E sull'asse di una distribuzione lineare quadrata di carica
Ciao!
Sono alle prese con il seguente esercizio:
Determinare E nei punti dell'asse di una distribuzione lineare di carica di forma quadrata con lato 2l e densità lineare di carica uniforme λ.
Devo risolverlo senza ricorre alla legge di Guass.
Dalla simmetria della distribuzione si vede subito che il campo è diretto lungo l'asse x. Ho pensato di calcolare separatamente il contributo (uguale in modulo) di ciascun lato del quadrato e poi di sommarli, ma così facendo mi perdo in calcoli infruttuosi. Mi servirebbe un'indicazione sulla strada da seguire.
Grazie mille!
Sono alle prese con il seguente esercizio:
Determinare E nei punti dell'asse di una distribuzione lineare di carica di forma quadrata con lato 2l e densità lineare di carica uniforme λ.
Devo risolverlo senza ricorre alla legge di Guass.
Dalla simmetria della distribuzione si vede subito che il campo è diretto lungo l'asse x. Ho pensato di calcolare separatamente il contributo (uguale in modulo) di ciascun lato del quadrato e poi di sommarli, ma così facendo mi perdo in calcoli infruttuosi. Mi servirebbe un'indicazione sulla strada da seguire.
Grazie mille!
Risposte
Non capisco come integrare..
"Jack87":
Dalla simmetria della distribuzione si vede subito che il campo è diretto lungo l'asse x. Ho pensato di calcolare separatamente il contributo (uguale in modulo) di ciascun lato del quadrato e poi di sommarli, ma così facendo mi perdo in calcoli infruttuosi. Mi servirebbe un'indicazione sulla strada da seguire.
Ciao,
non riesco a trovare altre strade se non quella proposta da te. I calcoli non mi sembrano particolarmente lunghi.. si tratta di risolvere un integrale. Sei riuscito ad impostarlo? Riesci a farci vedere qualcosa? Dove ti sei bloccato?
io non riesco proprio a impostare l'integrale..
L'integrale che dobbiamo svolgere è il seguente:
\[ \vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{\gamma}\frac{dl}{r^2}\hat{r} \]
Concentriamoci su uno solo dei lati, per comodità quello di estremi $(0,L,-L)$ e $(0,L,L)$, parametrizzato così:
\[ \displaystyle \gamma (t) : \left \{ \begin{array}{ll}
x=0 &\\
y=L & t \in[-L,L] \\
z=t &\\
\end{array} \right. \]
Consideriamo il generico punto individuato da $t$ e valutiamone la distanza dal punto sull'asse $x$ in cui vogliamo valutare il campo elettrico (per le quantità in gioco farò riferimento alle due figure allegate a fine post). Abbiamo che, per il teorema di Pitagora $a^2(t) = L^2+t^2$ e $r^2(t)=x^2+a^2(t)$, da cui $r^2(t)=x^2+L^2+t^2$. Inoltre, dal momento che ci interessa la sola componente lungo $x$ del campo elettrico, proiettiamo ogni singolo contributo dE: $dE_x=dE cos \phi(t)$. Sempre dalla figura, si nota che $cos\phi(t) = \frac{h}{r(t)}$.
Da qui in avanti si tratta solo di svolgere l'integrale, evito di farlo, ma se ne aveste bisogno, sono qui.
\[ \vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{\gamma}\frac{dl}{r^2}\hat{r} \]
Concentriamoci su uno solo dei lati, per comodità quello di estremi $(0,L,-L)$ e $(0,L,L)$, parametrizzato così:
\[ \displaystyle \gamma (t) : \left \{ \begin{array}{ll}
x=0 &\\
y=L & t \in[-L,L] \\
z=t &\\
\end{array} \right. \]
Consideriamo il generico punto individuato da $t$ e valutiamone la distanza dal punto sull'asse $x$ in cui vogliamo valutare il campo elettrico (per le quantità in gioco farò riferimento alle due figure allegate a fine post). Abbiamo che, per il teorema di Pitagora $a^2(t) = L^2+t^2$ e $r^2(t)=x^2+a^2(t)$, da cui $r^2(t)=x^2+L^2+t^2$. Inoltre, dal momento che ci interessa la sola componente lungo $x$ del campo elettrico, proiettiamo ogni singolo contributo dE: $dE_x=dE cos \phi(t)$. Sempre dalla figura, si nota che $cos\phi(t) = \frac{h}{r(t)}$.
Da qui in avanti si tratta solo di svolgere l'integrale, evito di farlo, ma se ne aveste bisogno, sono qui.
Ciao, sto facendo questo problema, ma i conti non mi tornano...
Impostando l'integrale mi viene:
$(x8lambda)/(4piepsilon_0)int_-l^l1/(l^2+x^2+t^2)^(3/2)dt$, e svolgendolo
$(4lambdalx)/(piepsilon_0(x^2+l^2)sqrt(x^2+2l^2))$,
che sarebbe un quarto del valore totale visto che abbiamo fatto il calcolo solo su un lato.
Il libro porta invece come soluzione:
$(2lambdalx)/(piepsilon_0(x^2+l^2)sqrt(x^2+2l^2))$
dove sbaglio?
Impostando l'integrale mi viene:
$(x8lambda)/(4piepsilon_0)int_-l^l1/(l^2+x^2+t^2)^(3/2)dt$, e svolgendolo
$(4lambdalx)/(piepsilon_0(x^2+l^2)sqrt(x^2+2l^2))$,
che sarebbe un quarto del valore totale visto che abbiamo fatto il calcolo solo su un lato.
Il libro porta invece come soluzione:
$(2lambdalx)/(piepsilon_0(x^2+l^2)sqrt(x^2+2l^2))$
dove sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo