Effetto Joule

marco.ceccarelli
Qualcuno può dare un'occhiata a quest'esercizio? In particolare, non capisco perché, alla fine, il risultato venga diviso per 2. :?

Prima che, a $t=0$, si chiuda l'interruttore, la situazione è stazionaria. Sapendo che $f=10V, C=2*10^(-6)F, R_0=R$, si calcoli l'energia dissipata in $R_0$.



Con il th. Thevenin, ho ottenuto la corrente che attraversa $C$ durante la sua carica, e poiché $R_0$ è in serie con $C$ ho dedotto che la corrente che attraversa $R_0$ è la stessa di $C$. Invece, detta $I(t)$ la corrente che attraversa $C$ (ottenuta dall'analisi del circuito $fRC$ semplificato grazie al th. Thevenin), il Prof. scrive: $U=int_0^infty1/2R_0I^2(t)dt$. Perché 1/2?

Grazie! :)

Risposte
RenzoDF
La potenza istantanea da integrare è pari al prodotto fra R0 e corrente istantanea al quadrato e di conseguenza quel 1/2 non ci va.
A dire il vero però quell'integrale può essere evitato facendo uso di un semplice bilancio energetico. :wink:

BTW La corrente te la determini (per esempio) una volta ricavata la tensione sul condensatore con la relazione notevole

$v_C(t)=v_C(\infty)+[v_C(0)-v_C(\infty)]e^{-t/\tau}$

dall'equazione costitutiva del condensatore.

marco.ceccarelli
Perfetto, grazie 1000 per la conferma! :smt023


RenzoDF
Se ti va di farlo, prova a controllare con la scorciatoia che ti ho suggerito.

marco.ceccarelli
Certo, però non so bene perché usarla in questo caso e non in altri! Cioè, quando abbiamo fatto fRC, fRL, RC, RL, LC, non ci hanno detto formule particolari, come questa... Ogni volta, sono costretto a fare tutti i calcoli (differenziali ed integrali)... :(

RenzoDF
Intendevo riferirmi al metodo energetico.

marco.ceccarelli
Ah, OKOK. :)

marco.ceccarelli
Non so se hai il Mencuccini, comunque all'esempio E.IV.27 di pag. 223 (cap. IV: Corrente elettrica stazionaria - Circuiti percorsi da corrente quasi stazionaria) dice:

Un condensatore di capacità C viene caricato con un generatore di f.e.m. f attraverso una resistenza in serie R, iniziando (al tempo t=0 in cui viene chiuso l'interruttore) da una situazione di carica nulla. Calcolare l'energia erogata dal generatore nel processo di carica completa del condensatore, e la parte di energia dissipata per effetto Joule sulla resistenza.

Circuito RC, carica: $V_C(t)=f(1-e^(-t/tau)), I(t)=f/Re^(-t/tau)$: OK

Dopodiché io, come dicevamo anche qui di sopra, farei $U_R=int_0^inftyRI(t)^2dt=Cf^2$. Invece il libro, così come il Prof. nell'esercizio di prima, dice:

$U_g=int_0^inftyfI(t)dt=Cf^2, U_C=1/2Cf^2 rarr U_R=1/2Cf^2$

Perché!?

RenzoDF
"Bubbino1993":
Invece il libro, così come il Prof. nell'esercizio di prima,

Assolutamente no, non fa come "il Prof. prima" : il Prof., prima, sbagliando, integra il semiprodotto della potenza istantenea sul resistore

$u_J=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}R_0i(t)^2dt=\frac{Cf^2}{30}$

mentre il metodo corretto, volendo usare il metodo integrale, sarebbe stato quello di scrivere sempre per la potenza sul resistore R0, [size=85](purtroppo non avevo controllato i tuoi precedenti calcoli) [/size]

$u_J=\int_{0}^{\infty}p(t)dt=\int_{0}^{\infty}R_0i(t)^2dt=R_0 I_0^2\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2t}{\tau}} dt=\frac{2}{15}f^2C$


[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 25 50 35 60 0
MC 40 40 0 0 ihram.res
MC 65 50 1 0 170
LI 30 40 30 70 0
LI 30 70 65 70 0
LI 65 70 65 60 0
LI 65 50 65 40 0
LI 65 40 55 40 0
LI 40 40 30 40 0
TY 25 46 4 3 0 1 0 * +
TY 12 52 4 3 0 1 0 * Veq
TY 59 30 4 3 0 1 0 * Io
MC 59 37 0 0 074
TY 72 52 4 3 0 1 0 * Vc
TY 71 45 4 3 0 1 0 * +
TY 56 52 4 3 0 1 0 * C
TY 42 31 4 3 0 1 0 * Req
TY 71 59 4 3 0 1 0 * -
MC 30 20 0 0 ihram.res
MC 50 20 0 0 ihram.res
TY 30 11 4 3 0 1 0 * 2R/3
TY 56 11 4 3 0 1 0 * R
LI 45 20 50 20 0
MC 48 29 3 0 074
TY 12 36 4 3 0 1 0 * 2f/3
MC 18 49 3 0 074
TY 47 11 4 3 0 1 0 * +
TY 64 11 4 3 0 1 0 * =
TY 71 11 4 3 0 1 0 * 5R/3[/fcd]

Oppure, come ti suggerivo, per via energetica, andando a ricordare che quando un generatore di tensione va a caricare un condensatore, la carica complessiva Q portata su C fa si che il generatore fornisca un'energia pari a fQ al sistema, mentre il condensatore ne venga ad immagazzinare solo la metà fQ/2 e quindi dalla differenza fra le due si ricava che metà viene ad essere "persa per strada" [nota]NB Dove vada poi a finire questa energia persa è un discorso complesso, nel caso reale; vedi per esempio queste righe riassuntive sul problema.
http://www.electroyou.it/renzodf/wiki/articolo19[/nota] e considerando valide le ipotesi semplificative per le reti a parametri concentrati in regime quasi stazionario, si suppone che vada tutta a finire in effetto Joule sul resistore equivalente serie e quindi, per il nostro caso particolare, tenendo conto della proporzione fra la R0 e la Req avremo che

$u_J=\frac{R_0}{R_{eq}}u_{R_{eq}}=\frac{3}{5}u_C=\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}V_{eq}^2C=\frac{3}{10}(\frac{2f}{3})^2C=\frac{2}{15}f^2C$

Il metodo seguito nel secondo problema è quindi proprio il suddetto metodo energetico che uguaglia la potenza persa nel resistore a quella immagazzinata nel condensatore entrambe pari all'emivalore di quella fornita dal generatore da cui quell' 1/2 che nulla ha a che vedere con quel 1/2 nell'integrale del primo post.

marco.ceccarelli
Insomma ho sbagliato 2 volte a fare l'integrale... Andiamo bene, andiamo... Ah, ora ho capito il metodo energetico... Grazie!

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