Energia elettrostatica condensatore
Chiedo aiuto per risolvere il quesito del seguente esercizio:
Un conduttore sferico di raggio $ R_1=10cm $ è concentrico ad un conduttore sferico cavo di raggio interno $ R_2=20cm $ e raggio esterno $ R_3=40cm $ . Una carica $ q=10^(-8)C $ è depositata sul conduttore interno. La sfera interna viene ora appoggiata sul fondo della cavità. Calcolare la variazione di energia elettrostatica del sistema.
Non capisco perchè il risultato che mi dà il libro sia: $ variaz=-U_(INT)=-2,25*10^(-6)J $
Un conduttore sferico di raggio $ R_1=10cm $ è concentrico ad un conduttore sferico cavo di raggio interno $ R_2=20cm $ e raggio esterno $ R_3=40cm $ . Una carica $ q=10^(-8)C $ è depositata sul conduttore interno. La sfera interna viene ora appoggiata sul fondo della cavità. Calcolare la variazione di energia elettrostatica del sistema.
Non capisco perchè il risultato che mi dà il libro sia: $ variaz=-U_(INT)=-2,25*10^(-6)J $
Risposte
Intanto la formula per un condensatore sferico qual è ?
Ad esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/Capacit%C3%A0_elettrica
Ad esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/Capacit%C3%A0_elettrica
L'espressione dell'energia elettrostatica per un condensatore sferico è.
$ U_e=(q^2)/(8piepsilon _0R) $ . Non capisco solo come impostare la differenza di energia, cioè tra quali punti
$ U_e=(q^2)/(8piepsilon _0R) $ . Non capisco solo come impostare la differenza di energia, cioè tra quali punti
Partendo da una relazione generale per l'energia elettrostatica contenuta in un volume V, particolarizzata per una configurazione a simmetria sferica come quella del problema, via integrazione del prodotto fra quella specifica relativa alla generica distanza r dal centro del sistema ed il volume infinitesimo del guscio sferico di raggio r e spessore dr, avremo che
$$U_E=\int_{V}^{ }\frac{1}{2}\epsilon _0 | \vec{E}(r)|^{2}dV$$
Visto che la carica netta Q è presente solo sulla sfera interna, avremo che la differenza fra le due configurazioni: iniziale con sfera interna centrale separata e finale con sfera interna in contatto con sfera cava, starà semplicemente nella presenza o nella assenza di campo elettrico nell'intercapedine, in quanto il campo all'esterno della sfera cava non subirà nessun cambiamento fra le due situazioni.
Per calcolare la differenza fra le due energie basterà quindi calcolare quella presente nell'intercapedine nella prima configurazione, che andrà a sparire nella seconda configurazione.
$U_f-U_i=0-U_i=-\int_{R_1}^{R_2}\frac{\epsilon _0}{2}\frac{Q^{2}}{16\pi ^2 \epsilon _0^2\ r^4} (4\pi r^{2})dr=-\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon _0 }[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}]=\frac{5 Q^{2}}{8\pi\epsilon _0 }\approx -2.25 \mu J$
$$U_E=\int_{V}^{ }\frac{1}{2}\epsilon _0 | \vec{E}(r)|^{2}dV$$
Visto che la carica netta Q è presente solo sulla sfera interna, avremo che la differenza fra le due configurazioni: iniziale con sfera interna centrale separata e finale con sfera interna in contatto con sfera cava, starà semplicemente nella presenza o nella assenza di campo elettrico nell'intercapedine, in quanto il campo all'esterno della sfera cava non subirà nessun cambiamento fra le due situazioni.
Per calcolare la differenza fra le due energie basterà quindi calcolare quella presente nell'intercapedine nella prima configurazione, che andrà a sparire nella seconda configurazione.
$U_f-U_i=0-U_i=-\int_{R_1}^{R_2}\frac{\epsilon _0}{2}\frac{Q^{2}}{16\pi ^2 \epsilon _0^2\ r^4} (4\pi r^{2})dr=-\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon _0 }[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}]=\frac{5 Q^{2}}{8\pi\epsilon _0 }\approx -2.25 \mu J$
Ti ringrazio tantissimo!
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