Effetto Joule
Qualcuno può dare un'occhiata a quest'esercizio? In particolare, non capisco perché, alla fine, il risultato venga diviso per 2. 
Prima che, a $t=0$, si chiuda l'interruttore, la situazione è stazionaria. Sapendo che $f=10V, C=2*10^(-6)F, R_0=R$, si calcoli l'energia dissipata in $R_0$.

Con il th. Thevenin, ho ottenuto la corrente che attraversa $C$ durante la sua carica, e poiché $R_0$ è in serie con $C$ ho dedotto che la corrente che attraversa $R_0$ è la stessa di $C$. Invece, detta $I(t)$ la corrente che attraversa $C$ (ottenuta dall'analisi del circuito $fRC$ semplificato grazie al th. Thevenin), il Prof. scrive: $U=int_0^infty1/2R_0I^2(t)dt$. Perché 1/2?
Grazie!

Prima che, a $t=0$, si chiuda l'interruttore, la situazione è stazionaria. Sapendo che $f=10V, C=2*10^(-6)F, R_0=R$, si calcoli l'energia dissipata in $R_0$.

Con il th. Thevenin, ho ottenuto la corrente che attraversa $C$ durante la sua carica, e poiché $R_0$ è in serie con $C$ ho dedotto che la corrente che attraversa $R_0$ è la stessa di $C$. Invece, detta $I(t)$ la corrente che attraversa $C$ (ottenuta dall'analisi del circuito $fRC$ semplificato grazie al th. Thevenin), il Prof. scrive: $U=int_0^infty1/2R_0I^2(t)dt$. Perché 1/2?
Grazie!

Risposte
La potenza istantanea da integrare è pari al prodotto fra R0 e corrente istantanea al quadrato e di conseguenza quel 1/2 non ci va.
A dire il vero però quell'integrale può essere evitato facendo uso di un semplice bilancio energetico.
BTW La corrente te la determini (per esempio) una volta ricavata la tensione sul condensatore con la relazione notevole
$v_C(t)=v_C(\infty)+[v_C(0)-v_C(\infty)]e^{-t/\tau}$
dall'equazione costitutiva del condensatore.
A dire il vero però quell'integrale può essere evitato facendo uso di un semplice bilancio energetico.

BTW La corrente te la determini (per esempio) una volta ricavata la tensione sul condensatore con la relazione notevole
$v_C(t)=v_C(\infty)+[v_C(0)-v_C(\infty)]e^{-t/\tau}$
dall'equazione costitutiva del condensatore.
Perfetto, grazie 1000 per la conferma!


Se ti va di farlo, prova a controllare con la scorciatoia che ti ho suggerito.
Certo, però non so bene perché usarla in questo caso e non in altri! Cioè, quando abbiamo fatto fRC, fRL, RC, RL, LC, non ci hanno detto formule particolari, come questa... Ogni volta, sono costretto a fare tutti i calcoli (differenziali ed integrali)...

Intendevo riferirmi al metodo energetico.
Ah, OKOK.

Non so se hai il Mencuccini, comunque all'esempio E.IV.27 di pag. 223 (cap. IV: Corrente elettrica stazionaria - Circuiti percorsi da corrente quasi stazionaria) dice:
Un condensatore di capacità C viene caricato con un generatore di f.e.m. f attraverso una resistenza in serie R, iniziando (al tempo t=0 in cui viene chiuso l'interruttore) da una situazione di carica nulla. Calcolare l'energia erogata dal generatore nel processo di carica completa del condensatore, e la parte di energia dissipata per effetto Joule sulla resistenza.
Circuito RC, carica: $V_C(t)=f(1-e^(-t/tau)), I(t)=f/Re^(-t/tau)$: OK
Dopodiché io, come dicevamo anche qui di sopra, farei $U_R=int_0^inftyRI(t)^2dt=Cf^2$. Invece il libro, così come il Prof. nell'esercizio di prima, dice:
$U_g=int_0^inftyfI(t)dt=Cf^2, U_C=1/2Cf^2 rarr U_R=1/2Cf^2$
Perché!?
Un condensatore di capacità C viene caricato con un generatore di f.e.m. f attraverso una resistenza in serie R, iniziando (al tempo t=0 in cui viene chiuso l'interruttore) da una situazione di carica nulla. Calcolare l'energia erogata dal generatore nel processo di carica completa del condensatore, e la parte di energia dissipata per effetto Joule sulla resistenza.
Circuito RC, carica: $V_C(t)=f(1-e^(-t/tau)), I(t)=f/Re^(-t/tau)$: OK
Dopodiché io, come dicevamo anche qui di sopra, farei $U_R=int_0^inftyRI(t)^2dt=Cf^2$. Invece il libro, così come il Prof. nell'esercizio di prima, dice:
$U_g=int_0^inftyfI(t)dt=Cf^2, U_C=1/2Cf^2 rarr U_R=1/2Cf^2$
Perché!?
"Bubbino1993":
Invece il libro, così come il Prof. nell'esercizio di prima,
Assolutamente no, non fa come "il Prof. prima" : il Prof., prima, sbagliando, integra il semiprodotto della potenza istantenea sul resistore
$u_J=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}R_0i(t)^2dt=\frac{Cf^2}{30}$
mentre il metodo corretto, volendo usare il metodo integrale, sarebbe stato quello di scrivere sempre per la potenza sul resistore R0, [size=85](purtroppo non avevo controllato i tuoi precedenti calcoli) [/size]
$u_J=\int_{0}^{\infty}p(t)dt=\int_{0}^{\infty}R_0i(t)^2dt=R_0 I_0^2\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2t}{\tau}} dt=\frac{2}{15}f^2C$
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 25 50 35 60 0
MC 40 40 0 0 ihram.res
MC 65 50 1 0 170
LI 30 40 30 70 0
LI 30 70 65 70 0
LI 65 70 65 60 0
LI 65 50 65 40 0
LI 65 40 55 40 0
LI 40 40 30 40 0
TY 25 46 4 3 0 1 0 * +
TY 12 52 4 3 0 1 0 * Veq
TY 59 30 4 3 0 1 0 * Io
MC 59 37 0 0 074
TY 72 52 4 3 0 1 0 * Vc
TY 71 45 4 3 0 1 0 * +
TY 56 52 4 3 0 1 0 * C
TY 42 31 4 3 0 1 0 * Req
TY 71 59 4 3 0 1 0 * -
MC 30 20 0 0 ihram.res
MC 50 20 0 0 ihram.res
TY 30 11 4 3 0 1 0 * 2R/3
TY 56 11 4 3 0 1 0 * R
LI 45 20 50 20 0
MC 48 29 3 0 074
TY 12 36 4 3 0 1 0 * 2f/3
MC 18 49 3 0 074
TY 47 11 4 3 0 1 0 * +
TY 64 11 4 3 0 1 0 * =
TY 71 11 4 3 0 1 0 * 5R/3[/fcd]
Oppure, come ti suggerivo, per via energetica, andando a ricordare che quando un generatore di tensione va a caricare un condensatore, la carica complessiva Q portata su C fa si che il generatore fornisca un'energia pari a fQ al sistema, mentre il condensatore ne venga ad immagazzinare solo la metà fQ/2 e quindi dalla differenza fra le due si ricava che metà viene ad essere "persa per strada" [nota]NB Dove vada poi a finire questa energia persa è un discorso complesso, nel caso reale; vedi per esempio queste righe riassuntive sul problema.
http://www.electroyou.it/renzodf/wiki/articolo19[/nota] e considerando valide le ipotesi semplificative per le reti a parametri concentrati in regime quasi stazionario, si suppone che vada tutta a finire in effetto Joule sul resistore equivalente serie e quindi, per il nostro caso particolare, tenendo conto della proporzione fra la R0 e la Req avremo che
$u_J=\frac{R_0}{R_{eq}}u_{R_{eq}}=\frac{3}{5}u_C=\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}V_{eq}^2C=\frac{3}{10}(\frac{2f}{3})^2C=\frac{2}{15}f^2C$
Il metodo seguito nel secondo problema è quindi proprio il suddetto metodo energetico che uguaglia la potenza persa nel resistore a quella immagazzinata nel condensatore entrambe pari all'emivalore di quella fornita dal generatore da cui quell' 1/2 che nulla ha a che vedere con quel 1/2 nell'integrale del primo post.
Insomma ho sbagliato 2 volte a fare l'integrale... Andiamo bene, andiamo... Ah, ora ho capito il metodo energetico... Grazie!