[ELM] Sfera carica e potenziale al centro.

[BRN1]

Ciao gente! ho un dubbio su una parte di questo esercizio:



il mio svolgimento è questo:

1) nella regione $r
$dq=rhodV=rho_0(1+alphar)4pir^2dr$ avendo posto $dV=4pir^2dr$

integrando tra $0$ e $r$ ottengo $q=4pirho_0[r^3/3+alphar^4/4]$

a segure:

$ oint_(s) E ds=q/epsilon_0 rArr E(r)=(rho_0r)/epsilon_0(1/3+(alphar)/4) $

allo stesso modo per una regione $r>R$, integrando tra $0$ e $R$:

$q=4pirho_0R^3(1+(alphaR)/2$

$E(r)=(rho_0R^3)/(epsilon_0r^2)(1+(alphaR)/2)$

e sulla superficie: $E(R)=(rho_0R)/epsilon_0(1+(alphaR)/2)=352.8J$

2) per il potenziale al centro, parto dalla sua definizione:

$V(r)=1/(4piepsilon_0)q/r$

pongo $rho=rho_0(1+alphaR)$

e integrando su tutta la sfera ottengo:

$V(0)=(rho_0R)/epsilon_0(1+alphaR)=4348 V$

qui mi viene un dubbio: non è che devo considerare il fatto che al centro sia $rho=rho_0$


3) La densità di energia è definita come: $u=(epsilon_0E^2)/2$

$ U=int_(0)^(R) epsilon_0/2E^2(rR) dr=int_(0)^(R) epsilon_0/2E^2(r
$ rArr U=(rho_0^2R^3)/(2epsilon_0)(1/27+(alphaR^2)/80-(alphaR)/20)=1.67*10^(-8)J $

Pareri? Grazie!

[RenzoDF]

"BRN":... integrando tra $0$ e $r$ ottengo $q=4pirho_0[r^3/3+alphar^4/4]$

$ oint_(s) E ds=q/epsilon_0 rArr E(r)=(rho_0r)/epsilon_0(1/3+(alphar)/4) $

Fin qui ok

"BRN":... allo stesso modo per una regione $r>R$, integrando tra $0$ e $R$:

$q=4pirho_0R^3(1+(alphaR)/2$

$E(r)=(rho_0R^3)/epsilon_0r^2(1+(alphaR)/2)$

e sulla superficie: $E(R)=(rho_0R)/epsilon_0(1+(alphaR)/2)=352.8J$

Qui non capisco; il campo per r=R lo puoi calcolare dalla relazione E(r) iniziale, imponendo r = R ... e poi per r > R andrai ad usare la carica Q=q(R) complessiva della sfera (usando la q(r) iniziale) .

"BRN":... 2) per il potenziale al centro, parto dalla sua definizione:

$V(r)=1/(4piepsilon_0)q/r$

Quella relazione vale solo per il campo V(R) sulla superficie della sfera, usando la carica Q totale e il raggio R, l'andamento del potenziale V(r) per r < R, dovrai andartelo a calcolare da quel valore iniziale V(R), procedendo verso il centro della sfera, via integrazione, ricordando che $dV=-Edr$.

"BRN":
$ U=int_(0)^(R) E(rR) dr=int_(0)^(R) E(r
Questa non la capisco proprio.

[BRN1]

"RenzoDF":
Qui non capisco; il campo per r=R lo puoi calcolare dalla relazione E(r) iniziale, imponendo r = R ... e poi per r > R andrai ad usare la carica Q=q(R) complessiva della sfera (usando la q(r) iniziale) .

Come dici tu è anche più sbrigativo, però non capisco perchè sia sbagliato come ho fatto io. Cosa in questo ragionamento non funziona?

"RenzoDF":
Quella relazione vale solo per il campo V(R) sulla superficie della sfera, usando la carica Q totale e il raggio R, l'andamento del potenziale V(r) per r < R, dovrai andartelo a calcolare da quel valore iniziale V(R), procedendo verso il centro della sfera, via integrazione, ricordando che $dV=-Edr$.

particamente una cosa del genere:

$ dV=V(R)-V(0)=-int_(0)^(R) E(r
$ V(0)=(rho_0R^2)/(6epsilon_0)(3+2alphaR) $

Giusto?

"RenzoDF":
[quote="BRN"]
$ U=int_(0)^(R) E(rR) dr=int_(0)^(R) E(r
Questa non la capisco proprio.[/quote]

Sono semplicemente partito dalla definizione di densità di energia e l'ho integrata...

P.S. nel primo post ho corretto un $r^2$ che non era rimasto a denominatore in $E(r>R)$.

[BRN1]

Ho corretto la soluzione del punto 3) (conti un po' lunghi, spero di non aver fatto errori):

$ U=int_(0)^(R) epsilon_0/2E^2(rR) dr $

$ rArr U=(rho^2R^3)/(2epsilon_0)[alphaR(-(alphaR)/120+1/72)]=5.44 J $

Sosltanzialmente il secondo integrale non si annulla.

[RenzoDF]

"BRN":... non capisco perchè sia sbagliato come ho fatto io. Cosa in questo ragionamento non funziona?

Direi la non uguaglianza fra i risultati ottenuti.

"BRN":... particamente una cosa del genere:

$ dV=V(R)-V(0)=-int_(0)^(R) E(r
... $ V(0)=(rho_0R^2)/(6epsilon_0)(1+alphaR) $

Occhio che questo è il dV, non la V(0).

[RenzoDF]

"BRN":Ho corretto la soluzione del punto 3) (conti un po' lunghi, spero di non aver fatto errori):

Scusa ma continuo a non capire, integri un campo elettrico per trovare l'energia?

[BRN1]

"RenzoDF":[quote="BRN"]... non capisco perchè sia sbagliato come ho fatto io. Cosa in questo ragionamento non funziona?

Direi la non uguaglianza fra i risultati ottenuti.
[/quote]
su questo non ci piove, però concettualmente non capisco perchè sia sbagliato calcolare la carica totale integrando la densità direttamente tra 0 e R...

"RenzoDF":
[quote="BRN"]... particamente una cosa del genere:

$ dV=V(R)-V(0)=-int_(0)^(R) E(r
... $ V(0)=(rho_0R^2)/(6epsilon_0)(1+alphaR) $

Occhio che questo è il dV, non la V(0).[/quote]

Forse mi stai dicendo che $dV=V(R)-V(r)=-int_(0)^(R) E(r io ho posto subito $V(r)=V(0)$ per semplificarmi i conti.

"RenzoDF":[quote="BRN"]Ho corretto la soluzione del punto 3) (conti un po' lunghi, spero di non aver fatto errori):

Scusa ma continuo a non capire, integri un campo elettrico per trovare l'energia?[/quote]

Azz! hai ragione, mi sono dimenticato di scrivere nelle formule gli $epsilon_0/2$ e di elevare al quadrato i campi elettrici.
Ora ho corretto!

[RenzoDF]

"BRN":... non capisco perchè sia sbagliato calcolare la carica totale integrando la densità direttamente tra 0 e R...

Mi faresti vedere questo integrale che non capisco.

"BRN":...Forse mi stai dicendo che $dV=V(R)-V(r)=-int_(0)^(R) E(r io ho posto subito $V(r)=V(0)$ per semplificarmi i conti.

No no ti sto dicendo che quella V(0) che hai postato è solo la parte integrale e manchi la somma del termine V(R) per ricavare il potenziale V(0) del centro della sfera.

"BRN":... Azz! hai ragione, mi sono dimenticato di scrivere nelle formule gli $epsilon_0/2$ e di elevare al quadrato i campi elettrici.
Ora ho corretto!

Non completamente.

[BRN1]

L'integrale è questo:

$ Q=int_(0)^(R) rho_0(1+alphar)4piR^2dr $

ma solo ora che lo riscrivo noto che anche nel caso $r>R$ si ha $dV=4pir^2$ e non $dV=4piR^2$...

Per $V(0)$ ok, davo per scontato che che il passaggio intermedio fosse:

$ V(0)=V(R)+int_(0)^(R) E dr $

"RenzoDF":[quote="BRN"]... Azz! hai ragione, mi sono dimenticato di scrivere nelle formule gli $ epsilon_0/2 $ e di elevare al quadrato i campi elettrici.
Ora ho corretto!

Non completamente. [/quote]

Ops! cosa manca ancora?

[RenzoDF]

l'integrale è volumetrico.

[BRN1]

però integro solo su dr...
al limite lo indico come circuitazione.

[RenzoDF]

"BRN":però integro solo su dr...

Un volume infinitesimo non può trasformarsi per magia in un incremento infinitesimo unidimensionale; per poter integrare su dr, come si andrà a fare essendo in presenza di una simmetria sferica, devi scrivere il volume indinitesimo come prodotto fra generica superficie sferica e dr.

"BRN":... al limite lo indico come circuitazione.

Circuitazione?

[BRN1]

Ah! Ok, quindi esce così:

$ U=int_(0)^(R) epsilon_0/2E^2(rR)4pir^2 dr $

"RenzoDF":
[quote="BRN"]... al limite lo indico come circuitazione.

Circuitazione? [/quote]

Sì lo sò, ho scritto una bestialità. Ma non capivo cosa volessi dirmie l'ho buttata a casaccio...

Come sempre grazie mille per l'aiuto e soprattutto per la pazienza!

[RenzoDF]

Di nulla, ... e quando hai calcolato questa energia posta il risultato.

[BRN1]

Conti un po' lunghi... spero di non aver fatto errori. Mi esce:

$U=(2rho_0^2pi)/epsilon_0[R^5((alpha^2R^2)/14-(7alphaR)/36+2/15)]=8.143*10^(-10)J$

Comunque, a parte i conti, la cosa importante è l'aver risolto le problematiche nelle procedure.

[RenzoDF]

A parte quel meno concordo, da dove arriva?

[BRN1]

Faccio prima a farti vedere tutti i conti:

[RenzoDF]

... mi sembra arrivi da un errore di segno: seconda riga ---> estrema destra ----> doppio prodotto

Io ovviamente mi faccio aiutare



E giusto per concludere il discorso, ti lascio con un ultimo quesito:

Con quale altro metodo, potevamo andare a calcolarci quest'energia?

[BRN1]

Sì, giusto. Quadrato di un binomio positivo!

"RenzoDF":

Io ovviamente mi faccio aiutare

Eh... dovrei farmi aiutare pure io dal tuo "amico". Peccato che non mi possa far compagnia all'esame...

"RenzoDF":
E giusto per concludere il discorso, ti lascio con un ultimo quesito:

Con quale altro metodo, potevamo andare a calcolarci quest'energia?

Direi che si poteva anche calcolarlo a partire dal potenziale:

$ U=1/2int_(0)^(oo) V(r)4pir^2 dr $

[RenzoDF]

"BRN":Eh... dovrei farmi aiutare pure io dal tuo "amico". Peccato che non mi possa far compagnia all'esame...

Io, per fortuna posso, di esami oramai devo fare solo quelli del sangue!

"BRN":... Direi che si poteva anche calcolarlo a partire dal potenziale:

$ U=1/2int_(0)^(oo) V(r)4pir^2 dr $

Fuochino!

[BRN1]

"RenzoDF":
Io, per fortuna posso, di esami oramai devo fare solo quelli del sangue!

Beato te, a me ne mancano ancora 3 e 1/2...

"RenzoDF":
[quote="BRN"]... Direi che si poteva anche calcolarlo a partire dal potenziale:

$ U=1/2int_(0)^(oo) V(r)4pir^2 dr $

Fuochino! [/quote]

Stavo scrivendo una stupidaggine, ma ci devo pensare ancora un po'