Dubbio su un esercizio

[R.Russo1]

Ciao a tutti. Ho un dubbio sul terzo punto di questo esercizio. "Un disco rigido, di massa $ m=40kg $ e raggio $ R=16cm $ è posto in un piano orizzontale e può ruotare attorno ad un asse verticale passante a distanza $ d=9cm $ dal centro del disco. Il bordo del disco è a contatto con un anello di raggio $ r=R+d $ che tramite un opportuno meccanismo non disegnato può ruotare attorno allo stesso asse in modo tale che, in caso di moto relativo tra disco e anello, si sviluppi una forza di attrito radente $ F=6N $ , tangente all'anello; la massa dell'anello è uguale a quella del disco (la forza $ F $ è l'unica forza di attrito presente nel sistema) . Inizialmente disco e anello sono fermi; al tempo $ t=0s $ viene applicato un momento costante all'asse $ M=2,22Nm $ così che il disco entra in rotazione; l'anello viene invece mantenuto fermo. 1) Calcolare la velocità angolare del disco al tempo $ t_1=10s $ . Nell'istante $ t_1 $ , l'anello viene lasciato libero e inizia anch'esso a ruotare trascinato dal disco. 2) Calcolare la velocità angolare dell'anello al tempo $ t_2=20s $ . Nell'istante $ t_2 $ viene staccato il motore che forniva il momento $ M $ e si osserva che al tempo $ t_3 $ disco e anello hanno la stessa velocità angolare. Calcolare: 3) l'energia cinetica del sistema disco-anello al tempo $ t_3 $; 4) il lavoro complessivo $ W_i $ svolto dalle forze interne nell'intervallo di tempo da $ t=0s $ a $ t_3 $.
Come dicevo ho un dubbio riguardo il terzo punto. Ho immediatamente posto $ E_k=1/2 I_somega^2 $ dove $ I_s $ è l'inerzia del sistema disco-anello, ed $ omega $ la velocità angolare al $ t_3 $ . Non riuscendomi a trovare la $ omega $ ho controllato nelle soluzioni ed il libro propone $ I_1omega_1+I_2omega_2=(I_1+I_2)omega $ dove $ omega_1 $ sarebbe la velocità del disco al tempo $ t_2 $ che lui calcola come $ omega_1(t_2)=alpha_1t_2 $ , mentre la la seconda $ omega_2 $ è nota perché calcolata nel punto precedente ed infine la $ omega $ da trovare per poi andarla a sostituire nella formula della energia cinetica. Ora non capisco perché il libro abbia applicato la formula che ho riportato: dovrebbe essere la conservazione del momento angolare assiale rispetto al polo centrale ( il centro dell'anello) , ma come fa a conservarsi se c'è una forza peso del disco che non passa per il polo ma dal centro del disco e dunque che ha un suo momento meccanico rispetto al suddetto polo? D'altronde $ L $ si conserva rispetto ad un polo se rispetto a questo stesso polo la risultante dei momenti esterni è zero ma qui non mi pare; l'unico momento agente, che però rende diversa da zero questa risultante è proprio il momento della forza peso del disco. Grazie anticipatamente a tutti quelli che mi aiuteranno a risolvere questo dubbio!

P.S. nelle $ omega $ 1 sta per disco e 2 per anello

[Shackle]

....conservazione del momento angolare assiale rispetto al polo centrale ( il centro dell'anello) , ma come fa a conservarsi se c'è una forza peso del disco che non passa per il polo ma dal centro del disco e dunque che ha un suo momento meccanico rispetto al suddetto polo?

Dici bene : conservazione del momento angolare assiale , cioè rispetto all'asse di rotazione , che è verticale.
Il momento del peso è invece un vettore orizzontale, cioè ha componente zero sull'asse del disco, qualunque sia il polo che scegli sull'asse per calcolare tale momento.

[R.Russo1]

Perfetto, grazie mille!