Energia elettrostatica sfera

[AndreaTorre1]

Salve a tutti,
ho svolto un problema che mi è sembrato banale e mi servirebbe una conferma sul procedimento che ho applicato, in quanto questa materia mi ha insegnato che spesso in questi casi si tralascia qualcosa che fa apparire semplice il problema.
Il testo recita: una carica è distribuita all’interno di una sfera di raggio $R$ con densità non uniforme $ρ(ρ) =c/r^2$ essendo $c$ una costante. Determinare l’energia elettrostatica contenuta all’interno della sfera.

Io ho agito così:
Sia $0 $E=(Qr)/(4piepsilon_0R^3$ dove, $Q=int_0^Rc/r^2*pir^2dr=cpiR=>$
$=>E=(cpiRr)/(4piepsilon_0R^3)=(cr)/(4epsilon_0R^2)$
$U_E=1/2*epsilon_0*(c^2r^2)/(16epsilon_0^2R^4)=(c^2r^2)/(32epsilon_0R^4)$

Sbaglio io o era proprio facile, che ne pensate?

[RenzoDF]

"AndreaTorre":... Sbaglio io o era proprio facile, che ne pensate?

Mah, direi che già dalle prime relazioni, o sbagli tu, o sbaglia Archimede.

Mentre dalla riga finale non vedo come nella relazione per l'energia contenuta all'interno della sfera[nota]Dimensionalmente non corretta.[/nota], possa comparire il generico raggio $r$.

[AndreaTorre1]

ho capito il mio errore...ho fatto un mix tra il caso in cui la densità è uniforme (dove appunto dato $0 riprovo:
$E*4piR^2=1/epsilon_0 int_0^R c/r^2*4pir^2dr=(4cpiR)/epsilon_0=>E=c/(epsilon_0R)$...spero sia giusto

per quanto riguarda l'ultima riga ho scordato di moltiplicare per il volume, quindi:
$U_E=1/2epsilon_0E^2*4/3piR^3$

Ho fatto errori?

[RenzoDF]

Scusa ma se intendi ricavare l'energia interna sfruttando la densità di energia elettrostatica, devi ricavarti il generico campo elettrico E(r) relativo al generico raggio r e, da quanto vedo, il suggerimento su Archimede non lo hai ancora usato.

[AndreaTorre1]

scusami, mi sforzo ma non riesco a cogliere il suggerimento su Archimede
Mi sto trovando in difficoltà e a breve ho l'esame...vorrei colmare questa lacuna una volta per tutte

[RenzoDF]

Per ricavare il campo elettrico internamente alla sfera $E(r)$ via Gauss, ti serve la carica $q(r)$ interna alla generica superficie sferica di raggio $r$, ne segue che per quest'ultima dovrai integrare il prodotto fra la densità di carica volumetrica $\rho(r)$ e il volume infinitesimo del guscio sferico $dV= \Sigma dr$, da zero a $r$, dove $\Sigma$ è la superficie della generica sfera di raggio $r$ (che secondo Archimede risulta pari a quattro volte l'area del cerchio massimo).
Ottenuto $E(r)$, per l'energia elettrostatica interna alla sfera di volume V dovrai calcolare

$U_E=\int_{V}^{}\ 1/2 \epsilon_0 E(r)^2 \ \text{d}V$

[AndreaTorre1]

"AndreaTorre":ho capito il mio errore...ho fatto un mix tra il caso in cui la densità è uniforme (dove appunto dato $0 riprovo:
$E*4piR^2=1/epsilon_0 int_0^R c/r^2*4pir^2dr=(4cpiR)/epsilon_0=>E=c/(epsilon_0R)$...spero sia giusto

per quanto riguarda l'ultima riga ho scordato di moltiplicare per il volume, quindi:
$U_E=1/2epsilon_0E^2*4/3piR^3$

Ma lo avevo modificato prima della tua risposta, per questo non capivo

[RenzoDF]

Scusa ma non me ne ero accorto.

[AndreaTorre1]

sicuramente ho modificato mentre rispondevi...comunque
$E(r)*4pir^2=q_(i n t)/epsilon_0$
$q_(i n t)=int_0^rc/r^2*4pir^2dr=c4pir=>E(r)=c/(repsilon_0)$
così?

[RenzoDF]

Sì

[AndreaTorre1]

Ti ringrazio molto per il tuo tempo, mi hai aiutato davvero tanto e chiarito tanti dubbi