Elettrostatica e dielettrici
Salve a tutti, non riesco a uscire proprio da questo problema. Ho provato a svolgerlo pensando a due condensatori in serie. Ma non avendo le soluzioni non sono sicuro di ciò che ho scritto.
Un condensatore ad armature piane e parallele di area S, poste a distanza d, é riempito con un
dielettrico con costante dielettrica relativa εr. Mediante un generatore viene portato ad una differenza
di potenziale V0 tra le armature e poi isolato.
Successivamente, una delle due armature viene allontanata fino alla distanza 2d creando uno spazio
vuoto all’interno del condensatore.
Si determino:
a) la densità di carica libera s sulle armature all’inizio e alla fine del processo;
b) la densità di carica di polarizzazione sp all’inizio e alla fine del processo;
c) il campo elettrostatico nella zona vuota del condensatore alla fine del processo;
d) il lavoro fatto dalle forze del campo elettrostatico durante l’allontanamento dell’armatura
Un condensatore ad armature piane e parallele di area S, poste a distanza d, é riempito con un
dielettrico con costante dielettrica relativa εr. Mediante un generatore viene portato ad una differenza
di potenziale V0 tra le armature e poi isolato.
Successivamente, una delle due armature viene allontanata fino alla distanza 2d creando uno spazio
vuoto all’interno del condensatore.
Si determino:
a) la densità di carica libera s sulle armature all’inizio e alla fine del processo;
b) la densità di carica di polarizzazione sp all’inizio e alla fine del processo;
c) il campo elettrostatico nella zona vuota del condensatore alla fine del processo;
d) il lavoro fatto dalle forze del campo elettrostatico durante l’allontanamento dell’armatura
Risposte
Ciao Albi, benvenuto nel Forum.
Prova a postare quello che hai fatto.
Prova a postare quello che hai fatto.
Ciao,
inizialmente ho provato a calcolare la densità di carica libera nel modo seguente:
Dunque ho scritto $E = \frac{\sigma_l}{\epsilon_0\epsilon_r } = \frac{\DeltaV_0}{d}$ e così ho ricavato $\sigma_l$, poi grazie alla formula $\sigma_P = \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r} \sigma_l$ ho ricavato anche la densità di carica di polarizzazione su una delle due facce come $ \sigma_P = \frac{\epsilon_0(\epsilon_r - 1)\DeltaV_0}{d}$.
Per la seconda parte della domanda a) ho pensato che, essendo il condensatore isolato, la densità di carica $\sigma_l$ non cambiasse e fosse quella di prima ma di questa cosa sono poco sicuro perchè poi non riesco a pensare in che modo posso calcolare la densità di carica di polarizzazione $\sigma_P$; in questo caso penso che anch'essa sia uguale e secondo me è qui che sbaglio.
Il resto del problema, una volta capitò ciò, dovrei riuscire a farlo.
P.S. non ho le soluzioni e questo non mi aiuta molto
inizialmente ho provato a calcolare la densità di carica libera nel modo seguente:
Dunque ho scritto $E = \frac{\sigma_l}{\epsilon_0\epsilon_r } = \frac{\DeltaV_0}{d}$ e così ho ricavato $\sigma_l$, poi grazie alla formula $\sigma_P = \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r} \sigma_l$ ho ricavato anche la densità di carica di polarizzazione su una delle due facce come $ \sigma_P = \frac{\epsilon_0(\epsilon_r - 1)\DeltaV_0}{d}$.
Per la seconda parte della domanda a) ho pensato che, essendo il condensatore isolato, la densità di carica $\sigma_l$ non cambiasse e fosse quella di prima ma di questa cosa sono poco sicuro perchè poi non riesco a pensare in che modo posso calcolare la densità di carica di polarizzazione $\sigma_P$; in questo caso penso che anch'essa sia uguale e secondo me è qui che sbaglio.
Il resto del problema, una volta capitò ciò, dovrei riuscire a farlo.
P.S. non ho le soluzioni e questo non mi aiuta molto
Quasi tutto OK. Intanto è giusta l'intuizione che il sistema si possa vedere come 2 condensatori in serie e che la carica, e quindi la densità di carica superficiale sulle armature, si conservi.
Usando il discorso dei due condensatori in serie si può trovare la nuova ddp in ciascun "condensatore" e quindi il campo sia nello spazio vuoto che nel dielettrico e quindi risolvere.
In alternativa, o come controllo, puoi impostare il problema in termini di campo. Se E0 ed Ep sono in campi nella zona vuota e nel dielettrico puoi:
1) imporre che $epsilon_0*E_0=epsilon_0*epsilon_r*E_p$ (deriva dal T. di Gauss applicato alla superficie di separazione visto che non ci sono cariche libere)
2) Calcolare $E_p$ oppure $E_0$ in funzione della carica libera sulle armature e quindi noti i campi la ddp e tutto il resto.
Prova e sappimi dire.
Usando il discorso dei due condensatori in serie si può trovare la nuova ddp in ciascun "condensatore" e quindi il campo sia nello spazio vuoto che nel dielettrico e quindi risolvere.
In alternativa, o come controllo, puoi impostare il problema in termini di campo. Se E0 ed Ep sono in campi nella zona vuota e nel dielettrico puoi:
1) imporre che $epsilon_0*E_0=epsilon_0*epsilon_r*E_p$ (deriva dal T. di Gauss applicato alla superficie di separazione visto che non ci sono cariche libere)
2) Calcolare $E_p$ oppure $E_0$ in funzione della carica libera sulle armature e quindi noti i campi la ddp e tutto il resto.
Prova e sappimi dire.
Grazie della risposta,
dunque una volta trovate $\sigma_l$ e $\sigma_P$ all'inizio, sono entrambe le stesse anche alla fine del processo?
In seguito, facendo riferimento ai campi in funzione della carica libera sulle armature (quella trovata all'inizio) ho trovato che $E_0 = \epsilon_r \frac{\DeltaV_0}{d}$ e che $E_p=\frac{\DeltaV_0}{d}$.
Poi il resto basta utilizzare la formula $\DeltaU = U_{\text{fin}} - U_{\text{iniz}} = \frac{1}{2}Q\DeltaV$, facendo attenzione che $\DeltaV$ nei due casi è diversa e così ottengo l'opposto delle forze del campo, corretto?
Intuitivamente tali forze dovrebbero essere negative, in quanto $U_{\text{fin}} > U_{\text{iniz}}$?
dunque una volta trovate $\sigma_l$ e $\sigma_P$ all'inizio, sono entrambe le stesse anche alla fine del processo?
In seguito, facendo riferimento ai campi in funzione della carica libera sulle armature (quella trovata all'inizio) ho trovato che $E_0 = \epsilon_r \frac{\DeltaV_0}{d}$ e che $E_p=\frac{\DeltaV_0}{d}$.
Poi il resto basta utilizzare la formula $\DeltaU = U_{\text{fin}} - U_{\text{iniz}} = \frac{1}{2}Q\DeltaV$, facendo attenzione che $\DeltaV$ nei due casi è diversa e così ottengo l'opposto delle forze del campo, corretto?
Intuitivamente tali forze dovrebbero essere negative, in quanto $U_{\text{fin}} > U_{\text{iniz}}$?
Direi tutto corretto.
Solo un suggerimento: quando si conserva la carica Q (condensatore isolato) conviene che usi sempre quella, piuttosto che la differenza di tensione che cambia nei due casi e che costringe a stare attenti a cosa si usa.
Per esempio l'energia si può scrivere $U=1/2Q^2/C$ dove la C dopo l'allontanamento delle armature sarà la serie dei due condensatori, che è più piccola di quella iniziale e che conferma subito che $U_text(fin) > U_text(iniz)$.
Al contrario quando si conserva la tensione V (condensatore connesso ad una batteria) converrà andare avanti scrivendo tutto in funzione di V.
Solo un suggerimento: quando si conserva la carica Q (condensatore isolato) conviene che usi sempre quella, piuttosto che la differenza di tensione che cambia nei due casi e che costringe a stare attenti a cosa si usa.
Per esempio l'energia si può scrivere $U=1/2Q^2/C$ dove la C dopo l'allontanamento delle armature sarà la serie dei due condensatori, che è più piccola di quella iniziale e che conferma subito che $U_text(fin) > U_text(iniz)$.
Al contrario quando si conserva la tensione V (condensatore connesso ad una batteria) converrà andare avanti scrivendo tutto in funzione di V.
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