Dubbio sulla dimostrazione del teorema Lavoro energia
Salve a tutti,
stavo tentando di dimostrare il "teorema lavoro-energia" utilizzando una impostazione un po' più "analitica"
di quanto di solito non si faccia nei corsi/libri di fisica (o almeno in quelli che io ho visto)
Mi domando se i seguenti passaggi sono giusti:
Sia $\gamma$ un corpo che si muove a causa di una forza $\vec{F}$,
di moto rettilineo. Supponiamo che $\vec{F}$ agisca nella direzione
dello spostamento. Siano $a,b$ 2 generiche posizioni sull'asse $X$, con $a
$\L_{F}=\int_{a}^{b}\vec{F}d\vec{s}$
$=\int_{a}^{b}Fcos(0)ds=\int_{a}^{b}Fds$
$=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{a}^{b}F(x(t))dx(t)$
$=\int_{a}^{b}ma(x(t))dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}[v(x(t))]'dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}v'(x(t))x'(t)dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}v'(x(t))v(t)dx(t)$ (pongo x(t)=u)
$=m\int_{a}^{b}v(t)v'(u))du$
ora istintivamente mi verrebbe di dire che
$m\int_{a}^{b}v(t)v'(u))du=m\int_{v(a)}^{v(b)}v(t)dv$
Tuttavia per applicare la regola di sostituzione, dovrei avere una funzione in "$v(u)$" prima di
$v'(u))du$. Invece mi ritrovo con $v(t)$ che è una funzione in $t$!
e naturalmente a questo punto non so cosa fare!
Dove sbaglio?
Aggiungo che in tutti i libri che ho, NON viene esplicitata mai la dipendenza dei vettori da $t$
oppure da $x(t)$, il che crea una notevole facilitazione nelle dimostrazioni....almeno apparentemente!
Infatti se non avessi "esplicitato" in questo caso, non avrei avuto nessun problema.
Ora, mi domando, i conti non dovrebbero tornare in ogni caso?
Grazie a tutti!
stavo tentando di dimostrare il "teorema lavoro-energia" utilizzando una impostazione un po' più "analitica"
di quanto di solito non si faccia nei corsi/libri di fisica (o almeno in quelli che io ho visto)Mi domando se i seguenti passaggi sono giusti:
Sia $\gamma$ un corpo che si muove a causa di una forza $\vec{F}$,
di moto rettilineo. Supponiamo che $\vec{F}$ agisca nella direzione
dello spostamento. Siano $a,b$ 2 generiche posizioni sull'asse $X$, con $a
$\L_{F}=\int_{a}^{b}\vec{F}d\vec{s}$
$=\int_{a}^{b}Fcos(0)ds=\int_{a}^{b}Fds$
$=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{a}^{b}F(x(t))dx(t)$
$=\int_{a}^{b}ma(x(t))dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}[v(x(t))]'dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}v'(x(t))x'(t)dx(t)$
$=m\int_{a}^{b}v'(x(t))v(t)dx(t)$ (pongo x(t)=u)
$=m\int_{a}^{b}v(t)v'(u))du$
ora istintivamente mi verrebbe di dire che
$m\int_{a}^{b}v(t)v'(u))du=m\int_{v(a)}^{v(b)}v(t)dv$
Tuttavia per applicare la regola di sostituzione, dovrei avere una funzione in "$v(u)$" prima di
$v'(u))du$. Invece mi ritrovo con $v(t)$ che è una funzione in $t$!
e naturalmente a questo punto non so cosa fare!
Dove sbaglio?
Aggiungo che in tutti i libri che ho, NON viene esplicitata mai la dipendenza dei vettori da $t$
oppure da $x(t)$, il che crea una notevole facilitazione nelle dimostrazioni....almeno apparentemente!
Infatti se non avessi "esplicitato" in questo caso, non avrei avuto nessun problema.
Ora, mi domando, i conti non dovrebbero tornare in ogni caso?
Grazie a tutti!
Risposte
$F(x(t))$ ed $F(t)$ sono la stessa funzione, nel tuo caso $6mt$ (con apportune unità di misura ai coefficienti). Nel primo caso semplicemente sottolinei che stai valutando la funzione "forza" generica che permea tutto lo spazio, "sezionandola" su una particolare traiettoria dello spazio che compie la particella nel suo moto. Nel secondo tutto ciò è implicito e dici che F(t) è la funzione forza che agisce sulla particella ad ogni istante. Implicito secondo me non vuol dire per nulla abuso di notazione. Anzi, secondo me è il modo + naturale e giusto, anche perchè se non c'è un campo di forze in tutto lo spazio, la scrittura F(x(t)) mi sembra pesante, inutile, ed un po' anche imprecisa.
Ad ogni modo le cose non cambiano, e il modo in cui valuti tu F(x(t)) è scorretto. Se vuoi, per essere precisi precisi si dovrebbe scrivere che $F(t) = F'(x(t))$ ossia se si vuole proprio mettere in evidenza la dipendenza della forza dal vettore posizione, la funzione F' che esprime questa relazione è diversa dalla relazione F che lega direttamente la forza al tempo.
Ad ogni modo le cose non cambiano, e il modo in cui valuti tu F(x(t)) è scorretto. Se vuoi, per essere precisi precisi si dovrebbe scrivere che $F(t) = F'(x(t))$ ossia se si vuole proprio mettere in evidenza la dipendenza della forza dal vettore posizione, la funzione F' che esprime questa relazione è diversa dalla relazione F che lega direttamente la forza al tempo.
"giacor86":
$F(x(t))$ ed $F(t)$ sono la stessa funzione...
Neanche per sogno
Se $x(t)=t^3$ allora $t=root(3)(x)$, quindi $F(t)=ma(t)=m6t=m6root(3)(x)=\phi(x)$
Diverso è dire che $F$ e $\phi$ sono ugualmente valide per rappresentare la forza unidimensionale che agisce lungo la retta. In tal caso, supponendo che $\vecu$ sia un versore parallelo alla retta e applicato in un suo punto $O$, possiamo anche scrivere che
$\vecF=F(t)\vecu=\phi(x)\vecu$
Col passaggio che hai quotato te, intendevo dire che la forza agente, indipendentemente da come la si vuole descrivere, deve essere sempre la stessa. Sull'usare lo stesso simbolo F hai ragione, è un'imprecisione di cui ho però parlato alla finee del post.Te la chiami $phi(x)$, io l'ho chiamata $F'(x)$. Non credo cambi nulla però.
"giacor86":
Nel secondo tutto ciò è implicito e dici che F(t) è la funzione forza che agisce sulla particella ad ogni istante. Implicito secondo me non vuol dire per nulla abuso di notazione. Anzi, secondo me è il modo + naturale e giusto, anche perchè se non c'è un campo di forze in tutto lo spazio, la scrittura F(x(t)) mi sembra pesante, inutile, ed un po' anche imprecisa.
è la scrittura $F(t)$ ad essere imprecisa, perchè $F$ è il campo! Per definizione prende in ingresso una posizione, non un tempo. $F(x(t))$ è la scrittura matematicamente corretta.
Nel caso unidimensionale lo vedi male ma se leggi i miei post precedenti ti accorgi subito che se vai in $\mathbb{R}^3$ la scorrettezza di $F(t)$ salta subito all'occhio. Stai infatti passando un valore scalare ad una funzione che riceve in ingresso un vettore.
Si dovrebbe scrivere al massimo $F'(t)=F(x(t))$ per non portarsi dietro una notazione che secondo te è scomoda. Ma la $F'$ andrebbe definita. Tutto ciò invece è implicito in $F(t)$.
"giacor86":
Col passaggio che hai quotato te, intendevo dire che la forza agente, indipendentemente da come la si vuole descrivere, deve essere sempre la stessa.
Perfetto. Infatti, come ho cercato di spiegare qui (evidentemente senza successo), le grandezze fisiche debbono essere pensate come degli invarianti rispetto a certi gruppi di trasformazioni.
Nell'esempio proposto da dark121it, l'invariante è la forza $\vecF$ e il gruppo di trasformazioni è la classe dei diffeomorfismi del tipo $u=f(t)$ che permettono di scambiare il parametro $t$ con un altro parametro $u$.
"Fox":
è la scrittura $F(t)$ ad essere imprecisa, perchè $F$ è il campo! Per definizione prende in ingresso una posizione, non un tempo. $F(x(t))$ è la scrittura matematicamente corretta.
Nel caso unidimensionale lo vedi male ma se leggi i miei post precedenti ti accorgi subito che se vai in $\mathbb{R}^3$ la scorrettezza di $F(t)$ salta subito all'occhio. Stai infatti passando un valore scalare ad una funzione che riceve in ingresso un vettore.
Si dovrebbe scrivere al massimo $F'(t)=F(x(t))$ per non portarsi dietro una notazione che secondo te è scomoda. Ma la $F'$ andrebbe definita. Tutto ciò invece è implicito in $F(t)$.
Secondo me non è che uno dei 2 modi è migliore rispetto all'altro. Dipende da cosa si vuole fare nel problema. La scrittura $F(t)$ secondo me ha pienamente senso, certo non come campo di forze, ma come legge che descrive la forza agente sul punto materiale ad ogni istante di tempo.
Che poi la $F'(x(t),dot x(t), t)$ (perchè per essere rigorosi, F può dipendere non solo dalla posizione ma anche dalla velocità e dal tempo stesso e quindi in generale è un campo da $RR^7 -> RR^3$) è di solito il punto di partenza per arrivare ad $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$ ed a $F(t)$ sono daccordo. Ma allo stesso modo, se il problema ci fornisse $F(t)$ e ci dicesse di trovare $F'(x(t),dot x(t), t)$ saremmo capaci lo stesso (analiticamente o meno).
l'importante è che alla fine $F'(x(t),dot x(t), t)$ valutata nelle variabili cinematiche x e v del moto sia esattamente uguale ad $F(t)$.
Comunque a mio modo di vedere la cosa (ma questo è opinabile.. filosofia forse), se si vuole parlare del II principio di Newton "in se" e capire il suo senso fisico è meglio vederlo come $F(t) = ma(t)$, perchè ci dice proprio in formule, quello che vuole significare, ovvero che l'accelerazione che subisce un corpo in ogni istante è direttamente proporzionale alla forza in quell'istante.
"Sidereus":
[quote="dark121it"]Se tu hai $x(t)=t^3$ allora $v(t)=3t^2$ e $a(t)=6t$
Poiche $F=ma\RightarrowF=ma(t)=m6t$. Dunque F è una funzione nella variabile $t$ e dovremmo scrivere con una notazione più corretta:
$ F(t)=ma(t)=m6t$
Calcoliamo invece $F(x(t))$.
Risulta $F(x(t))=F(t^3)=m6(t^3)=m6t^3!=m6t=ma(t)$
e quindi $F(x(t))!=ma(t)$
Ma cosa dici...
Se $x(t)=t^3$ allora $t=root(3)(x)$, quindi $F(t)=ma(t)=m6t=m6root(3)(x)=\phi(x)$[/quote]
1)Quindi la "$x(t)$" dentro la F, va interpretata come se fosse una variabile indipendente, e non come se fosse una funzione?
2)Ma se fosse così, che notazione useresti per indicare la funzione composta di $F(t)=m6t$ con la funzione $x(t)=t^3$ (per intenderci quella che io "chiamo" $F(x(t))$)?
3)Mi sembra che per la descrizione che tu mi hai dato della notazione le cose tornino;
Cioè $F(t)=ma(t)=m6t=m6root(3)(x)=\phi(x)$
Quindi vale l'uguaglianza (a parte gli estremi di integrazione...)
$L=\intF(x)dx=\int\phi(x)dx\intm6tdx=\intma(t)dx$
$=\intma(t)dx(t)=\intma(t)x'(t)dt=\intma(t)v(t)dt$ ?
@giacor86: Sono d'accordo con quasi tutto ciò che scrivi, è una questione di punti di vista... basta restare consistenti con le notazioni usate
Il problema è che quella scrittura può generare confusione in uno studente alle prime armi.
In effetti poi si usa spesso perchè $F(t)$, è la parte del campo di forze che ci interessa, perchè la particella passa solo da quei punti.
Qualche post fa dissi che comunque quella scrittura ha una sua utilità, ma dovendo rispondere alla domanda del topic non era questo l'argomento principale,
ma far capire che cosa significasse, perchè vista agli inizi quella scrittura lì è ambigua.
@dark121it: Ti consiglio di rileggere con calma tutti i post dall'inizio...
"giacor86":
Comunque a mio modo di vedere la cosa (ma questo è opinabile.. filosofia forse), se si vuole parlare del II principio di Newton "in se" e capire il suo senso fisico è meglio vederlo come $F(t) = ma(t)$, perchè ci dice proprio in formule, quello che vuole significare, ovvero che l'accelerazione che subisce un corpo in ogni istante è direttamente proporzionale alla forza in quell'istante.
Il problema è che quella scrittura può generare confusione in uno studente alle prime armi.
In effetti poi si usa spesso perchè $F(t)$, è la parte del campo di forze che ci interessa, perchè la particella passa solo da quei punti.
Qualche post fa dissi che comunque quella scrittura ha una sua utilità, ma dovendo rispondere alla domanda del topic non era questo l'argomento principale,
ma far capire che cosa significasse, perchè vista agli inizi quella scrittura lì è ambigua.
@dark121it: Ti consiglio di rileggere con calma tutti i post dall'inizio...
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