Dubbio (teorico) sul teorema di Gauss
Probabilmente la sfera è definita dielettrica perché non è conduttrice (se lo fosse tutta la carica si spalmerebbe sulla buccia e non sarebbe possibile avere $\rho$ costante su tutta la sfera).
Un dielettrico è definito come un oggetto avente dentro una certa densità di dipoli per unità di volume, capace di orientarsi o comunque di modificare il campo con la loro presenza.
Qui invece viene già data $\rho$, pertanto puoi leggere il testo del problema come "una sfera uniformemente carica".
Un dielettrico è definito come un oggetto avente dentro una certa densità di dipoli per unità di volume, capace di orientarsi o comunque di modificare il campo con la loro presenza.
Qui invece viene già data $\rho$, pertanto puoi leggere il testo del problema come "una sfera uniformemente carica".
Risposte
Nel testo è specificato "Una sfera di dielettrico con permittività $\epsilon$? Secondo me, ripeto, non è un dielettrico, il problema verte su una sfera su cui c'è una densità di carica in giro nello spazio. La parola "dielettrico" serve solo a dire "la carica sta ferma lì dov'è.."
Anche perchè la $\epsilon$ serve a tenere conto di come si polarizzano i dipolini costituenti il dielettrico, quindi servono per tenere conto come "cambia" la densità di carica totale (libera e di polarizzazione) sul dielettrico.
Ma qui ti viene dato direttamente la $\rho$. Questa $\rho$ include sia le cariche libere che quelle di polarizzazione.
Anche perchè la $\epsilon$ serve a tenere conto di come si polarizzano i dipolini costituenti il dielettrico, quindi servono per tenere conto come "cambia" la densità di carica totale (libera e di polarizzazione) sul dielettrico.
Ma qui ti viene dato direttamente la $\rho$. Questa $\rho$ include sia le cariche libere che quelle di polarizzazione.
Se prendi due cariche immerse in un dielettrico di permittività $\epsilon$, la forza di Coulomb la scrivi con la $\epsilon$. La sostituzione $\epsilon_0\mapsto\epsilon$ serve a tenere conto di infinite altre cariche che non vedi nel problema ma ci sono perchè sei dentro un dielettrico: le cariche di partenza infatti generano un campo elettrico, il campo elettrico fa polarizzare le molecole del dielettrico, e questo fa si che compaiono delle cariche di polarizzazione (di volume e di superficie). Se la risposta del dielettrico è lineare e isotropa, scriverai
$$\vec D = \epsilon \vec E$$
dove $\vec D = \vec E - \epsilon_0 \vec P$ tiene conto del vettore di polarizzazione (questo sostanzialmente è il dipolo medio contenente in un volumetto infinitesimo. Descrive come le molecole del mezzo si sono orientate). In generale la relazione tra $\vec D$ e $\vec E$ può essere enormemente più complicata.
Il tuo dielettrico comunque è descritto pienamente nel tuo problema con la $\rho$, che include sia le cariche libere che di polarizzazione. L'equazione da risolvere è, in forma integrale
$$\nabla\cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
Non so se ora sono stato chiaro
$$\vec D = \epsilon \vec E$$
dove $\vec D = \vec E - \epsilon_0 \vec P$ tiene conto del vettore di polarizzazione (questo sostanzialmente è il dipolo medio contenente in un volumetto infinitesimo. Descrive come le molecole del mezzo si sono orientate). In generale la relazione tra $\vec D$ e $\vec E$ può essere enormemente più complicata.
Il tuo dielettrico comunque è descritto pienamente nel tuo problema con la $\rho$, che include sia le cariche libere che di polarizzazione. L'equazione da risolvere è, in forma integrale
$$\nabla\cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
Non so se ora sono stato chiaro
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