Elettrostatica: arco di circonferenza carico.
Salve, ho il seguente problema:
"Una carica elettrica di 23.9 pC e' uniformemente distribuita lungo un’arco di circonferenza di raggio 1.37 cm e lunghezza 2.18 cm. Determinare il modulo della forza, in newton, esercitata su una carica puntiforme di 76.7 pC posta al centro dell’arco."
e ragiono nel seguente modo: trovo la densita' lineare di carica come $\lambda\ =\ \frac{Q}{l}$, l'apertura dell'arco come $\Delta \phi\ =\ \frac{l}{r}$, utilizzo la legge di Coulomb per trovare il campo dell'arco di circonferenza, e quindi:
[tex]\vec E\ =\ \int{\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{\lambda\ dl}{|r-r'|^3}\ (\vec r\ -\ \vec r\ ')}\ =\ \int{\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{\lambda\ dl}{|z-r|^3}\ (z\ \hat e_z\ -\ r\ \hat e_r)}\\
E_r\ = \int{\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{\lambda\ dl}{|z-r|^3}\ (-r)}\ =\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \int{\frac{\lambda\ r\ d\phi}{(0-r)^3}\ (-r)}\ =\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda\ \Delta \phi}{r}[/tex]
Mi aspetto che la componente z sia nulla poiche' mi trovo nel piano contenente l'anello, quindi $z=0$.
Trovato il campo mi dovrebbe bastare moltiplicare per il calore della carica puntiforme per trovare la forza, ma non torna...
"Una carica elettrica di 23.9 pC e' uniformemente distribuita lungo un’arco di circonferenza di raggio 1.37 cm e lunghezza 2.18 cm. Determinare il modulo della forza, in newton, esercitata su una carica puntiforme di 76.7 pC posta al centro dell’arco."
e ragiono nel seguente modo: trovo la densita' lineare di carica come $\lambda\ =\ \frac{Q}{l}$, l'apertura dell'arco come $\Delta \phi\ =\ \frac{l}{r}$, utilizzo la legge di Coulomb per trovare il campo dell'arco di circonferenza, e quindi:
[tex]\vec E\ =\ \int{\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{\lambda\ dl}{|r-r'|^3}\ (\vec r\ -\ \vec r\ ')}\ =\ \int{\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{\lambda\ dl}{|z-r|^3}\ (z\ \hat e_z\ -\ r\ \hat e_r)}\\
E_r\ = \int{\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{\lambda\ dl}{|z-r|^3}\ (-r)}\ =\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \int{\frac{\lambda\ r\ d\phi}{(0-r)^3}\ (-r)}\ =\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda\ \Delta \phi}{r}[/tex]
Mi aspetto che la componente z sia nulla poiche' mi trovo nel piano contenente l'anello, quindi $z=0$.
Trovato il campo mi dovrebbe bastare moltiplicare per il calore della carica puntiforme per trovare la forza, ma non torna...
Risposte
L'errore sta nell'uso che fai delle coordinate cilindriche, in particolare del versore $\hat e_r$. Ricorda che la terna di versori per le coordinate curvilinee in generale è una terna locale e quindi ogni versore cambia al variare del punto che consideri e quindi non puoi tenere costante $\hat e_r$ e fare l'integrale. Per farla breve, in pratica, devi calcolarti separatamente le componenti orizzontale e verticale del campo e poi fare la risultante. Puoi prendere un sistema xOy con origine nel centro dell'arco e metti un estremo dell'arco sull'asse x. Poi integra sull'angolo phi inserendo una volta un fattore $\cos\phi$ e una volta un fattore $\sin\phi$ nell'integrando per ottenere le due componenti. Così dovrebbe venire.
Grazie mille, adesso torna!!! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo