Emissione di un fotone da parte di un elettone
\[
e^{-}=e^{-}+\gamma
\]
Non ho capito bene la cinematica di questo processo. Se considero la produzione del fotone nel centro di massa ed uguaglio i quadrivettori iniziali e finali ho (\(E\) è l'energia del fotone)
\[
\begin{split}
\mbox{elettrone}\ q&=(mc,0) \\
\mbox{elettrone + fotone}\ q'&=(m\gamma c,p)+(E/c,-p) \\
&=(m\gamma c+E/c,0) \\
\\
q&=q' \Rightarrow \\
mc&=m\gamma c+E/c \Leftrightarrow \\
E&=0\ \mbox{e}\ \gamma=1\\
\end{split}
\]
Infatti se \(\gamma=0\) l'elettrone finale ha momento nullo, ed essendo \(p_{e}=-p_{\gamma}\) anche il fotone ha momento nullo. Visto che la sua energia data da \(E^{2}_{\gamma}=p^{2}_{\gamma}\) segue che non c'è nessun fotone. Così mi viene fuori che nel sistema del centro di massa un elettrone non può emettere un fotone (??). Considerando un elettrone che si muove ad una certa velocità nel sistema del laboratorio ho, con \(c=1\) per semplificare e considerando il quadrivettore finale nel centro di massa
\[
\begin{split}
\mbox{elettrone}\ q&=(E,p) \\
\mbox{elettrone + fotone}\ q'&=(E',p')+(\overline{E},-p') \\
&=(E'+\overline{E},0) \\
\\
q^{2}&=q'^{2} \Rightarrow \\
\mbox{*}\ E^{2}-p^2&=(E'+\overline{E})^{2} \\
(p^{2}&=E^{2}-m^{2}) \\
(\overline{E}^{2}=p'^{2}&=E'^{2}-m^{2}) \\
m^{2}&=E'^{2}+2E'\overline{E}+\overline{E}^{2} \\
\end{split}
\]
(*sfruttando l'invarianza del quadrato dei quadrivettori) e sostituendo non viene niente fuori di bello, boh. Mi aspettavo di trovare la cosa non permessa per qualsiasi riferimento. Comunque, il primo risultato se corretto mi lascia un poco perplesso. Gli elettroni non dovrebbero emettere fotoni ogni tanto?
e^{-}=e^{-}+\gamma
\]
Non ho capito bene la cinematica di questo processo. Se considero la produzione del fotone nel centro di massa ed uguaglio i quadrivettori iniziali e finali ho (\(E\) è l'energia del fotone)
\[
\begin{split}
\mbox{elettrone}\ q&=(mc,0) \\
\mbox{elettrone + fotone}\ q'&=(m\gamma c,p)+(E/c,-p) \\
&=(m\gamma c+E/c,0) \\
\\
q&=q' \Rightarrow \\
mc&=m\gamma c+E/c \Leftrightarrow \\
E&=0\ \mbox{e}\ \gamma=1\\
\end{split}
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Infatti se \(\gamma=0\) l'elettrone finale ha momento nullo, ed essendo \(p_{e}=-p_{\gamma}\) anche il fotone ha momento nullo. Visto che la sua energia data da \(E^{2}_{\gamma}=p^{2}_{\gamma}\) segue che non c'è nessun fotone. Così mi viene fuori che nel sistema del centro di massa un elettrone non può emettere un fotone (??). Considerando un elettrone che si muove ad una certa velocità nel sistema del laboratorio ho, con \(c=1\) per semplificare e considerando il quadrivettore finale nel centro di massa
\[
\begin{split}
\mbox{elettrone}\ q&=(E,p) \\
\mbox{elettrone + fotone}\ q'&=(E',p')+(\overline{E},-p') \\
&=(E'+\overline{E},0) \\
\\
q^{2}&=q'^{2} \Rightarrow \\
\mbox{*}\ E^{2}-p^2&=(E'+\overline{E})^{2} \\
(p^{2}&=E^{2}-m^{2}) \\
(\overline{E}^{2}=p'^{2}&=E'^{2}-m^{2}) \\
m^{2}&=E'^{2}+2E'\overline{E}+\overline{E}^{2} \\
\end{split}
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(*sfruttando l'invarianza del quadrato dei quadrivettori) e sostituendo non viene niente fuori di bello, boh. Mi aspettavo di trovare la cosa non permessa per qualsiasi riferimento. Comunque, il primo risultato se corretto mi lascia un poco perplesso. Gli elettroni non dovrebbero emettere fotoni ogni tanto?
Risposte
Attenzione: questo processo e` possibile solamente se l`elettrone interagisce con un campo esterno.
Ragionando in termini "classici", e` necessario un secondo corpo massivo, come il nucleo di un atomo, per avere una corretta conservazione dell`impulso.
Considera, ad esempio, il fenomeno della "bremsstrahlung", ovvero la radiazione emessa da un elettrone che subisce un accelerazione parallela alla propra velocita`.
Supponiamo che questa decelerazione sia dovuta all`interazione con un nucleo a riposo nel laboratorio (cosa che avviene nella produzione di raggi x, ad esempio, o per la rivelazione di particelle cariche negli esperimenti di fisica delle particelle).
L`emissione del fotone avviene durante l`interazione con il nucleo, il quale durante il processo rincula.
Nel sistema del centro di massa (c=1), si ha:
elettrone+nucleo $q=(m+M,0)$
elettrone+fotone+nucleo $q'=(E_e,vec(p))+(E_n,vec(P))+(E_(ph),vec(p_(ph)))=(E_e+E_n+E_(ph),vec(p)+vec(P)+vec(p_(ph)))$
A questo punto, si vede che non e' piu` richiesta la condizione $E_(ph)=0$ per soddisfare $q=q'$:
$m+M = sqrt(p^2+m^2)+sqrt(P^2+M^2)+p_(ph)$
$vec(p)+vec(P)+vec(p_(ph)) = 0$.
Se fosse $M=E_n=P=0$, si avrebbe:
$m = sqrt(p^2+m^2)+p_(ph)$
$vec(p) = -vec(p_(ph))$,
da cui:
$m = sqrt(p_(ph)^2 + m^2) + p_(ph) -> p_(ph)=0$
Ragionando in termini "classici", e` necessario un secondo corpo massivo, come il nucleo di un atomo, per avere una corretta conservazione dell`impulso.
Considera, ad esempio, il fenomeno della "bremsstrahlung", ovvero la radiazione emessa da un elettrone che subisce un accelerazione parallela alla propra velocita`.
Supponiamo che questa decelerazione sia dovuta all`interazione con un nucleo a riposo nel laboratorio (cosa che avviene nella produzione di raggi x, ad esempio, o per la rivelazione di particelle cariche negli esperimenti di fisica delle particelle).
L`emissione del fotone avviene durante l`interazione con il nucleo, il quale durante il processo rincula.
Nel sistema del centro di massa (c=1), si ha:
elettrone+nucleo $q=(m+M,0)$
elettrone+fotone+nucleo $q'=(E_e,vec(p))+(E_n,vec(P))+(E_(ph),vec(p_(ph)))=(E_e+E_n+E_(ph),vec(p)+vec(P)+vec(p_(ph)))$
A questo punto, si vede che non e' piu` richiesta la condizione $E_(ph)=0$ per soddisfare $q=q'$:
$m+M = sqrt(p^2+m^2)+sqrt(P^2+M^2)+p_(ph)$
$vec(p)+vec(P)+vec(p_(ph)) = 0$.
Se fosse $M=E_n=P=0$, si avrebbe:
$m = sqrt(p^2+m^2)+p_(ph)$
$vec(p) = -vec(p_(ph))$,
da cui:
$m = sqrt(p_(ph)^2 + m^2) + p_(ph) -> p_(ph)=0$
Ok, suppongo che bisogna cercare di esplicitare la formula per la conservazione dell'energia per verificare che si tratti di una identità perché così ad occhio non ci arrivo subito 
Ancora, ho letto in degli appunti che nel Møller scattering un elettrone emette un fotone in violazione di quanto detto sopra, per questo motivo il fotone dell'interazione è detto virtuale. Questo è in qualche modo legato al principio di indeterminazione, ma non so come.
Ancora, ho letto in degli appunti che nel Møller scattering un elettrone emette un fotone in violazione di quanto detto sopra, per questo motivo il fotone dell'interazione è detto virtuale. Questo è in qualche modo legato al principio di indeterminazione, ma non so come.
Il principio di indeterminazione in questione e` quello tempo-energia: $Delta E Delta t >= bar(h)$ (sarebbe un acca tagliato...).
Per processi che si svolgono in una scala temporale molto piccola, quindi, le fluttuazioni di energia possono essere molto grandi: cio` consente la produzione di particelle virtuali classicamente vietate.
Il mio esempio era, in un certo senso, "classico": ho considerato una trattazione relativisticamente corretta senza pero` tenere in considerazione la meccanica quantistica (ho considerato elettrone e fotone come palle da biliardo microscopiche e molto veloci).
Per una trattazione completa e` necessaria la teoria quantistica dei campi: per ogni processo e` possibile calcolare l`ampiezza di probabilita` seguendo le cosiddette "regole di Feynman".
In tal caso bisogna considerare contributi all'ampiezza di ordine via via superiore: "tree level" (diagramma "ad albero": solo fermioni ed elettroni che interagiscono nei cosiddetti "vertici"), "loop" (emissione e riassorbimento di un fotone virtuale da parte dell'elettrone, ad esempio), "polarizzazione del vuoto" (creazione di coppia e+e- da parte di un fotone virtuale) eccetera...
Tutto questo per dire che una completa comprensione di questi fenomeni si ha nell`ambito della QED: a livello di relativita` ristretta e meccanica quantistica non relativistica si possono solo dare argomentazioni euristiche, o addirittura non e` possibile affermare nulla.
Per processi che si svolgono in una scala temporale molto piccola, quindi, le fluttuazioni di energia possono essere molto grandi: cio` consente la produzione di particelle virtuali classicamente vietate.
Il mio esempio era, in un certo senso, "classico": ho considerato una trattazione relativisticamente corretta senza pero` tenere in considerazione la meccanica quantistica (ho considerato elettrone e fotone come palle da biliardo microscopiche e molto veloci).
Per una trattazione completa e` necessaria la teoria quantistica dei campi: per ogni processo e` possibile calcolare l`ampiezza di probabilita` seguendo le cosiddette "regole di Feynman".
In tal caso bisogna considerare contributi all'ampiezza di ordine via via superiore: "tree level" (diagramma "ad albero": solo fermioni ed elettroni che interagiscono nei cosiddetti "vertici"), "loop" (emissione e riassorbimento di un fotone virtuale da parte dell'elettrone, ad esempio), "polarizzazione del vuoto" (creazione di coppia e+e- da parte di un fotone virtuale) eccetera...
Tutto questo per dire che una completa comprensione di questi fenomeni si ha nell`ambito della QED: a livello di relativita` ristretta e meccanica quantistica non relativistica si possono solo dare argomentazioni euristiche, o addirittura non e` possibile affermare nulla.
Ok grazie.
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