Effetto Joule

[domenico.migl]

Salve a tutti, vorrei il vostro parere su questo esercizio:

Un resistore di resistenza $R=100 Omega$ è collegato, all'istante di tempo $t_0=0$, ad un condensatore carico di capacità $C=10*10^(-6)F$. Sapendo che l'energia dissipata dal resistore da $t_0=0$ a $t_1=0.1ms$ vale $0.1J$, determinare la carica iniziale delle armature del condensatore.

Io ho pensato: L'energia dissipata in generale è data da: $W=V*I=R*I^2$, essendo per definizione $I=(dQ)/(dT)$, sostituendo: $W=R((dQ)/(dt))^2$ da cui $dQ=sqrt((W dt^2)/R)$. Che ne dite? Credete funzioni?

[RenzoDF]

Direi che, determinato il rapporto fra carica finale e iniziale \(Q_f/Q_i=e^{-t_0/\tau}\), dovrebbe essere semplice rispondere, ricordando la relazione per l'energia immagazzinata nel condensatore.

[domenico.migl]

"RenzoDF":Direi che, determinato il rapporto fra carica finale e iniziale \(Q_f/Q_i=e^{-t_0/\tau}\), dovrebbe essere semplice rispondere, ricordando la relazione per l'energia immagazzinata nel condensatore.

Non mi è molto chiaro.. La legge di carica del condensatore è $q(t)=CV(1-e^(-t_0/tau))$ come fa il rapporto tra $Q_f$ e $Q_i$ ad essere pari a $e^(-t_0/tau)$? Non dovrebbe essere: $Q_f/Q_i=(1-e^(-t_1/tau))/(1-e^(-t_0/tau))$?

[RenzoDF]

Quello del problema non è un condensatore che si carica ma che si scarica, non credi?

[domenico.migl]

"RenzoDF":Quello del problema non è un condensatore che si carica ma che si scarica, non credi?

Non so perchè mi ero fissato con la legge di carica! Quindi posso farlo così?

$Q_f/Q_i=e^(-t_1/tau) => Q_i=Q_f/e^(-t_1/tau)$
essendo $Q_f=C*V$ ed essendo $E=R*I^2 => I=sqrt(E/R)=(dQ)/(dt) => dQ=sqrt(E/R)*(dt)$ e in conclusione $Q_i=sqrt(E/R)*(dt)*1/e^(-t_1/tau) $

[RenzoDF]

"Caronte":Quindi posso farlo così?
... ed essendo $E=R*I^2 => I=sqrt(E/R)=(dQ)/(dt) => dQ=sqrt(E/R)*(dt)$ e in conclusione $Q_i=sqrt(E/R)*(dt)*1/e^(-t_1/tau) $

Direi proprio di no, e vedo "strane" relazioni, ad ogni modo ripeto, io userei la relazione che esprime l'energia immagazzinata in un condensatore in funzione della carica e della capacità.

[domenico.migl]

Ma l'energia immagazzinata dal condensatore come posso metterla in relazione con l'energia dissipata dal resistore?

[RenzoDF]

"Caronte":... come posso metterla in relazione con l'energia dissipata dal resistore?

Forse vedendo di quanto è cambiata?

[domenico.migl]

Così?

$E=1/2*Q_f*C => Q_f=(2E)/C$

Dalla legge di scarica del condensatore:

$Q_f/Q_i=e^(-t/tau) => Q_i = (2E)/C*1/e^(-t/tau)$

[RenzoDF]

No, la relazione, indicando con E l'energia, è

$E=1/2Q^2/C$

se anche tu intendi indicare con E l'energia, quella da te riportata è errata.

[domenico.migl]

"RenzoDF":No, la relazione, indicando con E l'energia, è

$E=1/2Q^2/C$

Ecco questa è un'altra cosa che mi mette in confusione, ho trovato due formule per l'energia di un condensatore:
1) $E=1/2CV^2$ (che se consideriamo che $V=Q/C$ è uguale a quella che hai riportato tu)
2) $E=1/2QC$

Sapresti dirmi in quali casi si usa una e in quali l'altra?

P.S. Intanto ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando, non riesce proprio ad entrarmi in testa questa materia!

[RenzoDF]

"Caronte":... ho trovato due formule per l'energia di un condensatore:
1) $E=1/2CV^2$ (che se consideriamo che $V=Q/C$ è uguale a quella che hai riportato tu)
2) $E=1/2QC$

Sapresti dirmi in quali casi si usa una e in quali l'altra?

La prima è corretta la seconda no; la terza equazione, oltre alla mia e alla tua prima è

$E=1/2QV$

Usi quella più conveniente, in base ai dati in tuo possesso.

[domenico.migl]

Ok gentilissimo! Grazie mille per il supporto