Dubbio sulla dimostrazione dell'equazione di Young-Laplace
Salve! Mi sono imbattuto in una dimostrazione dell'equazione di Young-Laplace un po' articolata. L'idea di base è quella di sviluppare un bilancio di forza su di una superficie. Il problema è che non capisco i primi passaggi, che riporto di seguito:
Consider an interface separating two immiscible fluids that are in equilibrium with one another. Let these two fluids be denoted 1 and 2. Consider an arbitrary segment $S$ of this interface that is enclosed by some closed curve $ C$ . Let t denote a unit tangent to the curve, and let n denote a unit normal to the interface directed from fluid 1 to fluid 2. (Note that $C$ circulates around n in a right-handed manner. See Figure 3.1.) Suppose that $p_1$ and $p_2$ are the pressures of fluids 1 and 2, respectively, on either side of $S$ . Finally, let $\gamma$ be the (uniform) surface tension at the interface.
The net force acting on $ S$ is
\[ \vec{f}=\int_S (p_1-p_2)\vec{n}dS+\gamma \oint_C \vec{t} \times \vec{n} dr \]
where dS = ndS is an element of $S$ , and dr= tdr an element of $ C$ . Here, the first term on the right-hand side is the net normal force due to the pressure difference across the interface, whereas the second term is the net surface tension force. Note that body forces play no role in Equation (3.1), because the interface has zero volume.
La dimostrazione puoi continua, ma già qua non capisco perché l'integrale circolare della formula rende proprio la forza esercitata dalla tensione superficiale. Qualcuno ha qualche idea? Si dovrebbe avere che $\oint_C \vec{t} \times \vec{n} dr$ rende la lunghezza della curva, tuttavia non ne capisco il motivo :[
Se qualcuno vuole posso lasciare il link dell'intera dimostrazione, non lo faccio adesso perché non so se è consono alle regole ahah
In ogni caso, grazie per l'attenzione!
Consider an interface separating two immiscible fluids that are in equilibrium with one another. Let these two fluids be denoted 1 and 2. Consider an arbitrary segment $S$ of this interface that is enclosed by some closed curve $ C$ . Let t denote a unit tangent to the curve, and let n denote a unit normal to the interface directed from fluid 1 to fluid 2. (Note that $C$ circulates around n in a right-handed manner. See Figure 3.1.) Suppose that $p_1$ and $p_2$ are the pressures of fluids 1 and 2, respectively, on either side of $S$ . Finally, let $\gamma$ be the (uniform) surface tension at the interface.
The net force acting on $ S$ is
\[ \vec{f}=\int_S (p_1-p_2)\vec{n}dS+\gamma \oint_C \vec{t} \times \vec{n} dr \]
where dS = ndS is an element of $S$ , and dr= tdr an element of $ C$ . Here, the first term on the right-hand side is the net normal force due to the pressure difference across the interface, whereas the second term is the net surface tension force. Note that body forces play no role in Equation (3.1), because the interface has zero volume.
La dimostrazione puoi continua, ma già qua non capisco perché l'integrale circolare della formula rende proprio la forza esercitata dalla tensione superficiale. Qualcuno ha qualche idea? Si dovrebbe avere che $\oint_C \vec{t} \times \vec{n} dr$ rende la lunghezza della curva, tuttavia non ne capisco il motivo :[
Se qualcuno vuole posso lasciare il link dell'intera dimostrazione, non lo faccio adesso perché non so se è consono alle regole ahah
In ogni caso, grazie per l'attenzione!
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