[ELM] Sfera carica e potenziale al centro.

[BRN1]

Ciao gente! ho un dubbio su una parte di questo esercizio:



il mio svolgimento è questo:

1) nella regione $r
$dq=rhodV=rho_0(1+alphar)4pir^2dr$ avendo posto $dV=4pir^2dr$

integrando tra $0$ e $r$ ottengo $q=4pirho_0[r^3/3+alphar^4/4]$

a segure:

$ oint_(s) E ds=q/epsilon_0 rArr E(r)=(rho_0r)/epsilon_0(1/3+(alphar)/4) $

allo stesso modo per una regione $r>R$, integrando tra $0$ e $R$:

$q=4pirho_0R^3(1+(alphaR)/2$

$E(r)=(rho_0R^3)/(epsilon_0r^2)(1+(alphaR)/2)$

e sulla superficie: $E(R)=(rho_0R)/epsilon_0(1+(alphaR)/2)=352.8J$

2) per il potenziale al centro, parto dalla sua definizione:

$V(r)=1/(4piepsilon_0)q/r$

pongo $rho=rho_0(1+alphaR)$

e integrando su tutta la sfera ottengo:

$V(0)=(rho_0R)/epsilon_0(1+alphaR)=4348 V$

qui mi viene un dubbio: non è che devo considerare il fatto che al centro sia $rho=rho_0$


3) La densità di energia è definita come: $u=(epsilon_0E^2)/2$

$ U=int_(0)^(R) epsilon_0/2E^2(rR) dr=int_(0)^(R) epsilon_0/2E^2(r
$ rArr U=(rho_0^2R^3)/(2epsilon_0)(1/27+(alphaR^2)/80-(alphaR)/20)=1.67*10^(-8)J $

Pareri? Grazie!

[BRN1]

Direi che al limite l'energia del sistema si possa scrivere anche così;

$ U=1/2int_(tau) V(r)rho d tau $

[RenzoDF]

"BRN":Direi che al limite l'energia del sistema si possa scrivere anche così;

$ U=1/2int_(tau) V(r)rho d tau $

Proprio così, e questa volta non andremo ad integrare su tutto lo spazio, ma solo nel volume $\tau$ della sfera di raggio R; ovvero l'energia la possiamo vedere immagazzinata sia nella distribuzione di carica, sia nel campo, due punti di vista equivalenti anche se il secondo è spesso più conveniente e a volte indispensabile.

Giusto per vedere se "i conti tornano"