Energia contenuta in un cilindro, come si calcola? Esercizio di Fisica 2
Salve, mi sono imbattuto nel seguente esercizio di Fisica 2:
<< Un conduttore cilindrico cavo di raggi a e b è percorso da una corrente con densità di corrente non uniforme $j(r)=c/r$, dove c è una costante e r la distanza dall'asse.
Calcolare l'energia contenuta nel cilindro di lunghezza unitaria e raggio $R=b$, coassiale al conduttore >>
Vi dirò: non ho la più pallida idea di come iniziare questo esercizio, avevo pensato che data la densità di corrente non uniforme quest'ultima debba essere integrata tra gli estremi a e b, calcolando quindi: $int_(a)^(b) j(r)*2pirdr =c2pi(b-a)$, ma a questo punto non ho idea di come procedere, ringrazio in anticipo chi mi aiuterà!
<< Un conduttore cilindrico cavo di raggi a e b è percorso da una corrente con densità di corrente non uniforme $j(r)=c/r$, dove c è una costante e r la distanza dall'asse.
Calcolare l'energia contenuta nel cilindro di lunghezza unitaria e raggio $R=b$, coassiale al conduttore >>
Vi dirò: non ho la più pallida idea di come iniziare questo esercizio, avevo pensato che data la densità di corrente non uniforme quest'ultima debba essere integrata tra gli estremi a e b, calcolando quindi: $int_(a)^(b) j(r)*2pirdr =c2pi(b-a)$, ma a questo punto non ho idea di come procedere, ringrazio in anticipo chi mi aiuterà!
Risposte
Nel cilindro è presente un campo magnetico (teorema di Ampere) e immagino che si voglia trovare l'energia di questo.
Altre forme di energia non ne vedo.
Altre forme di energia non ne vedo.
"mgrau":
Nel cilindro è presente un campo magnetico (teorema di Ampere) e immagino che si voglia trovare l'energia di questo.
Altre forme di energia non ne vedo.
Ciao, ti ringrazio per la risposta tempestiva, anche io ho pensato che si riferisca all'energia del campo magnetico, ho provato a tal proposito a svolgere l'esercizio e sono giunto ad un risultato, il problema con questo tipo di esercizi è che non ho trovato degli esempi svolti da nessuna parte e non ho neanche un risultato come riferimento per capire se ho svolto correttamente i calcoli o meno.
Comunque la mia soluzione proposta è la seguente:
Calcolo la corrente che circola nel cilindro cavo, essa non è uniforme dunque considero una circonferenza di spessore infinitesimo dr e raggio r e calcolo la corrente integrando tra a e b: $int_(a)^(b) j(r)*2pir dr =c2pi(b-a)$, a questo punto calcolo il campo magnetico dalla legge di Ampère: $oint_() B*ds=mu_0*i rArr B*2pir=mu_0*c2pi(b-a)$ l'energia del campo magnetico si ottiene dunque integrando la seguente espressione: $u_m=B^2/(2mu_0)$.
Per quanto riguarda l'integrazione, che va fatta su un volume $tau$ che nel mio caso è il volume di un cilindro di lunghezza unitaria: $tau=pir^2 rArr d\tau=2pir$ e quindi ottengo l'integrale: $int_(0)^(R=b) B^2/(2mu_0) dr = c(b-a)/2 ln(R)$
Però non saprei, non sono sicuro di aver svolto correttamente l'esercizio.
"Ema6798":
... Calcolo la corrente che circola nel cilindro cavo, essa non è uniforme dunque considero una circonferenza di spessore infinitesimo dr e raggio r e calcolo la corrente integrando tra a e b: $int_(a)^(b) j(r)*2pir dr =c2pi(b-a)$, ...
Non devi determinare l'intera corrente, ma solo la quotaparte interna al generico raggio $r$
$i(r)=int_(a)^(r) j(u) 2 pi u \ \text{d}u =2pi c(r-a)$
"Ema6798":
... Per quanto riguarda l'integrazione, che va fatta su un volume $tau$ che nel mio caso è il volume di un cilindro di lunghezza unitaria: $tau=pir^2 rArr d\tau=2pir$ e quindi ottengo l'integrale: $int_(0)^(R=b) B^2/(2mu_0) dr = c(b-a)/2 ln(R)$...
Occhio che $tau=pir^2 rArr d\tau=2pir\ dr$, che l'integrale è di volume e inoltre che basterà integrare fra $a$ e $R$, visto che nella cavità il campo magnetico è nullo.
"RenzoDF":
[quote="Ema6798"]... Calcolo la corrente che circola nel cilindro cavo, essa non è uniforme dunque considero una circonferenza di spessore infinitesimo dr e raggio r e calcolo la corrente integrando tra a e b: $int_(a)^(b) j(r)*2pir dr =c2pi(b-a)$, ...
Non devi determinare l'intera corrente, ma solo la quotaparte interna al generico raggio $r$
$int_(a)^(r) j(u)*2piu \ \text{d}u =c2pi(r-a)$
"Ema6798":
... Per quanto riguarda l'integrazione, che va fatta su un volume $tau$ che nel mio caso è il volume di un cilindro di lunghezza unitaria: $tau=pir^2 rArr d\tau=2pir$ e quindi ottengo l'integrale: $int_(0)^(R=b) B^2/(2mu_0) dr = c(b-a)/2 ln(R)$...
Occhio che $tau=pir^2 rArr d\tau=2pir\ dr$ e inoltre basterà integrare fra $a$ e $R$, visto che nella cavità il campo magnetico è nullo.[/quote]
Ti ringrazio tantissimo per i chiarimenti, tuttavia mi permane ancora qualche piccolo dubbio, ad esempio:
"RenzoDF":
Non devi determinare l'intera corrente, ma solo la quotaparte interna al generico raggio r
∫raj(u)⋅2πu du=c2π(r−a)
Io ho pensato a tal proposito che essendo il raggio del cilindro di cui voglio calcolare l'energia magnetica uguale al raggio esterno del mio conduttore, tutta la corrente che circola nel conduttore genera il campo magnetico, e per questo motivo ho usato la corrente totale che circola nel conduttore; anche se mi rendo conto che probabilmente questo ragionamento non porta da nessuna parte perchè avrei: $B(b)*2pib=mu_0*c2pi(b-a)rArrB(b)=mu_0c(b-a)/b$, che però non è funzione di r e quindi che vado ad integrare?
"RenzoDF":
Occhio che τ=πr2⇒dτ=2πr dr e inoltre basterà integrare fra a e R, visto che nella cavità il campo magnetico è nullo.
Qui effettivamente ho tralasciato quel piccolo particolare, anche se ancora non ho ben capito questa procedura di trattare quei differenziali $dr$, $d\tau$, ecc.. come delle quantità algebriche: il passaggio mi pare di capire sia questo: $(d\tau)/(dr)=pir^2rArrd\tau=2pirdr$.
L'ultimo integrale tutto chiaro, effettivamente all'interno della cavità non abbiamo campo magnetico quindi non devo integrare.
La circuitazione del campo magnetico é funzione della sola corrente $i(r)$ concatenata (interna) alla generica circonferenza di raggio $r$, non alla corrente totale nel conduttore.
"RenzoDF":
La circuitazione del campo magnetico é funzione della sola corrente $i(r)$ concatenata (interna) alla generica circonferenza di raggio $r$, non alla corrente totale nel conduttore.
Ti ringrazio!
Di nulla.
Ma dovresti farci il favore di completare il calcolo, per i futuri lettori del thread.
Grazie.
Ma dovresti farci il favore di completare il calcolo, per i futuri lettori del thread.
Grazie.
"RenzoDF":
Di nulla.
Ma dovresti farci il favore di completare il calcolo, per i futuri lettori del thread.
Grazie.
Provvederò quanto prima!
Purtroppo nella confusione ho perso i calcoli, dunque ho dovuto rifarli tutti, in definitiva lo svolgimento completo dell'esercizio è questo:
Inizio col calcolare la corrente concatenata rispetto al generico raggio r:
$I_c=int_(a)^(r) J(r)*2pir\ dr = int_(a)^(r) c/r*2pir\ dr=c2piint_(a)^(r) dr=c2pi(r-a)$
Una volta fatto ciò procedo calcolando l'espressione del campo magnetico, in funzione del generico raggio r, per far ciò applico la legge di Ampère poichè nel problema vi è simmetria:
$oint_() B*ds=mu_0*i_c rArr B(r)*2pir=mu_0*c2pi(r-a) rArr B(r)= (mu_0*c*(r-a))/r rArr B(r)^2=(mu_0^2*c^2*(r-a)^2)/r^2$
A questo punto devo solo calcolare l'energia magnetica come:
$int_(tau) (B(r)^2)/(2mu_0)d\tau$ essendo $tau$ il volume del mio cilindro di lunghezza unitaria, cioè: $tau=pir^2 rArr (d\tau)/(dr)=2pir rArr d\tau=2pirdr$, quindi il mio integrale diventa:
$int_(a)^(R=b) B^2/(2mu_0)*2pir\ dr $, che risolve con le usuali regole di integrazione,[strike]a tal proposito mi è però sorto un dubbio, ma la $R$ devo trattarla come una variabile o posso considerarla una costante e portarla fuori dall'integrale??[/strike]
Inizio col calcolare la corrente concatenata rispetto al generico raggio r:
$I_c=int_(a)^(r) J(r)*2pir\ dr = int_(a)^(r) c/r*2pir\ dr=c2piint_(a)^(r) dr=c2pi(r-a)$
Una volta fatto ciò procedo calcolando l'espressione del campo magnetico, in funzione del generico raggio r, per far ciò applico la legge di Ampère poichè nel problema vi è simmetria:
$oint_() B*ds=mu_0*i_c rArr B(r)*2pir=mu_0*c2pi(r-a) rArr B(r)= (mu_0*c*(r-a))/r rArr B(r)^2=(mu_0^2*c^2*(r-a)^2)/r^2$
A questo punto devo solo calcolare l'energia magnetica come:
$int_(tau) (B(r)^2)/(2mu_0)d\tau$ essendo $tau$ il volume del mio cilindro di lunghezza unitaria, cioè: $tau=pir^2 rArr (d\tau)/(dr)=2pir rArr d\tau=2pirdr$, quindi il mio integrale diventa:
$int_(a)^(R=b) B^2/(2mu_0)*2pir\ dr $, che risolve con le usuali regole di integrazione,[strike]a tal proposito mi è però sorto un dubbio, ma la $R$ devo trattarla come una variabile o posso considerarla una costante e portarla fuori dall'integrale??[/strike]
Typos a parte, non confondere $r$ con $R$. 
... e sarebbe utile anche vedere a cosa porta quell'integrale.
... e sarebbe utile anche vedere a cosa porta quell'integrale.
"RenzoDF":
Typos a parte, non confondere $r$ con $R$.
... e sarebbe utile anche vedere a cosa porta quell'integrale.
Suppongo ti riferisci al fatto che ho calcolato $tau=piR^2$, invece avrei dovuto calcolarlo come $tau=pir^2$ che diventa quindi: $(d\tau)/(dr)=2pir rArr d\tau=2pi\rdr$ in quando pensandoci bene io calcolo questo volume infinitesimo e poi integro tra gli estremi $0$ ed $R=b$ dunque R è il mio estremo di integrazione, ma non devo inserire all'interno dell'integrale il valore finito del volume del mio cilindro.
Mi capita spesso di confondermi con queste cose.
Scusami ma non capisco cosa intendi con "Typos a parte"
"Ema6798":
... Scusami ma non capisco cosa intendi con "Typos a parte"
Errori di battitura, per esempio una inesistente circuitazione nel penultimo integrale, un $\mu_0$ dello stesso che magicamente si trasforma in un $\pi r$ nell'ultimo integrale ... e ovviamente, quella "strana" derivata.
"Ema6798":
...
$oint_(tau) B^2/(2mu_0)d\tau$ essendo $tau$ il volume del mio cilindro di lunghezza unitaria, cioè: $tau=piR^2 rArr (d\tau)/(dr)=2piR rArr d\tau=2piRdr$, quindi il mio integrale diventa:
$int_(a)^(R=b) B^2/(2pir)*2piR\ dr $, ...
Ammetto che erano presenti diversi errori di battitura, mi distraggo facilmente! ahaha
Comunque vorrei chiederti circa un'esercizio simile a questo che però presentava una piccola differenza, il conduttore era un cilindro pieno, invece l'area dove devo calcolare il campo magnetico era un cilindro cavo con $R/2
P.S: Gli errori di battitura contenuti nel messaggio con la soluzione dovrebbero essere sistemati.
Comunque vorrei chiederti circa un'esercizio simile a questo che però presentava una piccola differenza, il conduttore era un cilindro pieno, invece l'area dove devo calcolare il campo magnetico era un cilindro cavo con $R/2
P.S: Gli errori di battitura contenuti nel messaggio con la soluzione dovrebbero essere sistemati.
Forse intendi dire che il volume nel quale devi determinare l'energia magnetica ha la geometria di un cilindro cavo, parzialmente interno e parzialmente esterno al conduttore, esatto?
"Ema6798":
... Dovrò quindi integrare tra $R/2$ e $2R$? O vi sono altre differenze da tenere d'occhio?
Devi considerare che l'integrale lo dovrai calcolare per la parte interna e per la parte esterna separatamente, visto che B(r) interna è direttamente proporzionale ad r mentre quella esterna inversamente; di conseguenza da R/2 a R per il primo e da R a 2R per il secondo.
Caspita hai ragione, non ci avevo pensato.
Nel caso in cui volessi proporre una soluzione posso farlo qui o devo aprire un'altro topic? Tutto sommato l'esercizio è quasi lo stesso.
Nel caso in cui volessi proporre una soluzione posso farlo qui o devo aprire un'altro topic? Tutto sommato l'esercizio è quasi lo stesso.
Fallo qui; è una variante al tema.
<>
Propongo dunque il mio svolgimento:
Come sappiamo l'energia magnetica si esprime come: $int_(tau) (B^2)/(2mu_0) d\tau$
A questo punto, come mi è stato suggerito, presto attenzione al fatto che il campo magnetico nella regione ove voglio calcolare l'energia magnetica non ha la stessa espressione: in particolar modo nella zona compresa tra $0$ ed $R$, cioè la zona interna al cilindro conduttore, il campo magnetico ha un'espressione che è direttamente proporzionale al generico raggio r considerato; invece all'esterno dello stesso cilindro conduttore il campo magnetico sarà inversamente proporzionale al generico raggio r.
Fatte queste dovute considerazioni preliminari procediamo al calcolo del campo magnetico:
All'esterno del cilindro avremo che il campo magnetico obbedisce alla legge di Biot-Savart, esso non dipenderà in alcun modo dal raggio del conduttore ma solo dalla distanza $r$ di un generico punto dall'asse del cilindro, per la legge di Ampère avremo:
$B(r)_(esterno)= (mu_0*i)/(2pir)$ 1
la corrente $i$ sarà dunque quella che circola all'interno del cilindro che possiamo calcolare come segue:
$i=int_(0)^(R) J(r)*2pir\ dr = int_(0)^(R) 4*r*2pir\ dr= 8/3piR^3$ 2
Sostituendo l'espressione 2 nella formula 1 otteniamo:
$B(r)_(esterno)=(4*mu_0*R^3)/(3*r)$ da cui: $B(r)_(esterno)^2=(16*mu_0^2*R^6)/(9*r^2)$
A questo punto procediamo calcolando l'espressione del campo magnetico all'interno del cilindro, applichiamo la legge di Ampère:
La corrente concatenata, fissato un generico $r$ tale che: $0
$i_c=int_(0)^(r) J(r)*2pir\ dr = int_(0)^(r) 4*r*2pir\ dr = 8/3pir^3$ 3
Possiamo sostituire 3 nella 1 (essendo la 1 ricavata dalla legge di Ampère) ottenendo:
$B(r)_(i\n\terno)=(4*mu_0*r^2)/3$ da cui: $B(r)_(\i\n\terno)^2=(16*mu_0^2*r^4)/9$
Possiamo quindi procedere a calcolare l'energia magnetica:
considerato il volume del cilindro: $tau=pir^2l rArr (d\tau)/dr=2pirl rArr 2pirl\dr$
$U_m=int_(R/2)^(2R) B^2/(2*mu_0) 2pirl \dr = int_(R/2)^(R) B_(\i\n\terno)^2/(2*mu_0) 2pirl \dr + int_(R)^(2R) B_(esterno)^2/(2*mu_0) 2pirl \dr$
L'integrale dovrebbe essere abbastanza semplice, a me ha dato il seguente risultato:
$(16*mu_0*pi*l)/9[1/6(R^6-(R^6/64))+R^6*ln(2)]$ da prendersi con le pinze visto che l'ho svolto un po' di fretta
Propongo dunque il mio svolgimento:
Come sappiamo l'energia magnetica si esprime come: $int_(tau) (B^2)/(2mu_0) d\tau$
A questo punto, come mi è stato suggerito, presto attenzione al fatto che il campo magnetico nella regione ove voglio calcolare l'energia magnetica non ha la stessa espressione: in particolar modo nella zona compresa tra $0$ ed $R$, cioè la zona interna al cilindro conduttore, il campo magnetico ha un'espressione che è direttamente proporzionale al generico raggio r considerato; invece all'esterno dello stesso cilindro conduttore il campo magnetico sarà inversamente proporzionale al generico raggio r.
Fatte queste dovute considerazioni preliminari procediamo al calcolo del campo magnetico:
All'esterno del cilindro avremo che il campo magnetico obbedisce alla legge di Biot-Savart, esso non dipenderà in alcun modo dal raggio del conduttore ma solo dalla distanza $r$ di un generico punto dall'asse del cilindro, per la legge di Ampère avremo:
$B(r)_(esterno)= (mu_0*i)/(2pir)$ 1
la corrente $i$ sarà dunque quella che circola all'interno del cilindro che possiamo calcolare come segue:
$i=int_(0)^(R) J(r)*2pir\ dr = int_(0)^(R) 4*r*2pir\ dr= 8/3piR^3$ 2
Sostituendo l'espressione 2 nella formula 1 otteniamo:
$B(r)_(esterno)=(4*mu_0*R^3)/(3*r)$ da cui: $B(r)_(esterno)^2=(16*mu_0^2*R^6)/(9*r^2)$
A questo punto procediamo calcolando l'espressione del campo magnetico all'interno del cilindro, applichiamo la legge di Ampère:
La corrente concatenata, fissato un generico $r$ tale che: $0
$i_c=int_(0)^(r) J(r)*2pir\ dr = int_(0)^(r) 4*r*2pir\ dr = 8/3pir^3$ 3
Possiamo sostituire 3 nella 1 (essendo la 1 ricavata dalla legge di Ampère) ottenendo:
$B(r)_(i\n\terno)=(4*mu_0*r^2)/3$ da cui: $B(r)_(\i\n\terno)^2=(16*mu_0^2*r^4)/9$
Possiamo quindi procedere a calcolare l'energia magnetica:
considerato il volume del cilindro: $tau=pir^2l rArr (d\tau)/dr=2pirl rArr 2pirl\dr$
$U_m=int_(R/2)^(2R) B^2/(2*mu_0) 2pirl \dr = int_(R/2)^(R) B_(\i\n\terno)^2/(2*mu_0) 2pirl \dr + int_(R)^(2R) B_(esterno)^2/(2*mu_0) 2pirl \dr$
L'integrale dovrebbe essere abbastanza semplice, a me ha dato il seguente risultato:
$(16*mu_0*pi*l)/9[1/6(R^6-(R^6/64))+R^6*ln(2)]$ da prendersi con le pinze visto che l'ho svolto un po' di fretta
"Ema6798":
... presto attenzione al fatto che il campo magnetico nella regione ove voglio calcolare l'energia magnetica non ha la stessa espressione: in particolar modo nella zona compresa tra $0$ ed $R$, cioè la zona interna al cilindro conduttore, il campo magnetico ha un'espressione che è direttamente proporzionale al generico raggio r considerato; ...
Quanto scrivi, valeva per il precedente problema, non per questo, nel quale la densità di corrente non è più uniforme.
... e ne hai conferma dal successivo calcolo del campo interno che, a causa della non uniformità della densità volumetrica $j(r)$ [nota]Direttamente proporzionale a $r$.[/nota], risulta proporzionale a $r^2$.Relativamente alla riga per la determinazione di $U_m$, il primo integrale rimane di volume.
Per quanto riguarda l'integrale finale, a occhio, direi che quel $64$ corrispondente a $2^6$ vada a numeratore e mi sembra anche che tu abbia invertito i termini della relativa differenza. ... $R^6$ puoi raccoglierlo.
"RenzoDF":
Quanto scrivi, valeva per il precedente problema, non per questo, nel quale la densità di corrente non è più uniforme.
Uhhm, ok, vero, diciamo che essendo comunque proporzionale al quadrato aumenta all'aumentare di r, dunque il concetto teoricamente rimane invariato, ma giustamente questo dipende dalla densità di corrente che potrebbe essere diversa da problema a problema, dunque il caso generale vale per corrente uniformemente distribuita giusto?
"RenzoDF":
Relativamente alla riga per la determinazione di Um, il primo integrale rimane di volume.
Scusami ma non ho capito cosa intendi, perchè il primo integrale rimane di volume?
"RenzoDF":
Per quanto riguarda l'integrale finale, a occhio, direi che quel 64 corrispondente a $ 2^6 $ vada a numeratore e mi sembra anche che tu abbia invertito i termini della relativa differenza. ... R6 puoi raccoglierlo.
Si esatto il 64 è $2^6$, $R^6$ si può raccogliere.
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