Energia cinetica asta sottile rigida omogenea libera.
Ho calcolato l'energia cinetica di un'asta (sottile rigida omogenea libera di muoversi su un piano in assenza di qualsiasi tipo di forza e vincolo) integrando i contributi $dT$ dei singoli $dm$ dell'asta.
Il risultato che mi viene è questo:
[tex]T=\frac{1}{2}\lambda[l(\dot x_0^2+\dot y_0^2)-l^2(\dot x_0 sin \theta-\dot y_0 cos \theta)\dot \theta+\frac{1}{3}l^3 \dot \theta^2][/tex],
dove $\lambda$ è la densità di massa (omogenea), $x_0$ e $y_0$ sono le coordinate di un estremo dell'asta e $\theta$ è l'angolo formato dall'asta rispetto al semiasse positivo delle ascisse.
Vi sarei molto grato se voleste confermare o non questo risultato. Grazie
Il risultato che mi viene è questo:
[tex]T=\frac{1}{2}\lambda[l(\dot x_0^2+\dot y_0^2)-l^2(\dot x_0 sin \theta-\dot y_0 cos \theta)\dot \theta+\frac{1}{3}l^3 \dot \theta^2][/tex],
dove $\lambda$ è la densità di massa (omogenea), $x_0$ e $y_0$ sono le coordinate di un estremo dell'asta e $\theta$ è l'angolo formato dall'asta rispetto al semiasse positivo delle ascisse.
Vi sarei molto grato se voleste confermare o non questo risultato. Grazie
Risposte
Parrebbe di no.
L'energia cinetica e' $1/2mv_G^2+1/2I_G\dot\theta^2$
I prmimi due addendi sembrano corretti, ma l'ultimo, se non erro, e'
$I_G=[ml^2]/12$
$ E_k=1/2lambda[l(dotx_0^2+doty_0^2)-l^2\dottheta^2(x_0sin\theta-y_0cos\theta)+(l^3dottheta^2)/12) $
L'energia cinetica e' $1/2mv_G^2+1/2I_G\dot\theta^2$
I prmimi due addendi sembrano corretti, ma l'ultimo, se non erro, e'
$I_G=[ml^2]/12$
$ E_k=1/2lambda[l(dotx_0^2+doty_0^2)-l^2\dottheta^2(x_0sin\theta-y_0cos\theta)+(l^3dottheta^2)/12) $
Grazie!!!
La prima formula che hai scritto è riferita al centro di massa dell'asta ed è giusta. Se, però, mi riferisco ad un estremo dell'asta, le cose cambiano.
La tua ultima formula, mi sembra, confonde un po' i riferimenti.
Allora ho fatto una prova. Ho preso la mia formula del mio primo post e ho fatto la trasformazione da un estremo dell'asta al suo centro di massa e ho ottenuto:
$T=\frac{1}{2} \lambda [l(\dot x_1^2 + \dot y_1^2)+\frac{1}{12}l^3 \dot \theta^2]$,
dove $(x_1,y_1)$ è il baricentro, che mi sembra giusta.
Che ne dici/dite?
La prima formula che hai scritto è riferita al centro di massa dell'asta ed è giusta. Se, però, mi riferisco ad un estremo dell'asta, le cose cambiano.
La tua ultima formula, mi sembra, confonde un po' i riferimenti.
Allora ho fatto una prova. Ho preso la mia formula del mio primo post e ho fatto la trasformazione da un estremo dell'asta al suo centro di massa e ho ottenuto:
$T=\frac{1}{2} \lambda [l(\dot x_1^2 + \dot y_1^2)+\frac{1}{12}l^3 \dot \theta^2]$,
dove $(x_1,y_1)$ è il baricentro, che mi sembra giusta.
Che ne dici/dite?
Si e' giusta.
Se pero' tieni conto che $x_1=x_0+lcos\theta$ e $y_1=y_0+lsin\theta$, derivando
$dot\x_1=dotx_0-\dotthetalsin\theta$ e
$dot\y_1=doty_0+\dotthetalcos\theta$
Quadra, somma m.a.m e sostituisci nella formula che hai scritto tu nell'ultimo post e ti viene la mia.
Se pero' tieni conto che $x_1=x_0+lcos\theta$ e $y_1=y_0+lsin\theta$, derivando
$dot\x_1=dotx_0-\dotthetalsin\theta$ e
$dot\y_1=doty_0+\dotthetalcos\theta$
Quadra, somma m.a.m e sostituisci nella formula che hai scritto tu nell'ultimo post e ti viene la mia.
Scusa, non capisco, cosa sono per te $(x_0,y_0)$ e $(x_1,y_1)$? Per me, da come li ho definiti sopra, sono rispettivamente un estremo dell'asta ed il suo baricentro.
ps. $l$ è la lunghezza dell'intera asta.
ps. $l$ è la lunghezza dell'intera asta.
Mi sembra anche che, nel secondo termine della tua formula, ci debba essere la velocità angolare, non il suo quadrato.
Si, il quadrato e' una svista per non ribattere theta ho fatto copiaincolla.
i pedici sono come li hai definiti tu, 0 per l'estremo, 1 per il baricentro
i pedici sono come li hai definiti tu, 0 per l'estremo, 1 per il baricentro
Allora, nella trasformazione fra punto estremo e baricentro, non ci dovrebbe essere $l/2$?
Si, scusa, con l'editor mi capita spesso di dimenticare qualcosa.
E' l/2 altrimenti non ritornerebbero i conti.
La formula finale e' corretta, perche su carta avevo l/2
E' l/2 altrimenti non ritornerebbero i conti.
La formula finale e' corretta, perche su carta avevo l/2
Aspetta, va, inutile intorcinarsi. Ti scrivo le equazioni da carta.
$ E_1=1/2mdotx_1^2+1/2I_gdottheta^2 $ (1)
$ x_1=x_0+l/2costheta $ (a)
$ y_1=y_0+l/2sintheta $ (b)
Derivando (a) e (b)
$ dotx_1=dotx_0-l/2dotthetasintheta $
$ doty_1=doty_0+l/2dotthetacostheta $
Elevano al quadrato
$ dotx_1^2=dotx_0^2+l^2/4dottheta^2sin^2theta-x_0ldotthetasintheta $
$ doty_1^2=doty_0^2+l^2/4dottheta^2cos^2theta+y_0ldotthetacostheta $
Sommando mam
$ dotx_1^2+doty_1^2=dotx_0^2+doty_0^2+l^2/4dottheta^2-(x_0sintheta-y_0costheta)ldottheta$
Cioe'
$E_k=1/2lambda[l(dotx_0^2+doty_0^2)+l^3/4dottheta^2-(x_0sintheta-y_0costheta)l^2dottheta+l^3/12dottheta^2]=1/2lambda[l(dotx_0^2+doty_0^2)+l^3/3dottheta^2-(x_0sintheta-y_0costheta)l^2dottheta]$
E quindi e' quella tua originale, perche mi era sfuggito il quadrato a denominatore. Con mille scuse
$ x_1=x_0+l/2costheta $ (a)
$ y_1=y_0+l/2sintheta $ (b)
Derivando (a) e (b)
$ dotx_1=dotx_0-l/2dotthetasintheta $
$ doty_1=doty_0+l/2dotthetacostheta $
Elevano al quadrato
$ dotx_1^2=dotx_0^2+l^2/4dottheta^2sin^2theta-x_0ldotthetasintheta $
$ doty_1^2=doty_0^2+l^2/4dottheta^2cos^2theta+y_0ldotthetacostheta $
Sommando mam
$ dotx_1^2+doty_1^2=dotx_0^2+doty_0^2+l^2/4dottheta^2-(x_0sintheta-y_0costheta)ldottheta$
Cioe'
$E_k=1/2lambda[l(dotx_0^2+doty_0^2)+l^3/4dottheta^2-(x_0sintheta-y_0costheta)l^2dottheta+l^3/12dottheta^2]=1/2lambda[l(dotx_0^2+doty_0^2)+l^3/3dottheta^2-(x_0sintheta-y_0costheta)l^2dottheta]$
E quindi e' quella tua originale, perche mi era sfuggito il quadrato a denominatore. Con mille scuse
Grazie!!! Ora è tutto chiaro.
Quindi, in casi analoghi, si calcola l'energia cinetica rispetto al centro di massa (come somma di un termine di traslazione ed uno di rotazione) poi, se è il caso, si trasforma il risultato cambiando riferimento. Giusto?
Quindi, in casi analoghi, si calcola l'energia cinetica rispetto al centro di massa (come somma di un termine di traslazione ed uno di rotazione) poi, se è il caso, si trasforma il risultato cambiando riferimento. Giusto?
Normalmente io mi trovo meglio cosi (a parte l'errore fatto)!
Ma non sempre e' necessario. Per esempio, in un disco che rotola, siccome so che il punto di contatto ha velocita' nulla, preferisco calcolare il termine dovuto alla rotazione direttamente rispetto a quel polo, usando per il momento di inerzia il teorema di Huygens.
Ma non sempre e' necessario. Per esempio, in un disco che rotola, siccome so che il punto di contatto ha velocita' nulla, preferisco calcolare il termine dovuto alla rotazione direttamente rispetto a quel polo, usando per il momento di inerzia il teorema di Huygens.
Ok. Grazie ancora 
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