscillazioni attorno a questa posizione (le oscillazioni hanno luogo quando togli la forza bruscamente; se "accompagni" la pietra nella risalita , le oscillazioni non hanno luogo) .
Ti faccio anche notare che il testo del 2010 da te linkato all'inizio chiede qual è l'elongazione massima della molla , dopo aver tolto la forza. Ecco la frase incriminata :
Questo è diverso dal testo a stampa dell'esercizio .
forse non hai letto con attenzione la mia ultima risposta , e allora fallo . Da essa estraggo questa frase :
...il sistema si ferma alla posizione di equilibrio di partenza, prima della applicazione della forza
che ti dà ragione, anzi dà ragione alla soluzione : la pietra, che già tiene compressa la molla , spinta in basso da una forza, ritorna alla posizione da cui è partita allorchè si toglie la forza, dopo una serie di oscillazioni attorno a questa posizione (le oscillazioni hanno luogo quando togli la forza bruscamente; se "accompagni" la pietra nella risalita , le oscillazioni non hanno luogo) .
Ti faccio anche notare che il testo del 2010 da te linkato all'inizio chiede qual è l'elongazione massima della molla , dopo aver tolto la forza. Ecco la frase incriminata :
calcolare il punto di massima altezza raggiunto dalla pietra rispetto alla posizione di equilbrio della molla...
Questo è diverso dal testo a stampa dell'esercizio .
@schackle
Il problema è che sono relativamente nuovo nel mondo della fisica, quindi ancora è difficile che possa dare argomentazioni valide, quindi cerco di carpire quante più informazioni possibili.
La tua risposta la lessi attentamente, solo che ho continuato a provare di persuadermi tentando di risolvere il problema e ancora a quanto pare devo rifare qualche conto.
Il problema è che sono relativamente nuovo nel mondo della fisica, quindi ancora è difficile che possa dare argomentazioni valide, quindi cerco di carpire quante più informazioni possibili.
La tua risposta la lessi attentamente, solo che ho continuato a provare di persuadermi tentando di risolvere il problema e ancora a quanto pare devo rifare qualche conto.
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