Elettromagnetismo e sistemi di riferimento
Ciao a tutti,
Sul libro "Fisica 2" Halliday, Resnick c'è un paragrafo molto interessante sugli effetti relativistici delle cariche in moto sui campi elettrici e magnetici. Lascio l'illustrazione per aiutarmi nella spiegazione:
(Assumiamo per semplicità $q>0$)
Nel sistema di riferimento S, possiamo considerare questo tratto di filo come composto da due regoli, un regolo carico positivamente a riposo (gli ioni) e uno carico negativamente in moto (gli elettroni). La particella q è ferma, dunque non ci sono forze nette che agiscono su di essa, infatti il filo percorso da corrente genera un campo magnetico nella posizione di q, ma non ha alcun effetto su di essa in quanto la velocità $vec(v)$ della particella è $vec(v)=0$. Inoltre i due regoli in questo sistema di riferimento S sono di uguale lunghezza, quindi i campi elettrici generati dalle due distribuzioni lineari di carica $\lambda_-$ e $\lambda_+$ sono uguali e opposte dunque il campo elettrico netto generato dal filo è nullo.
In S' il sistema di riferimento viene preso solidale agli elettroni in moto, dunque la carica q e gli ioni positivi si muovono a velocità $vec(v)_d$. In questo caso gli ioni in moto all'interno del filo generano un campo magnetico entrante nel foglio nella posizione di q, il cui risultato è una forza $vec(F)_B$ diretta verso il basso. Essendo due sistemi di riferimento inerziali, due osservatori in S e S' devono concordare sul fatto che sulla carica q non agisca alcuna forza netta, quindi deve esserci qualche forza che bilancia esattamente la forza magnetica nel sistema di riferimento S'. E' qui che intervengono gli effetti relativistici:
- In S la lunghezza del regolo positivo è quella propria, mentre quella del regolo negativo è contratta
- In S' la lunghezza del regolo positivo è contratta, mentre quella del regolo negativo è quella propria
In S' essendovi una contrazione della lunghezza del regolo positivo si ha che la densità lineare di carica è più grande rispetto a quella del corrispettivo regolo in S. Questo genera un campo elettrico netto non nullo il cui effetto è quello di bilanciare esattamente la forza magnetica.
Il discorso fila perfettamente, non riesco però a spiegarmi un dubbio: supponiamo che nel filo non vi sia alcuna corrente e la carica q sia ferma, nel sistema S la lunghezza del regolo positivo era quella propria, mentre quella del regolo negativo era contratta, ora abbiamo che entrambi i regoli hanno lunghezza propria, quindi banalmente posso dire che il regolo negativo è più lungo rispetto a quello del sistema di riferimento S. Risulta quindi che $\lambda_- \ne\lambda_+$, ma questo è in disaccordo con la realtà per cui dovrebbe essere $\lambda_- = \lambda_+$ (un filo neutro genera un campo elettrico netto nullo).
Cosa sbaglio nel mio ragionamento? Grazie a tutti in anticipo!
Sul libro "Fisica 2" Halliday, Resnick c'è un paragrafo molto interessante sugli effetti relativistici delle cariche in moto sui campi elettrici e magnetici. Lascio l'illustrazione per aiutarmi nella spiegazione:
(Assumiamo per semplicità $q>0$)
Nel sistema di riferimento S, possiamo considerare questo tratto di filo come composto da due regoli, un regolo carico positivamente a riposo (gli ioni) e uno carico negativamente in moto (gli elettroni). La particella q è ferma, dunque non ci sono forze nette che agiscono su di essa, infatti il filo percorso da corrente genera un campo magnetico nella posizione di q, ma non ha alcun effetto su di essa in quanto la velocità $vec(v)$ della particella è $vec(v)=0$. Inoltre i due regoli in questo sistema di riferimento S sono di uguale lunghezza, quindi i campi elettrici generati dalle due distribuzioni lineari di carica $\lambda_-$ e $\lambda_+$ sono uguali e opposte dunque il campo elettrico netto generato dal filo è nullo.
In S' il sistema di riferimento viene preso solidale agli elettroni in moto, dunque la carica q e gli ioni positivi si muovono a velocità $vec(v)_d$. In questo caso gli ioni in moto all'interno del filo generano un campo magnetico entrante nel foglio nella posizione di q, il cui risultato è una forza $vec(F)_B$ diretta verso il basso. Essendo due sistemi di riferimento inerziali, due osservatori in S e S' devono concordare sul fatto che sulla carica q non agisca alcuna forza netta, quindi deve esserci qualche forza che bilancia esattamente la forza magnetica nel sistema di riferimento S'. E' qui che intervengono gli effetti relativistici:
- In S la lunghezza del regolo positivo è quella propria, mentre quella del regolo negativo è contratta
- In S' la lunghezza del regolo positivo è contratta, mentre quella del regolo negativo è quella propria
In S' essendovi una contrazione della lunghezza del regolo positivo si ha che la densità lineare di carica è più grande rispetto a quella del corrispettivo regolo in S. Questo genera un campo elettrico netto non nullo il cui effetto è quello di bilanciare esattamente la forza magnetica.
Il discorso fila perfettamente, non riesco però a spiegarmi un dubbio: supponiamo che nel filo non vi sia alcuna corrente e la carica q sia ferma, nel sistema S la lunghezza del regolo positivo era quella propria, mentre quella del regolo negativo era contratta, ora abbiamo che entrambi i regoli hanno lunghezza propria, quindi banalmente posso dire che il regolo negativo è più lungo rispetto a quello del sistema di riferimento S. Risulta quindi che $\lambda_- \ne\lambda_+$, ma questo è in disaccordo con la realtà per cui dovrebbe essere $\lambda_- = \lambda_+$ (un filo neutro genera un campo elettrico netto nullo).
Cosa sbaglio nel mio ragionamento? Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Ciao . Non capisco questa tua osservazione, che spero di avere interpretato nella maniera giusta, la maniera a cui conducono le parole scritte :
Se nel filo non c'è corrente, e la carica di prova è in quiete rispetto al filo , vuol dire che la carica $q$ , il "regolo positivo" e il "regolo negativo" sono tutti in quiete relativa tra loro, quindi appartengono allo stesso riferimento inerziale . Dunque perchè uno dei due dovrebbe avere la lunghezza propria e l'altro quella contratta ? LA contrazione delle lunghezze, da cui discende la diversa densità delle cariche positive e negative , dipende dalla velocità relativa . Se non c'è questa, non c'è contrazione.
Ma forse non ho capito quello che vuoi dire...
In passato, ci sono state varie discussioni sull'argomento . Riporto quella in cui fui interessato in prima persona :
viewtopic.php?f=19&t=168123#p8244535
fammi sapere se trovi in essa qualcosa di interessante .
Il discorso fila perfettamente, non riesco però a spiegarmi un dubbio: supponiamo che nel filo non vi sia alcuna corrente e la carica q sia ferma, nel sistema S la lunghezza del regolo positivo era quella propria, mentre quella del regolo negativo era contratta, ora abbiamo che entrambi i regoli hanno lunghezza propria, quindi banalmente posso dire che il regolo negativo è più lungo rispetto a quello del sistema di riferimento S
Se nel filo non c'è corrente, e la carica di prova è in quiete rispetto al filo , vuol dire che la carica $q$ , il "regolo positivo" e il "regolo negativo" sono tutti in quiete relativa tra loro, quindi appartengono allo stesso riferimento inerziale . Dunque perchè uno dei due dovrebbe avere la lunghezza propria e l'altro quella contratta ? LA contrazione delle lunghezze, da cui discende la diversa densità delle cariche positive e negative , dipende dalla velocità relativa . Se non c'è questa, non c'è contrazione.
Ma forse non ho capito quello che vuoi dire...
In passato, ci sono state varie discussioni sull'argomento . Riporto quella in cui fui interessato in prima persona :
viewtopic.php?f=19&t=168123#p8244535
fammi sapere se trovi in essa qualcosa di interessante .
Grazie della risposta! Ho trovato interessantissima la discussione che mi hai linkato, però non ho ancora trovato una risposta al mio dubbio, cerco di spiegarmi meglio..
Nel caso in cui nel filo non vi sia corrente e la carica q sia in quiete rispetto alle cariche del filo (cioè tutto è in stato quiete) sulla carica $q$ non agiscono forze nette, in questo caso perchè:
1) il campo magnetico generato dal filo è nullo (banalmente $i=0$)
2) il campo elettrico generato dal filo è nullo, cioè "regolo positivo" e "regolo negativo" hanno uguale lunghezza dunque hanno la stessa densità lineare di carica, dunque il filo risulta elettricamente neutro.
Ciò che trovo incoerente è che se facciamo scorrere un intensità di corrente $i$ nel filo, cioè gli elettroni (il "regolo negativo") si muovono con velocità di deriva $vec(v)_d$ nel verso opposto a quello di $i$, e la carica q è in quiete rispetto agli ioni ("regolo positivo") allora la forza netta che agisce sul filo è ancora nulla, in questo caso perchè:
1)il campo magnetico generato dal filo è non nullo ma la carica $q$ si muove a velocità $vec(v)=0$ rispetto al filo, quindi la forza magnetica che agisce sulla carica è nulla, essendo $vec(F)=qvec(v)xxvec(B)=0$
2)il campo elettrico generato dal filo è nullo in quanto, ancora una volta, "regolo positivo" e "regolo negativo" hanno uguale lunghezza cioè stessa densità lineare di carica.
Forse il mio è un errore concettuale... ma se io prendo un sistema di riferimento in cui il regolo è in stato di quiete e ha lunghezza propria $L$, ora prendo un'altro sistema di riferimento inerziale in cui lo stesso regolo viaggia a velocità $vec(v)_d$, allora in tale sistema di riferimento dovrei avere una contrazione di $L$. Questo però non lo trovo coerente con quanto detto prima... spero di essermi fatto capire meglio questa volta..
Nel caso in cui nel filo non vi sia corrente e la carica q sia in quiete rispetto alle cariche del filo (cioè tutto è in stato quiete) sulla carica $q$ non agiscono forze nette, in questo caso perchè:
1) il campo magnetico generato dal filo è nullo (banalmente $i=0$)
2) il campo elettrico generato dal filo è nullo, cioè "regolo positivo" e "regolo negativo" hanno uguale lunghezza dunque hanno la stessa densità lineare di carica, dunque il filo risulta elettricamente neutro.
Ciò che trovo incoerente è che se facciamo scorrere un intensità di corrente $i$ nel filo, cioè gli elettroni (il "regolo negativo") si muovono con velocità di deriva $vec(v)_d$ nel verso opposto a quello di $i$, e la carica q è in quiete rispetto agli ioni ("regolo positivo") allora la forza netta che agisce sul filo è ancora nulla, in questo caso perchè:
1)il campo magnetico generato dal filo è non nullo ma la carica $q$ si muove a velocità $vec(v)=0$ rispetto al filo, quindi la forza magnetica che agisce sulla carica è nulla, essendo $vec(F)=qvec(v)xxvec(B)=0$
2)il campo elettrico generato dal filo è nullo in quanto, ancora una volta, "regolo positivo" e "regolo negativo" hanno uguale lunghezza cioè stessa densità lineare di carica.
Forse il mio è un errore concettuale... ma se io prendo un sistema di riferimento in cui il regolo è in stato di quiete e ha lunghezza propria $L$, ora prendo un'altro sistema di riferimento inerziale in cui lo stesso regolo viaggia a velocità $vec(v)_d$, allora in tale sistema di riferimento dovrei avere una contrazione di $L$. Questo però non lo trovo coerente con quanto detto prima... spero di essermi fatto capire meglio questa volta..
"inglele":
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Ciò che trovo incoerente è che se facciamo scorrere un intensità di corrente $i$ nel filo, cioè gli elettroni (il "regolo negativo") si muovono con velocità di deriva $vec(v)_d$ nel verso opposto a quello di $i$, e la carica q è in quiete rispetto agli ioni ("regolo positivo") allora la forza netta che agisce sul filo è ancora nulla, in questo caso perchè:
1)il campo magnetico generato dal filo è non nullo ma la carica $q$ si muove a velocità $vec(v)=0$ rispetto al filo, quindi la forza magnetica che agisce sulla carica è nulla, essendo $vec(F)=qvec(v)xxvec(B)=0$
2)il campo elettrico generato dal filo è nullo in quanto, ancora una volta, "regolo positivo" e "regolo negativo" hanno uguale lunghezza cioè stessa densità lineare di carica.
Nel link che ti ho dato, c’è la spiegazione, forse non hai letto attentamente . Nel riferimento in cui le cariche positive del filo sono in quiete, ed è in quiete anche la carica di prova, le cariche negative sono in moto , perciò la loro densità lineare è maggiore di quella delle cariche positive. C’è quindi un campo elettrico, che agisce sulla carica di prova con una forza.
Ho riletto più attentamente il post.. ho capito perfettamente il fatto che forza magnetica nel sistema di riferimento $S$ è in realtà la forza elettrica in $S'$ e la dimostrazione si basa sulle TL. Una sola cosa non ho capito ed è ancora il mio dubbio iniziale: perché un filo percorso da corrente è elettricamente neutro? Tu nel post che mi hai linkato giustifichi questo dicendo:
Ok, perfetto, il discorso fila perfettamente, però nei due casi assumiamo che in $S$ (positive in quiete, negative in moto e $q$ in moto) le due densità lineari di cariche siano uguali, ma le cariche negative in movimento non risentono anche loro delle TL? Cioè se ad un cero punto nel sistema $S$ le cariche negative si fermassero dovrei vedere queste ultime con la loro lunghezza propria che è più grande della lunghezza contratta. Quindi (ed ecco che ritorna il dubbio del post iniziale) il filo nel caso in cui non ci sia intensità di corrente dovrebbe risultare carico positivamente il che contraddice la realtà.
"Shackle":
Prendiamo un filo percorso da corrente elettrica: in esso ci sono delle cariche negative che si spostano, giusto? Ma il filo continua a essere elettricamente neutro, perchè se immaginiamo due sezioni del filo, ad una certa distanza, tante cariche negative entrano nell'unità di tempo in una sezione e altrettante ne escono dall'altra. Questo è un filo elettricamente neutro, pure se c'è corrente.
"Shackle":
Invece il filo è neutro. Se hai due cariche elettriche $+Q$ e $−Q$ , e descrivi una superficie chiusa S attorno ad esse, e applichi la prima eq. di Maxwell, il flusso attraverso la superficie è zero. Il sistema delle due cariche è neutro, mi sembra.
Ok, perfetto, il discorso fila perfettamente, però nei due casi assumiamo che in $S$ (positive in quiete, negative in moto e $q$ in moto) le due densità lineari di cariche siano uguali, ma le cariche negative in movimento non risentono anche loro delle TL? Cioè se ad un cero punto nel sistema $S$ le cariche negative si fermassero dovrei vedere queste ultime con la loro lunghezza propria che è più grande della lunghezza contratta. Quindi (ed ecco che ritorna il dubbio del post iniziale) il filo nel caso in cui non ci sia intensità di corrente dovrebbe risultare carico positivamente il che contraddice la realtà.
Chiarisco ancora una volta questo concetto.
Nel caso classico, un filo percorso da corrente è elettricamente neutro, e genera un campo magnetico. Una carica di prova, dotata di una certa velocità rispetto al filo, è soggetto alla forza di Lorenz. Fine della visione classica.
Solo se si vuole ragionare in termini relativistici, si ricorre alla procedura già detta, che prevede due sistemi di riferimento in moto relativo, legati rispettivamente alle cariche negative e a quelle positive, e si trova che c’è una differenza tra le densità delle cariche, per cui si conclude che il filo non è più neutro, ma ripeto: solo in questa impostazione relativistica!
Nella discussione linkata ci sono i calcoli. Leggi anche gli altri documenti , che trovi come ulteriori link in essa .
Se puoi, procurati il volume di Purcell del corso di fisica di Berkeley. Forse lo trovi in rete.
Nel caso classico, un filo percorso da corrente è elettricamente neutro, e genera un campo magnetico. Una carica di prova, dotata di una certa velocità rispetto al filo, è soggetto alla forza di Lorenz. Fine della visione classica.
Solo se si vuole ragionare in termini relativistici, si ricorre alla procedura già detta, che prevede due sistemi di riferimento in moto relativo, legati rispettivamente alle cariche negative e a quelle positive, e si trova che c’è una differenza tra le densità delle cariche, per cui si conclude che il filo non è più neutro, ma ripeto: solo in questa impostazione relativistica!
Nella discussione linkata ci sono i calcoli. Leggi anche gli altri documenti , che trovi come ulteriori link in essa .
Se puoi, procurati il volume di Purcell del corso di fisica di Berkeley. Forse lo trovi in rete.
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