Due corpi collegati a una carrucola

[caffeinaplus]

Salve, sto svolgendo questo esercizio che chiede

( trovate l'immagine in spoiler se serve )

Nel sistema in figura, la massa M della sbarra, la quale è lunga L, è maggiore della massa m della pallina, la quale ha un’apertura che le permette di scivolare sulla corda, con un qualche attrito. La massa della corda, la massa della carrucola e l’attrito sull’asse della carrucola sono trascurabili. All’istante iniziale tutti i corpi sono fermi e la pallina si trova alla stessa quota dell’estremità inferiore della sbarra. Lasciati liberi, i due corpi cominciano a muoversi con accelerazioni costanti. Trovare la forza di attrito tra la pallina e la corda se t secondi dopo l’inizio del moto la pallina si trova alla stessa quota dell’estremità superiore della sbarra.

Soluzione: $F= (2LmM)/((M-m)t^2)$

Allora, io ho provato in questo modo.

Supponendo che abbiano la stessa accelerazione e che il verso positivo del moto sia verso l'alto, si ha:

$Ma = Mg - T$
$ma = T -mg - F_A$

Sommo le prime due eq e ottengo

$a(M+m) = g(M-m) -F_A$ e quindi $a = ( g(M-m) -F_A)/(M+m)$

Quindi $L = 1/2*a * t^2$

$(2L(M+m) -g(M-m)t^2)/(M+m) = -F_A$
$F_1 =(g(M-m)t^2 -2L(M+m))/((M+m)t^2)$

Inoltre mi domandavo ( non l'ho incluso nella soluzione proposta perchè non sono certo ) se non dovrebbe essere

$Ma = Mg -T -F_A$

Dato che anche il corpo grande dovrebbe risentire della frenata data dall'attrito del piccolo visto che sono collegati.

Grazie mille in anticipo

[anonymous_0b37e9]

"caffeinaplus":
Supponendo che abbiano la stessa accelerazione ...

Non se ne comprende il motivo.

[caffeinaplus]

Ciao,
avevo supposto così perchè in tutti gli altri esercizi quando si presentano oggetti ideali per risolvere l'esercizio bisognava considerarli come inestensibili e quindi con la stessa accelerazione, ma evidentemente qui mi sbaglio.

Considerando il caso con le accelerazioni diverse non saprei davvero cosa fare.

[anonymous_0b37e9]

Poichè la pallina non è rigidamente vincolata alla corda, in questo esercizio non ha alcun senso. Ti invito a scrivere il secondo principio della dinamica per la sbarra e la pallina nel caso in cui le accelerazioni siano diverse. Orientando l'asse verticale per entrambi verso il basso:

Sbarra

$[Ma_1=Mg-F_a] rarr [a_1=g-F_a/M]$

Pallina

$[ma_2=mg-F_a] rarr [a_2=g-F_a/m]$

Condizione

$[M gt m] rarr [a_1 gt a_2] rarr$

$rarr [1/2a_1t^2=1/2a_2t^2+L] rarr [1/2(g-F_a/M)t^2=1/2(g-F_a/m)t^2+L] rarr [F_a=(2LMm)/(t^2(M-m))]$

Probabilmente ti era sfuggito che la tensione agente sulla sbarra è uguale alla forza di attrito.