Dubbio sull'energia erogata da un generatore in un circuito RL?

[Fab527]

So che nel caso in cui un generatore carica un capacitore in un circuito RC il processo ha un rendimento del 50%. Il generatore eroga un'energia pari a $ U = CV^2 $ mentre sul capacitore si accumula $ U_c = 1/2 CV^2$. L'energia è stata dissipata per effetto Joule e/o irraggiamento.

Non so però come avviene il processo in un circuito RL. Dopo un tempo infinito resterà immagazzinata un'energia $ U_i = 1/2 LI^2$ nell'induttore: ma quanta ne è stata erogata dal generatore?

[RenzoDF]

"Fab527":... ma quanta ne è stata erogata dal generatore?

La stessa.

A partire dall'equazione differenziale relativa alla "carica" dell'induttore via generatore di tensione

$L \frac{ d^2 q }{ d t^2}= V$

avremo

$q=\frac{V t^2}{2L}$

ed infine

$ U=\int_{0}^{t}p dt= \int_{0}^{t} V \dot{q}dt=Vq=\frac{1}{2} Li^2 $

La differenza fra carica di C e carica di L via generatore ideale di tensione, porta per la prima ad una rete degenere, dove la variabile di stato vC, va a presentare una discontinuità, nel secondo caso ciò non avviene in quanto la variabile di stato iL va a crescere linearmente senza presentare nessuna discontinuità.

Il paradosso si può presentare anche per l'induttore, ma lascio a te capire cosa manca al "parallelismo" fra i due casi nella tua domanda.

[Fab527]

"RenzoDF":Il paradosso si può presentare anche per l'induttore, ma lascio a te capire cosa manca al "parallelismo" fra i due casi nella tua domanda.

Non so non mi viene in mente niente che porti ad un processo istantaneo per la corrente, nemmeno aggiungendo altri elementi circuitali...

[RenzoDF]

Prova a cercare una qualche dualità osservando le relazioni per l'energia o anche le relazioni costitutive dei due bipoli.

[RenzoDF]

... che possa servire un generatore di corrente?

... e l'interruttore, ovviamente, non possiamo metterglielo in serie!

Ovvero, come completiamo la rete di destra?

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 40 35 50 45 0
MC 85 35 1 0 170
LI 45 25 45 55 0
LI 45 55 85 55 0
LI 85 55 85 45 0
LI 45 25 60 25 0
LI 60 25 70 20 0
LI 70 25 85 25 0
LI 85 25 85 35 0
BE 61 17 65 20 65 23 67 30 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 40 30 4 3 0 1 0 * +
EV 125 35 135 45 0
LI 100 35 105 35 0
LI 105 35 105 30 0
LI 105 30 115 40 0
LI 115 40 105 50 0
LI 105 50 105 45 0
LI 105 45 100 45 0
LI 100 45 100 35 0
LI 125 40 135 40 0
LI 130 35 130 25 0
LI 130 45 130 55 0
MC 165 35 1 0 120
LI 165 25 165 35 0
LI 165 45 165 55 0
TY 147 33 8 6 0 0 0 * ?
MC 139 42 3 0 074
TY 147 19 8 6 0 0 0 * ?
TY 147 49 8 6 0 0 0 * ?[/fcd]

[Fab527]

"RenzoDF":... che possa servire un generatore di corrente?

... e l'interruttore, ovviamente, non possiamo metterglielo in serie!

L'analogia è chiara ma...perchè non si può mettere in serie?

[RenzoDF]

"Fab527":... L'analogia è chiara ma...perchè non si può mettere in serie?

Perché ci sarebbe un conflitto fra due GIC: il primo costituito dal generatore di corrente e il secondo dall'interruttore aperto, che equivale ad un generatore di corrente nulla. La dualità vale anche per gli interruttori: "serie" -> "parallelo", "aperto" -> "chiuso".

Le reti duale saranno quindi le seguenti

[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 180 40 1 0 120
LI 180 30 180 40 0
LI 180 50 180 60 0
EV 35 40 45 50 0
MC 80 40 1 0 170
LI 40 30 40 60 0
LI 40 60 80 60 0
LI 80 60 80 50 0
LI 40 30 55 30 0
LI 180 50 180 60 0
LI 65 30 80 30 0
LI 80 30 80 40 0
BE 56 22 60 25 60 28 62 35 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 35 35 4 3 0 1 0 * +
EV 130 40 140 50 0
LI 130 45 140 45 0
LI 135 40 135 30 0
LI 135 50 135 60 0
MC 180 40 1 0 120
LI 180 30 180 40 0
LI 160 40 160 30 0
MC 144 47 3 0 074
LI 160 60 160 50 0
LI 135 60 180 60 0
LI 135 30 180 30 0
BE 151 49 155 47 158 46 163 45 0
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 160 40 156 40 0
TY 87 42 4 3 0 0 0 * v(0-)=0
TY 85 35 4 3 0 1 0 * +
TY 85 50 4 3 0 1 0 * -
MC 187 43 1 0 074
TY 191 43 4 3 0 0 0 * i(0-)=0
TY 50 15 4 3 0 0 0 * t=0
TY 147 50 4 3 0 0 0 * t=0
LI 55 30 65 25 2
LI 160 50 157 39 2[/fcd]