Energia dissipata su una resistenza
Mio secondo post stasera (spero non arrivi il terzo 
) per un esercizio che devo svolgere.
Il mio ragionamento è questo.
Trovo la resistenza equivalente:
\(\displaystyle \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \)
Quindi:
\(\displaystyle R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \)
Nel processo di scarica, il potenziale $V_C$ e la corrente $i$ valgono ($V_0$ = potenziale iniziale):
\(\displaystyle V_C(t) = \frac{q}{C}e^{-\frac{t}{RC}} = V_0e^{-\frac{t}{RC}}\)
\(\displaystyle i(t) = -\frac{dq}{dt} = \frac{q_0}{RC}e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{V_0}{R}e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{V_C}{R}\)
Ora, la potenza istantanea dissipata su $R_{eq}$ vale:
\(\displaystyle P(t) = R_{eq}*i^2 = \frac{V_0^2}{R}e^{e^-\frac{2t}{RC}} \)
e quindi nell'intero processo di scarica, viene dissipata l'energia:
\(\displaystyle W_{R_{eq}} = \int_0^{\infty} P(t) dt = \frac{V_0^2}{R}\int_0^{\infty} e^{-\frac{2t}{RC}} = \frac{1}{2}CV_0^2 \)
che corrisponde all'energia elettrostatica iniziale del condensatore.
Se ho fatto tutto giusto fino a qui, ora il mio problema è:
conosco l'energia dissipata su $R_{eq}$, come faccio a trovare quella su $R_2$?
Ho come l'impressione di aver affrontato il problema nel modo sbagliato
) per un esercizio che devo svolgere.Un circuito è composto da due condensatori, $C_1$ carico e $C_2$ scarico. In parallelo, come da figura,
ci sono due resistenze $R_1$ e $R_2$. Il circuito inizialmente è aperto e la tensione ai capi di $C_1$ è $V_{C1}$. In un istante, l'interruttore si chiude. Trovare l'energia dissipata su $R_2$ al termine del processo di scarica di $C_1$.
I dati forniti sono $C_1$, $V_{C1}$, $R_1$, $R_2$
Il mio ragionamento è questo.
Trovo la resistenza equivalente:
\(\displaystyle \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \)
Quindi:
\(\displaystyle R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \)
Nel processo di scarica, il potenziale $V_C$ e la corrente $i$ valgono ($V_0$ = potenziale iniziale):
\(\displaystyle V_C(t) = \frac{q}{C}e^{-\frac{t}{RC}} = V_0e^{-\frac{t}{RC}}\)
\(\displaystyle i(t) = -\frac{dq}{dt} = \frac{q_0}{RC}e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{V_0}{R}e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{V_C}{R}\)
Ora, la potenza istantanea dissipata su $R_{eq}$ vale:
\(\displaystyle P(t) = R_{eq}*i^2 = \frac{V_0^2}{R}e^{e^-\frac{2t}{RC}} \)
e quindi nell'intero processo di scarica, viene dissipata l'energia:
\(\displaystyle W_{R_{eq}} = \int_0^{\infty} P(t) dt = \frac{V_0^2}{R}\int_0^{\infty} e^{-\frac{2t}{RC}} = \frac{1}{2}CV_0^2 \)
che corrisponde all'energia elettrostatica iniziale del condensatore.
Se ho fatto tutto giusto fino a qui, ora il mio problema è:
conosco l'energia dissipata su $R_{eq}$, come faccio a trovare quella su $R_2$?
Ho come l'impressione di aver affrontato il problema nel modo sbagliato
Risposte
C2 ce lo possiamo dimenticare: è scarico all'inizio, sarà scarico alla fine. Nel transitorio si carica, ma poi si scarica anche, quindi lo lascerei fuori.
Non starei a calcolare la corrente, esponenziali ecc. Sappiamo semplicemente che la corrente si ripartisce sulle due resistenze in modo inversamente proporzionale alle resistenze, cioè $i_1R_1 = i_2R_2 => I_2 = I_1*R_1/R_2$
La potenza dissipata nelle resistenze è $I^2*R$ e facendo due conti si trova che per la potenza, e quindi anche per il lavoro, vale la stessa relazione: $W_2 = W_1*R_1/R_2$
$W_1+W_2 = 1/2C_1*V_0^2$; da qui e dalla precedente si ricava $W_2$
Non starei a calcolare la corrente, esponenziali ecc. Sappiamo semplicemente che la corrente si ripartisce sulle due resistenze in modo inversamente proporzionale alle resistenze, cioè $i_1R_1 = i_2R_2 => I_2 = I_1*R_1/R_2$
La potenza dissipata nelle resistenze è $I^2*R$ e facendo due conti si trova che per la potenza, e quindi anche per il lavoro, vale la stessa relazione: $W_2 = W_1*R_1/R_2$
$W_1+W_2 = 1/2C_1*V_0^2$; da qui e dalla precedente si ricava $W_2$
"mgrau":
facendo due conti si trova che per la potenza, e quindi anche per il lavoro, vale la stessa relazione: $W_2 = W_1*R_1/R_2$
\(\displaystyle i_1 R_1 = i_2 R_2 \Longrightarrow i_2 = i_1 \frac{R_1}{R_2} \)
\(\displaystyle P_{R_2} = i_2^2 R_2 = i_1^2\frac{R_1^2}{R_2} \Longrightarrow P_{R_2} R_2 = i_1^2R_1^2 \Longrightarrow P_{R_2}\frac{R_2}{R_1} = i_1^2 R_1 = P_{R_1} \)
Quindi anche il lavoro che dipende dalla potenza sarà:
\(\displaystyle W_2 = W_1 \frac{R_1}{R_2} \)
"mgrau":
$ W_1+W_2 = 1/2C_1*V_0^2 $
Il lavoro totale ovviamente l'hai calcolato come energia dissipata su $R_1$ + energia dissipata su $R_2$, coincide con il lavoro che viene speso per scaricare il condensatore?
"mgrau":
:smt023
Vorrei poterti offrire almeno un caffè
Supponiamo che tu l'abbia fatto... 
"mgrau":
C2 ce lo possiamo dimenticare
Siamo sicuri? ... io direi di no.
"RenzoDF":
[quote="mgrau"]C2 ce lo possiamo dimenticare
Siamo sicuri? ... io direi di no.
[/quote]Mah... alla fine tutta l'energia viene da C1 e viene tutta dissipata nelle resistenze. Il bilancio energetico di C2 è in pareggio.
Direi che C2, quando si chiude l'interruttore, si trova in parallelo con C1, cosicchè il circuito RC equivalente ha una costante di tempo maggiore, si scarica più adagio che se C2 non ci fosse, ma visto che ci viene chiesto il lavoro totale, non ci interessano i tempi...
Ti rispondo con una domanda: cosa avviene nell'istante t=0+, subito dopo la chiusura dell'interruttore?
Ti ho risposto sopra
Un condensatore scarico equivale ad un cortocircuito, di conseguenza alla chiusura dell'interruttore C1 si troverà cortocircuitato da C2, portando alla circolazione di un impulso di corrente che caricherà istantaneamente C2 e ad una perdita istantanea del 50% [nota]Con C1=C2.[/nota] della sua energia iniziale; il famoso paradosso capacitivo.
Solo il 50% dell'energia iniziale di C1 sarà quindi dissipata nel transitorio su R1 e R2.
Solo il 50% dell'energia iniziale di C1 sarà quindi dissipata nel transitorio su R1 e R2.
Ora però mi nasce un dubbio angoscioso (dovuto all'ora tarda?):
se abbiamo due condensatori uguali, uno carico uno scarico, l'energia è $W_0 = 1/2CV^2$.
Se li colleghiamo in parallelo, la carica si ripartisce fra i due, la C raddoppia, la V dimezza, ma in questo modo si dimezza anche l'energia $W_1 = 1/2*2C*(V/2)^2 = 1/2W_0$ ! E dove è andata a finire??
se abbiamo due condensatori uguali, uno carico uno scarico, l'energia è $W_0 = 1/2CV^2$.
Se li colleghiamo in parallelo, la carica si ripartisce fra i due, la C raddoppia, la V dimezza, ma in questo modo si dimezza anche l'energia $W_1 = 1/2*2C*(V/2)^2 = 1/2W_0$ ! E dove è andata a finire??
"mgrau":
E dove è andata a finire??
Dal punto di vista teorico nella resistenza (nulla) dei conduttori che collegano i due condensatori, se poi scendiamo dal caso ideale a quello reale, cercando un miglior modello circuitale, con resistenza dei conduttori di collegamento piccola ma non nulla, dovremo considerare anche quella di radiazione.
Tempo fa scrissi su ElectroYou un paio di righe riassuntive su alcuni lavori sull'argomento, se ti va di darci un occhio le trovi al seguente indirizzo
http://www.electroyou.it/renzodf/wiki/articolo19
Provo a rispondermi da solo, ricorrendo ai miei amati paragoni idraulici.
Abbiamo due serbatoi uguali, uno pieno e uno vuoto, collegati con un tubo, chiuso con un rubinetto.
L'energia potenziale del liquido è data dal suo peso per l'altezza del CM, ossia metà dell'altezza del livello del liquido.
Se apriamo il rubinetto, il livello si uguaglia e quindi si dimezza. L'altezza del CM si dimezza pure, e anche l'energia potenziale.
Dove è finita l'altra metà?
Rispondo: se non consideriamo gli attriti, il livello non si uguaglia e basta, ma invece l'acqua andrà tutta nel secondo serbatoio, e poi indietro, oscillando in modo permanente. Non sta mai ferma, nel momento in cui i livelli sono uguali, una metà dell'energia è in forma di energia cinetica.
Nel caso elettrico, se ci mettiamo come qui in una situazione senza attrito, ossia senza resistenza, penso che non possiamo tralasciare però l'induttanza del circuito, e si viene così a formare un circuito LC, in cui la corrente si trasferisce indefinitamente da un condensatore all'altro, e, quando le cariche sono uguali, la parte mancante dell'energia è in forma di campo magnetico.
Nel caso reale, invece, l'energia mancante è semplicemente dissipata nella resistenza dei fili, anche se immagino che ci sia comunque un transitorio di oscillazioni smorzate.
Abbiamo due serbatoi uguali, uno pieno e uno vuoto, collegati con un tubo, chiuso con un rubinetto.
L'energia potenziale del liquido è data dal suo peso per l'altezza del CM, ossia metà dell'altezza del livello del liquido.
Se apriamo il rubinetto, il livello si uguaglia e quindi si dimezza. L'altezza del CM si dimezza pure, e anche l'energia potenziale.
Dove è finita l'altra metà?
Rispondo: se non consideriamo gli attriti, il livello non si uguaglia e basta, ma invece l'acqua andrà tutta nel secondo serbatoio, e poi indietro, oscillando in modo permanente. Non sta mai ferma, nel momento in cui i livelli sono uguali, una metà dell'energia è in forma di energia cinetica.
Nel caso elettrico, se ci mettiamo come qui in una situazione senza attrito, ossia senza resistenza, penso che non possiamo tralasciare però l'induttanza del circuito, e si viene così a formare un circuito LC, in cui la corrente si trasferisce indefinitamente da un condensatore all'altro, e, quando le cariche sono uguali, la parte mancante dell'energia è in forma di campo magnetico.
Nel caso reale, invece, l'energia mancante è semplicemente dissipata nella resistenza dei fili, anche se immagino che ci sia comunque un transitorio di oscillazioni smorzate.
@RenzoDF
Ho visto dopo la tua risposta, che mi pare concordi con la mia. Non avevo in verità pensato alla perdita per radiazione.
Però, tornando al caso iniziale, secondo te cosa succede quando si chiude l'interruttore?
Ho visto dopo la tua risposta, che mi pare concordi con la mia. Non avevo in verità pensato alla perdita per radiazione.
Però, tornando al caso iniziale, secondo te cosa succede quando si chiude l'interruttore?
"mgrau":
... tornando al caso iniziale, secondo te cosa succede quando si chiude l'interruttore?
Alla chiusura dell'interruttore come ti dicevo, un'impulso di corrente porta istantaneamente ad uguagliare le due tensioni su C1 e C2, la carica presente su C1 si distribuisce sul parallelo e porta ad una istantanea perdita di energia del sistema.
Chiaramente la restante energia associata a questo parallelo fra C1 e C2 andrà poi a ripartirsi su R1 e R2 come hai indicato.
Già, sembra proprio così... 
Con ciò però si viene a dire che il problema non si può risolvere, visto che non viene dato C2....
Con ciò però si viene a dire che il problema non si può risolvere, visto che non viene dato C2....
Certo, se non è noto C2, il problema è irrisolvibile.
@ senter : da dove arriva?
@ senter : da dove arriva?
"RenzoDF":
Certo, se non è noto C2, il problema è irrisolvibile.
@ senter : da dove arriva?
L'esercizio era parte di un compito d'esame passato di fisica 2.
Anche io ho pensato che, non avendo nessun dato su C2, avrei potuto "dimenticarmene", ma seguendo il filo dei vostri ragionamenti non sembra affatto così
Se il prof. mi concede una visita a studio potrei chiedere spiegazioni
"senter":
... L'esercizio era parte di un compito d'esame passato di fisica 2.
Incredibile^2
Mi chiedo come sia possibile che in una università, stendendo una prova d'esame, si possano fare simili Errori!
"senter":
... Se il prof. mi concede una visita a studio potrei chiedere spiegazioni
Direi proprio che devi farlo, ... poi ci racconti.
"RenzoDF":
[quote="senter"]... L'esercizio era parte di un compito d'esame passato di fisica 2.
Incredibile^2
Mi chiedo come sia possibile che in una università, stendendo una prova d'esame, si possano fare simili Errori!
"senter":
... Se il prof. mi concede una visita a studio potrei chiedere spiegazioni
Direi proprio che devi farlo, ... poi ci racconti.[/quote]
Proverò oggi stesso!
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