Dubbio sulla dimostrazione del teorema Lavoro energia

[dark121it]

Salve a tutti,

stavo tentando di dimostrare il "teorema lavoro-energia" utilizzando una impostazione un po' più "analitica" di quanto di solito non si faccia nei corsi/libri di fisica (o almeno in quelli che io ho visto)
Mi domando se i seguenti passaggi sono giusti:


Sia $\gamma$ un corpo che si muove a causa di una forza $\vec{F}$,
di moto rettilineo. Supponiamo che $\vec{F}$ agisca nella direzione
dello spostamento. Siano $a,b$ 2 generiche posizioni sull'asse $X$, con $a Allora
$\L_{F}=\int_{a}^{b}\vec{F}d\vec{s}$
$=\int_{a}^{b}Fcos(0)ds=\int_{a}^{b}Fds$
$=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{a}^{b}F(x(t))dx(t)$
$=\int_{a}^{b}ma(x(t))dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}[v(x(t))]'dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}v'(x(t))x'(t)dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}v'(x(t))v(t)dx(t)$ (pongo x(t)=u)
$=m\int_{a}^{b}v(t)v'(u))du$
ora istintivamente mi verrebbe di dire che
$m\int_{a}^{b}v(t)v'(u))du=m\int_{v(a)}^{v(b)}v(t)dv$

Tuttavia per applicare la regola di sostituzione, dovrei avere una funzione in "$v(u)$" prima di
$v'(u))du$. Invece mi ritrovo con $v(t)$ che è una funzione in $t$!

e naturalmente a questo punto non so cosa fare!
Dove sbaglio?

Aggiungo che in tutti i libri che ho, NON viene esplicitata mai la dipendenza dei vettori da $t$
oppure da $x(t)$, il che crea una notevole facilitazione nelle dimostrazioni....almeno apparentemente!
Infatti se non avessi "esplicitato" in questo caso, non avrei avuto nessun problema.
Ora, mi domando, i conti non dovrebbero tornare in ogni caso?

Grazie a tutti!

[Sidereus1]

"dark121it":...... Siano $a,b$ 2 generiche posizioni sull'asse $X$, con $a Allora
$\int_{a}^{b}Fds=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{a}^{b}F(x(t))dx(t)$.....

Se $a$ e $b$ sono gli estremi di integrazione rispetto alla variabile $s$ (che nel tuo esempio coincide con la variabile $x$, poiché per ipotesi il moto è rettilineo lungo l'asse $X$), allora

$\int_{a}^{b}Fds=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{t_a}^{t_b}F(x(t))dx(t)=\int_{t_a}^{t_b}ma(t)v(t)dt=\int_{t_a}^{t_b}d/(dt)(1/2mv^2)dt=1/2m(v^2(t_b)-v^2(t_a))$

[dark121it]

"Sidereus":[quote="dark121it"]...... Siano $a,b$ 2 generiche posizioni sull'asse $X$, con $a Allora
$\int_{a}^{b}Fds=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{a}^{b}F(x(t))dx(t)$.....

Se $a$ e $b$ sono gli estremi di integrazione rispetto alla variabile $s$ (che nel tuo esempio coincide con la variabile $x$, poiché per ipotesi il moto è rettilineo lungo l'asse $X$), allora

$\int_{a}^{b}Fds=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{t_a}^{t_b}F(x(t))dx(t)$
$=\int_{t_a}^{t_b}ma(t)v(t)dt=$
$\int_{t_a}^{t_b}d/(dt)(1/2mv^2)dt$
$=1/2m(v^2(t_b)-v^2(t_a))$[/quote]

Scusami ma non ho capito come arrivi da $\int_{t_a}^{t_b}F(x(t))dx(t)$ a
$=\int_{t_a}^{t_b}ma(t)v(t)dt$

Potresti per piacere scrivere tutti i passaggi?

[Fox4]

il $dx(t)$ è lo spostamento infinitesimo al tempo $t$
quindi è dato dalla velocità istantanea al tempo $t$ per il tempo infinitesimo, cioè $dx(t)=v(t)*dt$


o comunque se non ti convince ancora parti dalla definizione di velocità $v(t)=[dx(t)]/[dt]$

che viene fatta così proprio per poter dire $x(t)=\int_0^t v(\tau) d\tau$

[dark121it]

"Fox":il $dx(t)$ è lo spostamento infinitesimo al tempo $t$
quindi è dato dalla velocità istantanea al tempo $t$ per il tempo infinitesimo, cioè $dx(t)=v(t)*dt$

Sì, su questo punto ci siamo. Il fatto è che secondo me
$F=ma\RightarrowF(x(t))=ma(x(t))!=ma(t)$

Cioè non capisco da dove esce $a(t)$! Non dovrebbe essere $a(x(t))$?

[Falco5x]

"dark121it":Sì, su questo punto ci siamo. Il fatto è che secondo me
$F=ma\RightarrowF(x(t))=ma(x(t))!=ma(t)$

Cioè non capisco da dove esce $a(t)$! Non dovrebbe essere $a(x(t))$?

Date due funzioni $x(z)$ e $v(z)$, con z variabile indipendente, è possibile considerare l'insieme delle due funzioni un sistema parametrico con parametro comune $z$.
Se la $x(z)$ è invertibile, è possibile eliminare il parametro e scrivere un'unica funzione $v(x)$. Questa rappresentazione perde però informazione rispetto al sistema originario, per cui per mantenere intatta tutta l'informazione originaria è necessario scrivere il nuovo sistema $v(x)$ e $x(z)$. Tenedo presente ciò, le scritture $v(x)$ e $v(x(z))$ mi sembrano equivalenti.
Ho scritto volutamente z al posto di t per generalizzare. Nel caso sia $z=t$, allora la $v(t)$ è definita come derivata di $x(t)$, per cui tra esse c'è già un legame. Dunque stavolta scrivendo $v(x)$ non è più necessario aggiungere altro, perché questa funzione contiene l'intera informazione in sè, dunque le scritture $v(x)$ oppure $v(x(t))$ mi sembrano equivalenti. Come dire che la funzione $x(t)$ (e qundi cnche la sua derivata $v(t)$) si ottiene semplicemente come soluzione dell'equazione differenziale $(dx)/(dt)=f(x)$, dove $f(x)$ è dunque la velocità in funzione dello spazio.
Per l'accelerazione il discorso è assolutamente analogo.

Mah, non so se è proprio chiaro, forse ho detto delle castronerie oppure delle ovvietà... perdonatemi, in fondo io non sono mica un matematico!

[dark121it]

"Falco5x":[quote="dark121it"]Sì, su questo punto ci siamo. Il fatto è che secondo me
$F=ma\RightarrowF(x(t))=ma(x(t))!=ma(t)$

Cioè non capisco da dove esce $a(t)$! Non dovrebbe essere $a(x(t))$?

Tenedo presente ciò, le scritture $v(x)$ e $v(x(z))$ mi sembrano equivalenti.
Ho scritto volutamente z al posto di t per generalizzare. Nel caso sia $z=t$, allora la $v(t)$ è definita come derivata di $x(t)$, per cui tra esse c'è già un legame. Dunque stavolta scrivendo $v(x)$ non è più necessario aggiungere altro, perché questa funzione contiene l'intera informazione in sè, dunque le scritture $v(x)$ oppure $v(x(t))$ mi sembrano equivalenti.[/quote]

Dunque mi sembra che in pratica tu voglia dire che, per esempio
$F(x(t))=F(x)$ posto che $x(t)=x$
Penso che su questo possiamo essere d'accordo.

Ma penso che converrai che invece $a(x(t))!=a(t)$ in quanto $x(t)!=t$ (a meno che non sia la funzione identica..); perchè è in realtà questa l'operazione che mi sembra di riscontrare!

Tanto per aggiungere un po' di pepe alla discussione , oggi pomeriggio stavo osservando che
$\intF(t)dx(t)=\intma(t)x'(t)dt=\intmv'(t)v(t)dt=\intmv(t)v'(t)dt=m\intvdv=m\frac(v^2)(2)+C$
da cui dovrei conludere che
$L=\intF(t)dx(t)!=\intF(x(t))dx(t) $
(faccio notare che non ho messo gli estremi di integrazione per comodità in quanto mi fanno perdere un sacco di tempo...e mi ci incasino pure! Tanto qui non sono gli estremi il problema....)

Tra l'altro oggi ho chiesto ad un prof. di analisi della mia facoltà, e lui mi ha confermato la correttezza di quest'ultimo passaggio!

In pratica, mi sembra che per dimostrare questo benedetto teorema si debba partire da
$F(t)dx(t)$ piuttosto che da $F(x(t))dx(t)$

Questo fatto mi sconvolgerebbe alquanto! Infatti vorrebbe dire che stiamo cambiando la definizione del lavoro così come ci fa più comodo!!
Insomma, il lavoro è una funzione del tempo oppure dello spazio?

Bho....

[Falco5x]

"dark121it":Dunque mi sembra che in pratica tu voglia dire che, per esempio
$F(x(t))=F(x)$ posto che $x(t)=x$
Penso che su questo possiamo essere d'accordo.

Ma penso che converrai che invece $a(x(t))!=a(t)$ in quanto $x(t)!=t$ (a meno che non sia la funzione identica..); perchè è in realtà questa l'operazione che mi sembra di riscontrare!

Temo che tu abbia fatto un po' di confusione. Capiamoci: con la scrittura $a(x)$ si intende la dipendenza della accelerazione dallo spazio. Siccome poi esiste la relazione $x(t)$ allora si può anche abbreviare scrivendo $a(t)$ anzichè $a(x(t))$ però questa scrittura serve a dire che la variabile dipendente a dipende dalla variabile x che a sua volta dipende dalla variabile indipendente t, ma la funzione che esprime la relazione con t è formalmente diversa da quella che esprime la relazione con x.
Ad esempio sia $x=2t^2-t^4$; da qui si desume $v(t)=4t-4t^3$ e $a(t)=4-12t^2$. Se però consideriamo l'accelerazione come dipendente da x allora dobbiamo prima invertire la funzione spazio-tempo facendola diventare $t=\sqrt(1+\sqrt(1-x))$ e quindi $a(x)=4-12(1+\sqrt(1-x))$. Come vedi la $a(x)$ è formalmente ben diversa dalla $a(t)$, anche se sostanzialmente è sempre la stessa funzione, nel senso che riportata su un grafico avente in ascissa t, la $a(x)$ (dove $x=x(t)$) e la $a(t)$ si sovrappongono.

[dark121it]

"Falco5x":[quote="dark121it"]Dunque mi sembra che in pratica tu voglia dire che, per esempio
$F(x(t))=F(x)$ posto che $x(t)=x$
Penso che su questo possiamo essere d'accordo.

Ma penso che converrai che invece $a(x(t))!=a(t)$ in quanto $x(t)!=t$ (a meno che non sia la funzione identica..); perchè è in realtà questa l'operazione che mi sembra di riscontrare!

Temo che tu abbia fatto un po' di confusione. Capiamoci: con la scrittura $a(x)$ si intende la dipendenza della accelerazione dallo spazio. Siccome poi esiste la relazione $x(t)$ allora si può anche abbreviare scrivendo $a(t)$ anzichè $a(x(t))$ però questa scrittura serve a dire che la variabile dipendente a dipende dalla variabile x che a sua volta dipende dalla variabile indipendente t, ma la funzione che esprime la relazione con t è formalmente diversa da quella che esprime la relazione con x.
Ad esempio sia $x=2t^2-t^4$; da qui si desume $v(t)=4t-4t^3$ e $a(t)=4-12t^2$. Se però consideriamo l'accelerazione come dipendente da x allora dobbiamo prima invertire la funzione spazio-tempo facendola diventare $t=\sqrt(1+\sqrt(1-x))$ e quindi $a(x)=4-12(1+\sqrt(1-x))$. Come vedi la $a(x)$ è formalmente ben diversa dalla $a(t)$, anche se sostanzialmente è sempre la stessa funzione, nel senso che riportata su un grafico avente in ascissa t, la $a(x)$ (dove $x=x(t)$) e la $a(t)$ si sovrappongono.[/quote]

Allora, sicuramente io avevo inteso la tua scrittura in un altro modo.
Vediamo se riesco a "tradurre" quello che dici in una mia notazione:
$x(t)=2t^2-t^4\Rightarrowa(t)=4-12t^2$
Se pongo $x(t)=y$ e la funzione $x$ è invertibile, posso scrivere
$x^(-1)(x(t))=t=x^(-1)(y)=g(y)\Rightarrowt=g(y)$
nel nostro caso $g(y)=\sqrt(1+\sqrt(1-y))$
Ora visto che $t=g(y)\Rightarrowa(t)=a(g(y))=4-12(sqrt(1+\sqrt(1-y)))^2$

Devo dire che però trovo la tua notazione ambigua (ma credo che non sia solo "tua" in effetti...). Uno potrebbe pensare che la funzione $a(x(t))$ sia la composta di $a$ con $x$,
e non la composta di $a$ con $g$; voglio dire che per me
$a(x(t))=4-12(2t^2-t^4)^2$ e dunque una funzione nella variabile $t$, non nella variabile $x$.
Comunque, tu intendi dire che la scrittura che trovo in fisica (per esempio $L=\intF(x)dx$) va intesa secondo la tua spiegazione? Cioè, secondo la mia notazione verrebbe
$L=\intF(g(y))dg(y)$?

[Falco5x]

Credo che l'equivoco discenda da alcune (brutte?) abitudini dei fisici, per i quali le lettere x, v, a, t hanno significato di variabile a volte dipendente, a volte indipendente, non di funzione. Credo che la scrittura corretta dovrebbe essere:

x=f(t) mentre i fisici scrivono x(t)
a=g(t) mentre i fisici scrivono a(t)
a=h(x) mentre i fisici scrivono a(x)
a=h[f(t)] mentre i fisici scrivono a(t)

Insomma le lettere prima della parentesi per i fisici sono delle variabili dipendenti non il simbolo di una funzione, che è invece sottintesa e può avere formula matematica di volta in volta diversa a seconda della variabile dipendente scelta.

Ma di tutto ciò non sono affatto sicuro, servirebbe il parere di un matematico (possibilmente comprensibile )

[Sidereus1]

Ne avevo già parlato qui.

Quando i fisici denotano le grandezze cinematiche con i simboli $\vecr$, $\vecv$, $\veca$, etc. intendono rappresentare invarianti geometrici, e non terne di funzioni. Per esempio, l'invariante geometrico $\vecr$ (detto vettore posizione)ammette molte rappresentazioni analitiche diverse, a seconda del sistema di coordinate usato:

$(x(t), y(t), z(t))$ denota $\vecr$ in coordinate cartesiane;

$(r(t)cos\phi(t)cos\theta(t),r(t)cos\phi(t)sin\theta(t), r(t)sin\phi(t))$ denota $\vecr$ in coordinate sferiche;

$(\rho(t)cos\phi(t),\rho(t)sin\phi(t), z(t))$ denota $\vecr$ in coordinate cilindriche;

..... etc...

Analoghe considerazioni valgono per $\vecv$, $\vecE$, $\veca$, e così via.

L'invarianza di queste grandezze (posizione, velocità, accelerazione, modulo, campo elettrico...) è intesa rispetto a certi gruppi di trasformazioni dello spazio: per esempio le isometrie oppure le trasformazioni galileiane, a seconda del problema.

[dark121it]

"Falco5x":Credo che l'equivoco discenda da alcune (brutte?) abitudini dei fisici, per i quali le lettere x, v, a, t hanno significato di variabile a volte dipendente, a volte indipendente, non di funzione. Credo che la scrittura corretta dovrebbe essere:

x=f(t) mentre i fisici scrivono x(t)
a=g(t) mentre i fisici scrivono a(t)
a=h(x) mentre i fisici scrivono a(x)
a=h[f(t)] mentre i fisici scrivono a(t)

Insomma le lettere prima della parentesi per i fisici sono delle variabili dipendenti non il simbolo di una funzione, che è invece sottintesa e può avere formula matematica di volta in volta diversa a seconda della variabile dipendente scelta.

Ma di tutto ciò non sono affatto sicuro, servirebbe il parere di un matematico (possibilmente comprensibile )

Credo di essere d'accordo con te.

Ora però mi sorge spontanea una domanda: chi li autorizza a fare ciò?
Voglio dire, cioè, che il linguaggio delle funzioni è stato definito usando certe regole; percui non si può utilizzarlo prescindendo da tali regole (che tra l'altro hanno delle motivazioni logiche ben fondate, non sono mica state inventate per caso...).
Tanto per fare un paragone, tu acceteresti un letterato italiano che incominciasse a scrivere le "è" senza l'accento perchè gli fa comodo?NO!
E allora perchè io dovrei accettare il linguaggio "sgrammaticato" dei fisici?

"Sidereus":
Quando i fisici denotano le grandezze cinematiche con i simboli $\vecr$, $\vecv$, $\veca$, etc. intendono rappresentare invarianti geometrici, e non terne di funzioni. Per esempio, l'invariante geometrico $\vecr$ (detto vettore posizione)ammette molte rappresentazioni analitiche diverse, a seconda del sistema di coordinate usato

Credo di aver capito cosa intendi; ma bisogna considerare che le definizioni sono tali perchè non devono variare nel corso della discussione.
Ora, tu come definiresti $\vecv$?
Se tu mi dicessi "$\vecv=\frac(d\vecs)(dt)$" vuol dire che nell'ambito della discussione, tu NON potresti più prescindere dal fatto che stai calcolando la derivata di una funzione rispetto al tempo. Cioè, non potresti poi cambiare le carte in tavola qual'ora ti facesse comodo cambiare la variabile rispetto a cui l'hai definita!
In sostanza, a me sembra che la notazione vettoriale serva ad "evitare di esporsi" nel senso che non si capisce mai rispetto a che cosa si calcolano le funzioni; dunque è facile "cambiarle" durante il tragitto (non so se mi spiego...)

Tra l'altro, mi piacerebbe porre ai fisici la seguente "sfida":
i vettori servono quando si parla di 2 o più dimensioni. Ma nel caso di moto in una sola dimensione (rettilineo) non ne abbiamo bisogno. Dunque tutte le definizioni potrebbero essere date (in quest ambito!) senza bisogno della notazione vettoriale.
A questo punto il motivo dell'ambiguità sparisce.
E allora, possiamo definire con le sole funzioni tutte le grandezze di cui abbiamo bisogno;

A questo punto, voglio proprio vedere come verrebbero svolte le dimostrazioni dei teoremi, essendo forzati a dichiarare per bene funzioni e variabili!



PS: ma alla fine concordate che posso definire il lavoro come
$L=\int_{t_0}^{t_1}F(t)v(t)dt$?

[Fox4]

"dark121it":[quote="Fox"]il $dx(t)$ è lo spostamento infinitesimo al tempo $t$
quindi è dato dalla velocità istantanea al tempo $t$ per il tempo infinitesimo, cioè $dx(t)=v(t)*dt$

Sì, su questo punto ci siamo. Il fatto è che secondo me
$F=ma\RightarrowF(x(t))=ma(x(t))!=ma(t)$

Cioè non capisco da dove esce $a(t)$! Non dovrebbe essere $a(x(t))$?[/quote]

$F(t)$ viene detto in gergo un abuso di notazione, e come giustamente tu noti, lo è davvero! un abuso.

$F$ è una funzione delle coordinate ok $F:\mathbb{R}^3->\mathbb{R}^3$

$a$ NO! $a:\mathbb{R}^+ ->\mathbb{R}^3$


considera che hai una curva in $\mathbb[R}^3$ ovvero un tragitto in funzione del tempo $x:\mathbb{R}^+ ->\mathbb{R}^3$. Se derivi due volte rispetto al tempo questa curva ottieni $a(t)$.
Ovvero $a(t)=[d^2x(t)]/[dt^2]$




A questo punto Newton ti dice che vale la relazione: $F(x(t))=m*a(t)$ ma non è che siccome $F$ è funzione di $x(t)$ lo dovrà essere per forza anche $a$.

Cioè il senso, per dartela in maniera intuitiva, perché forse non sai formalmente ancora cos'è una curva,
$F$ è definita su tutto $\mathbb{R}^3$, ma la particella sente l'intensità della forza $F$ soltanto nei punti in cui passa, ovvero $x(t)$. Adesso si capisce (forse, se sono stato bravo) che può essere utile considerare il nostro abuso $F(t)$ che in realtà simboleggia che sto considerando la restrizione del campo $F$ all'immagine della curva nello spazio.

Comunque concordo che all'inizio questa notazione implicita confonde solo le idee e andrebbe evitata.

Se ti interessa posso scriverti qualche passaggio veloce per farti capire l'idea di curva un pò meglio...

[dark121it]

Sì, mi faresti davvero un grande favore perchè, in verità, ho un po' difficoltà a seguirti

[Sidereus1]

"dark121it":
Ora, tu come definiresti $\vecv$?
Se tu mi dicessi "$\vecv=\frac(d\vecs)(dt)$" vuol dire che nell'ambito della discussione, tu NON potresti più prescindere dal fatto che stai calcolando la derivata di una funzione rispetto al tempo. Cioè, non potresti poi cambiare le carte in tavola qual'ora ti facesse comodo cambiare la variabile rispetto a cui l'hai definita!
In sostanza, a me sembra che la notazione vettoriale serva ad "evitare di esporsi" nel senso che non si capisce mai rispetto a che cosa si calcolano le funzioni; dunque è facile "cambiarle" durante il tragitto (non so se mi spiego...)

Mi sembra che ti siano state date un po' tutte le risposte, ma tu ti ostini a cercare una giustificazione delle equazioni della meccanica servendoti soltanto dell'analisi matematica e ignorando completamente la geometria analitica.

Una curva regolare ha una serie di proprietà intrinseche che non dipendono dai parametri che scegliamo per rappresentarla: per esempio il versore tangente, la lunghezza, la curvatura, la torsione...

Il parametro $t$ che si usa in fisica appare privilegiato perché il secondo è una delle grandezze fondamentali, insieme al metro e al chilogrammo. Tuttavia, esso non ha nessun ruolo speciale rispetto a qualsiasi altro parametro utile a rappresentare un arco di curva regolare. Infatti, ogni altro parametro $u=f(t)$ (dove $f$ è una bijezione di classe $C^1$ tra opportuni intervalli di numeri reali) è ugualmente valido per rappresentare le proprietà intrinseche dell'arco di curva regolare.

Il fatto di definire $\vecv=(d\vecr)/(dt)$ significa semplicemente che puoi anche scrivere $\vecv=(d\vecr)/(du)(du)/(dt)$, in caso di cambiamento di parametro.

[Fox4]

"dark121it":Sì, mi faresti davvero un grande favore perchè, in verità, ho un po' difficoltà a seguirti

Va bene, io penso che non serva molta roba.

Considera di avere una particella nello spazio, la fisica ci dice che essa in prima approssimazione è unicamente caratterizzata dalla sua Massa e dalla sua Posizione. Non ci servirà sapere altro.
La massa è una costante appartenente a $\mathbb{R}$

La posizione la vediamo come una funzione di $t$. Sai cos'è $\mathbb{R}^3$ vero? (Mi auguro di si, altrimenti sto per fare un discorso inutile , anche se non lo sai spero sarà ovvio dal resto del mio discorso)
$x:\mathbb{R}^+ ->\mathbb{R}^3$ cioè è funzione del tempo (considero solo i reali positivi) e va nello spazio (a priori in tutto lo spazio),
insomma si può vedere la curva come un punto dipendente da un parametro $x(t)=((x_1(t)),(x_2(t)),(x_3(t)))$, le tre coordinate variano in funzione del tempo.

ora $[dx(t)]/[dt]=(([dx_1(t)]/[dt]),([dx_2(t)]/[dt]),([dx_3(t)]/[dt]))$

adesso non dovrai avere difficoltà (credo) ad interpretare il mio discorso di prima...
In particolare il discorso su $F$ che è una funzione che associa un vettore ad ogni punto di $\mathbb{R}^3$;

ora, chiaramente la particella sente la forza nei punti in cui passa;

ovvero:
la forza sentita dalla particella all'istante $t$, essendo $x(t)$ la sua posizione, sarà $F(x(t))$ ! ok?

P.S. Una curiosità, tu fai fisica?

[dark121it]

"Fox":[quote="dark121it"]Sì, mi faresti davvero un grande favore perchè, in verità, ho un po' difficoltà a seguirti

Va bene, io penso che non serva molta roba.

Considera di avere una particella nello spazio, la fisica ci dice che essa in prima approssimazione è unicamente caratterizzata dalla sua Massa e dalla sua Posizione. Non ci servirà sapere altro.
La massa è una costante appartenente a $\mathbb{R}$

La posizione la vediamo come una funzione di $t$. Sai cos'è $\mathbb{R}^3$ vero? (Mi auguro di si, altrimenti sto per fare un discorso inutile , anche se non lo sai spero sarà ovvio dal resto del mio discorso)
$x:\mathbb{R}^+ ->\mathbb{R}^3$ cioè è funzione del tempo (considero solo i reali positivi) e va nello spazio (a priori in tutto lo spazio),
insomma si può vedere la curva come un punto dipendente da un parametro $x(t)=((x_1(t)),(x_2(t)),(x_3(t)))$, le tre coordinate variano in funzione del tempo.

ora $[dx(t)]/[dt]=(([dx_1(t)]/[dt]),([dx_2(t)]/[dt]),([dx_3(t)]/[dt]))$

adesso non dovrai avere difficoltà (credo) ad interpretare il mio discorso di prima...
In particolare il discorso su $F$ che è una funzione che associa un vettore ad ogni punto di $\mathbb{R}^3$;

ora, chiaramente la particella sente la forza nei punti in cui passa;

ovvero:
la forza sentita dalla particella all'istante $t$, essendo $x(t)$ la sua posizione, sarà $F(x(t))$ ! ok?

P.S. Una curiosità, tu fai fisica?[/quote]

Grazie per la spiegazione

Intanto ti dico che NON faccio fisica ma studio Matematica.
Tuttavia la fisica è una materia che mi interessa moltissimo; anzi, personalmente penso che la matematica senza la fisica non avrebbe senso (se non come puro esercizio mentale).

Ciò detto, devo dire che la tua spiegazione l'ho letta con molto interesse.
Tuttavia i dubbi che io avevo non riguardavano $\mathbb{R}^3$ ma riguardavano proprio $\mathbb{R}$ (a meno che tu non li abbia chiariti ed io non me ne sia accorto...)! Infatti, se noti, la definizione del lavoro che ho citato all'inizio del post, era quella che normalmente viene data in una dimensione.
In pratica, stavo ragionando su 1 dimensione proprio per svincolarmi dai problemi riguardanti più dimensioni, e per cercare di mettermi nella situazione + semplice possibile.

Comunque la cosa su cui vorrei infine una risposta secca è:
Posto che $F=ma$ per definizione, nel momento in cui voglio calcolare la forza ( e dunque mi servono le variabili) qual'è second voi la formulazione corretta?(NB: ragioniamo in una dimensione, così è piu facile, please...)
a)F(t)=ma(t)
b)F(x(t))=ma(t)
c)F(x(t))=ma(x(t))
d)Nessuna delle precedenti. Dipende caso per caso.

[Fox4]

"Fox":

considera che hai una curva in $\mathbb[R}^3$ ovvero un tragitto in funzione del tempo $x:\mathbb{R}^+ ->\mathbb{R}^3$. Se derivi due volte rispetto al tempo questa curva ottieni $a(t)$.
Ovvero $a(t)=[d^2x(t)]/[dt^2]$

A questo punto Newton ti dice che vale la relazione: $F(x(t))=m*a(t)$ ma non è che siccome $F$ è funzione di $x(t)$ lo dovrà essere per forza anche $a$.

cos'è che non ti torna? Penso di non aver capito...

[dark121it]

Se tu hai $x(t)=t^3$ allora $v(t)=3t^2$ e $a(t)=6t$
Poiche $F=ma\RightarrowF=ma(t)=m6t$. Dunque F è una funzione nella variabile $t$ e dovremmo scrivere con una notazione più corretta:
$ F(t)=ma(t)=m6t$
Calcoliamo invece $F(x(t))$.
Risulta $F(x(t))=F(t^3)=m6(t^3)=m6t^3!=m6t=ma(t)$
e quindi $F(x(t))!=ma(t)$

[Sidereus1]

"dark121it":Se tu hai $x(t)=t^3$ allora $v(t)=3t^2$ e $a(t)=6t$
Poiche $F=ma\RightarrowF=ma(t)=m6t$. Dunque F è una funzione nella variabile $t$ e dovremmo scrivere con una notazione più corretta:
$ F(t)=ma(t)=m6t$
Calcoliamo invece $F(x(t))$.
Risulta $F(x(t))=F(t^3)=m6(t^3)=m6t^3!=m6t=ma(t)$
e quindi $F(x(t))!=ma(t)$

Ma cosa dici...

Se $x(t)=t^3$ allora $t=root(3)(x)$, quindi $F(t)=ma(t)=m6t=m6root(3)(x)=\phi(x)$

[Fox4]

No ma mi sa che non hai capito...

$F$ è un'entità a sè. E' un campo di forze. Ad esempio la forza elastica. $F=-k(x-x_0)$ che tende a richiamare verso la posizione di equilibrio $x_0$.

l'accelerazione invece è un'altra entità. E' precisamente la derivata seconda della tua curva $x(t)$ che in questo caso è in 1D.


E qui arriva il genio di Newton. Queste cose sono proporzionali! La costante che determina tale proporzionalità viene allora definita massa.

la cosa corretta è che ottieni un'equazione differenziale dalla quale puoi ricavare la funzione $x(t)$ ovvero: $mx''=-k(x-x_0)$