Elettrotecnica, carico alimentato tramite un cavo bipolare
Buonasera,
vorrei per favore assistenza per il punto 2.3) del seguente esercizio:
Segue il mio svolgimento, per completezza anche dei punti precedenti:
punto 2.1)
$E_(MAX)=(Q'_(MAX))/(pi*d/2*epsilon)=(C'*V_(MAX))/(pi*d/2*epsilon)$
con $C'=(pi*epsilon)/(ln((d-a)/a))$ capacità per unità di lunghezza
Quindi $E=V_(MAX)/(d/2*ln((d-a)/a))=1,44 (kV)/m$, dunque sono compatibili ambedue gli isolanti
punto 2.2)
$W_e=1/2*C*V^2=1/2*C'*l*V^2=(pi*epsilon_0*epsilon_r*l*V^2)/(2*ln((d-a)/a))$
$W_e$ è minima per $epsilon_r=2,3$ (PE) e $V=0,2 kV$
punto 3.2)
$DeltaV=I*(R_l*cos(phi)+X_L*sin(phi))<=10 V$
con $R_l=2*R_C=2*(eta_(Cu)*l)/S=2*(eta_(Cu)*l)/(pi*a^2)$ resistenza della linea,
$phi=tan^(-1)(10/10)=pi/4$ fase del carico
e $X_L=2*pi*f*L=2*f*mu_0*ln((d-a)/a)*l$ contributo induttivo
Non avendo $I$, forse dato dimenticato, non capisco come risolvere il problema. Qualcuno mi aiuta per favore?
Molte grazie,
Luca
vorrei per favore assistenza per il punto 2.3) del seguente esercizio:
Segue il mio svolgimento, per completezza anche dei punti precedenti:
punto 2.1)
$E_(MAX)=(Q'_(MAX))/(pi*d/2*epsilon)=(C'*V_(MAX))/(pi*d/2*epsilon)$
con $C'=(pi*epsilon)/(ln((d-a)/a))$ capacità per unità di lunghezza
Quindi $E=V_(MAX)/(d/2*ln((d-a)/a))=1,44 (kV)/m$, dunque sono compatibili ambedue gli isolanti
punto 2.2)
$W_e=1/2*C*V^2=1/2*C'*l*V^2=(pi*epsilon_0*epsilon_r*l*V^2)/(2*ln((d-a)/a))$
$W_e$ è minima per $epsilon_r=2,3$ (PE) e $V=0,2 kV$
punto 3.2)
$DeltaV=I*(R_l*cos(phi)+X_L*sin(phi))<=10 V$
con $R_l=2*R_C=2*(eta_(Cu)*l)/S=2*(eta_(Cu)*l)/(pi*a^2)$ resistenza della linea,
$phi=tan^(-1)(10/10)=pi/4$ fase del carico
e $X_L=2*pi*f*L=2*f*mu_0*ln((d-a)/a)*l$ contributo induttivo
Non avendo $I$, forse dato dimenticato, non capisco come risolvere il problema. Qualcuno mi aiuta per favore?
Molte grazie,
Luca
Risposte
Ammettendo che la caduta sia il 5%, puoi calcolare tensione V=200*0.95 ai capi del carico. Inoltre hai il carico Zu, per cui puoi determinare I in modulo e fase.
A questo punto puoi fare i conti di caduta tecnica industrale e confermare l'assunzione iniziale.
A questo punto puoi fare i conti di caduta tecnica industrale e confermare l'assunzione iniziale.
Grazie,
$I=V/(dotZ_u)=(200 V)/((10+10j) Omega)=10*sqrt2*e^(-pi/4j)A$. Inserendo il modulo $10*sqrt2$ in
$DeltaV=I*(R_l*cos(phi)+X_L*sin(phi))<=10 V$
con $R_l=2*R_C=2*(eta_(Cu)*l)/S=2*(eta_(Cu)*l)/(pi*a^2)$ resistenza della linea,
$phi=tan^(-1)(10/10)=pi/4$ fase del carico
e $X_L=2*pi*f*L=2*f*mu_0*ln((d-a)/a)*l$ contributo induttivo
ho $DeltaV=10,91 V>10 V$ come da soluzione (condizione non rispettata), ma noto quanto segue:
- la fase esce $-pi/4$ anziché i $+pi/4$ di prima, non capisco se devo usare il coniugato di $dotZ_u$ o perché;
- la tensione da considerare ai capi del carico resta $200 V$, al di là dell'ipotetico $5%$ di caduta.
Che cosa ne pensi?
Grazie ancora,
Luca
$I=V/(dotZ_u)=(200 V)/((10+10j) Omega)=10*sqrt2*e^(-pi/4j)A$. Inserendo il modulo $10*sqrt2$ in
$DeltaV=I*(R_l*cos(phi)+X_L*sin(phi))<=10 V$
con $R_l=2*R_C=2*(eta_(Cu)*l)/S=2*(eta_(Cu)*l)/(pi*a^2)$ resistenza della linea,
$phi=tan^(-1)(10/10)=pi/4$ fase del carico
e $X_L=2*pi*f*L=2*f*mu_0*ln((d-a)/a)*l$ contributo induttivo
ho $DeltaV=10,91 V>10 V$ come da soluzione (condizione non rispettata), ma noto quanto segue:
- la fase esce $-pi/4$ anziché i $+pi/4$ di prima, non capisco se devo usare il coniugato di $dotZ_u$ o perché;
- la tensione da considerare ai capi del carico resta $200 V$, al di là dell'ipotetico $5%$ di caduta.
Che cosa ne pensi?
Grazie ancora,
Luca
Io, mi limito a notare che quella relazione per il calcolo della capacità, in questo caso, non è applicabile.
... come del resto non capisco quella usata per l'induttanza.
... come del resto non capisco quella usata per l'induttanza.
Lasciami prima rispondere al buon Renzo.
Induttanza
I conduttori si considerano filiformi (d>>a), il contributo interno viene trascurato (in alcune formule più precise si aggiunge esplicitamente), percorsi da correnti I e -I rispettivamente. Per calcolare il flusso concatenato posso usare qualunque superficie, ma ovviamente quella più conveniente è quella congiungente i centri. Quindi l'induttanza, per unità di lunghezza, è:
$L' = 1/I*int_a^(d-a) mu_0*I/(2*pi)*(1/x+1/(d-x))dx= mu_0/pi*ln((d-a)/a)$
Moltiplicando per $omega=2*pi*f$ si ottiene la formula in questione. Da notare che L' è stata calcolata nell'ipotesi di correnti uguali ed opposte e quindi il suo significato fisico è quello di essere un'induttanza di dispersione.
Capacità
Se fossimo in un mezzo omogeneo poiché si può dimostrare la relazione
$L'C' = mu * epsilon$
si avrebbe subito dal calcolo precedente
$C' = (epsilon*pi)/ln((d-a)/a)$
Qui abbiamo una costante dielettrica $epsilon$ del cavo e poi esternamente l'aria, per cui la formula è più complessa, ma, se ipotizziamo che il raggio del cavo bipolare sia molto maggiore delle altre dimensioni geometriche e teniamo conto del fatto che il campo è quello di un dipolo a distanze comparabili con "d" e quindi si riduce molto rapidamente, possiamo in prima approssimazione accettare tale formula. Eventuali influenze della terra sono anch'esse trascurate, sempre perchè trattiamo il caso del cavo bipolare (introdurrebbero dei termini $(epsilon_0*pi)/ln((2H)/a)$ ove H è la distanza del conduttore da terra).
NOTA: comunque questo tipo di esercizi sono tipici di Impianti Elettrici più che di Elettrotecnica, anche se il corso è nominalmente quello di Elettrotecnica.
Induttanza
I conduttori si considerano filiformi (d>>a), il contributo interno viene trascurato (in alcune formule più precise si aggiunge esplicitamente), percorsi da correnti I e -I rispettivamente. Per calcolare il flusso concatenato posso usare qualunque superficie, ma ovviamente quella più conveniente è quella congiungente i centri. Quindi l'induttanza, per unità di lunghezza, è:
$L' = 1/I*int_a^(d-a) mu_0*I/(2*pi)*(1/x+1/(d-x))dx= mu_0/pi*ln((d-a)/a)$
Moltiplicando per $omega=2*pi*f$ si ottiene la formula in questione. Da notare che L' è stata calcolata nell'ipotesi di correnti uguali ed opposte e quindi il suo significato fisico è quello di essere un'induttanza di dispersione.
Capacità
Se fossimo in un mezzo omogeneo poiché si può dimostrare la relazione
$L'C' = mu * epsilon$
si avrebbe subito dal calcolo precedente
$C' = (epsilon*pi)/ln((d-a)/a)$
Qui abbiamo una costante dielettrica $epsilon$ del cavo e poi esternamente l'aria, per cui la formula è più complessa, ma, se ipotizziamo che il raggio del cavo bipolare sia molto maggiore delle altre dimensioni geometriche e teniamo conto del fatto che il campo è quello di un dipolo a distanze comparabili con "d" e quindi si riduce molto rapidamente, possiamo in prima approssimazione accettare tale formula. Eventuali influenze della terra sono anch'esse trascurate, sempre perchè trattiamo il caso del cavo bipolare (introdurrebbero dei termini $(epsilon_0*pi)/ln((2H)/a)$ ove H è la distanza del conduttore da terra).
NOTA: comunque questo tipo di esercizi sono tipici di Impianti Elettrici più che di Elettrotecnica, anche se il corso è nominalmente quello di Elettrotecnica.
Luca
Devo verificare se la conoscenza dell'angolo in anticipo o in ritardo cambia qualcosa nelle formule della caduta tecnica industriale, ma noto che se usi 190 V invece di 200 V la caduta sarà
$Delta V = 190/200*10.9 = 10.35 V approx 10 V$
secondo me comunque una soluzione assolutamente accettabile, visto le approssimazioni del caso.
Devo verificare se la conoscenza dell'angolo in anticipo o in ritardo cambia qualcosa nelle formule della caduta tecnica industriale, ma noto che se usi 190 V invece di 200 V la caduta sarà
$Delta V = 190/200*10.9 = 10.35 V approx 10 V$
secondo me comunque una soluzione assolutamente accettabile, visto le approssimazioni del caso.
Premesso che non mi serviva una "lezione". 
In questo caso, non vedo come sia possibile, visti i dati.
"ingres":
... I conduttori si considerano filiformi (d>>a), ...
In questo caso, non vedo come sia possibile, visti i dati.
Ciao Renzo
Lo so benissimo che non era necessario per te, ma viene bene per puntualizzare da dove derivano certe formule che si applicano solo ad uso e consumo dei "lettori"
Essendo solo a
$C'=(pi*epsilon)/ln(d/(2a)+sqrt((d/(2a))^2-1))$
che non credo venga molto utilizzata nella pratica (visto anche i risultati riportati che sono in accordo con la formula standard).
L'errore in questo caso sarebbe del 39% che è rilevante. Non cambia la risposta ma hai fatto più che bene a rimarcarlo
Lo so benissimo che non era necessario per te, ma viene bene per puntualizzare da dove derivano certe formule che si applicano solo ad uso e consumo dei "lettori"
Essendo solo a
$C'=(pi*epsilon)/ln(d/(2a)+sqrt((d/(2a))^2-1))$
che non credo venga molto utilizzata nella pratica (visto anche i risultati riportati che sono in accordo con la formula standard).
L'errore in questo caso sarebbe del 39% che è rilevante. Non cambia la risposta ma hai fatto più che bene a rimarcarlo
"ingres":
... Essendo solo a
Io credo di averne usata una ancora più precisa, anche se per ora non ho verificato la differenza con quella da te indicata.
Per l'induttanza poi, il contributo "interno" non può essere trascurato, e anche per quella c'è una relazione migliore, analoga al quella capacitiva.
Ora sì che puoi veramente scatenarti nella trattazione.
... il mio era solo uno stimolo per farti "partire".
Ciao Renzo
Va bene provocatore, ne approfitto per andare un pò più a fondo sul tema (non me ne voglia Luca). Sulla capacità c'è chi scrive la formula così:
$C'= (pi*epsilon)/(Ch^(-1) d/(2a))$
ma è la stessa di quella che ho indicato.
Ovviamente anche per l'induttanza esterna si può scrivere una formula più precisa come:
$L'=mu_0*epsilon/(C')=(mu_0/pi)*Ch^(-1) d/(2a)$
Per il contributo interno supponendo corrente distribuita uniformemente (vedi Nota) vale il noto risultato per un cavo singolo:
$L' = mu_0/(8*pi)$ che da luogo al classico valore di 0.05 mH/km
e quindi per un cavo bipolare (doppio cavo)
$L'= mu_0/(4*pi)$
Nel caso in oggetto il contributo non è effettivamente trascurabile perchè aumenta l'induttanza rispetto alla formula standard del 27%.
Nota
In realtà la corrente non è distribuita uniformemente sia perchè il campo magnetico, anche costante, ne influenza la distribuzione e sia perchè parliamo di corrente alternata e quindi c'è un (debole) effetto pelle.
Tuttavia non mi sembra di aver mai visto correzioni sull'induttanza interna di conduttori a sezione piena a frequenza industriale , mentre invece queste correzioni talvolta sono applicate nel calcolo della resistenza di linea.
Chiaramente in altri casi può comparire un "k" correttivo anche sull'induttanza interna ad es. per conduttori cordati (k=1.04-1.028) oppure cavi di spessore piccolo rispetto al diametro o conduttori ad alta frequenza per i quali k->0.
Va bene provocatore
, ne approfitto per andare un pò più a fondo sul tema (non me ne voglia Luca). Sulla capacità c'è chi scrive la formula così:$C'= (pi*epsilon)/(Ch^(-1) d/(2a))$
ma è la stessa di quella che ho indicato.
Ovviamente anche per l'induttanza esterna si può scrivere una formula più precisa come:
$L'=mu_0*epsilon/(C')=(mu_0/pi)*Ch^(-1) d/(2a)$
Per il contributo interno supponendo corrente distribuita uniformemente (vedi Nota) vale il noto risultato per un cavo singolo:
$L' = mu_0/(8*pi)$ che da luogo al classico valore di 0.05 mH/km
e quindi per un cavo bipolare (doppio cavo)
$L'= mu_0/(4*pi)$
Nel caso in oggetto il contributo non è effettivamente trascurabile perchè aumenta l'induttanza rispetto alla formula standard del 27%.
Nota
In realtà la corrente non è distribuita uniformemente sia perchè il campo magnetico, anche costante, ne influenza la distribuzione e sia perchè parliamo di corrente alternata e quindi c'è un (debole) effetto pelle.
Tuttavia non mi sembra di aver mai visto correzioni sull'induttanza interna di conduttori a sezione piena a frequenza industriale , mentre invece queste correzioni talvolta sono applicate nel calcolo della resistenza di linea.
Chiaramente in altri casi può comparire un "k" correttivo anche sull'induttanza interna ad es. per conduttori cordati (k=1.04-1.028) oppure cavi di spessore piccolo rispetto al diametro o conduttori ad alta frequenza per i quali k->0.
Proprio a quelle due intendevo riferirmi!
Luca
ho controllato. In generale viene fornito solo il cosfi e il seno calcolato positivo di conseguenza. Peraltro nella stragrande maggioranza dei casi il carico è resistivo-induttivo (es. motori) come in questo caso per cui non toccherei niente di quello che hai fatto su questa parte (e quindi calcolando la caduta con il seno con segno positivo).
ho controllato. In generale viene fornito solo il cosfi e il seno calcolato positivo di conseguenza. Peraltro nella stragrande maggioranza dei casi il carico è resistivo-induttivo (es. motori) come in questo caso per cui non toccherei niente di quello che hai fatto su questa parte (e quindi calcolando la caduta con il seno con segno positivo).
Grazie ad entrambi,
approfondirò quanto da voi spiegato
approfondirò quanto da voi spiegato
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