Dubbio su tempo e relatività ristretta
Ciao a tutti! Ho dei problemi con un esercizio sulla relatività, se qualcuno avesse voglia di darmi una mano sarebbe di grande aiuto! Il testo è il seguente:
"Un fascio di particelle, aventi quantità di moto $p = 1 (GeV) / c$ , contiene in uguale proporzioni positroni ($m_e = 0.911*10^30 kg$), mesoni $\pi^+$ ($m_\pi = 280 m_e$), mesoni $K^+$ ($m_k = 969 m_e$) e protoni ($m_p = 1836 m_e$). Calcolare il tempo di volo di ciascuna particella su una distanza $l = 30m$."
Non so bene come comportarmi con il tempo di volo, insomma, come passare dalla quantità di moto della singola particella al tempo di volo
. Scusate se può sembrare una domanda banale ma sono alle prime armi con la relatività ristretta e vorrei riuscire a capire come considerare il tempo in questo caso. Grazie mille a chi risponderà 
"Un fascio di particelle, aventi quantità di moto $p = 1 (GeV) / c$ , contiene in uguale proporzioni positroni ($m_e = 0.911*10^30 kg$), mesoni $\pi^+$ ($m_\pi = 280 m_e$), mesoni $K^+$ ($m_k = 969 m_e$) e protoni ($m_p = 1836 m_e$). Calcolare il tempo di volo di ciascuna particella su una distanza $l = 30m$."
Non so bene come comportarmi con il tempo di volo, insomma, come passare dalla quantità di moto della singola particella al tempo di volo
. Scusate se può sembrare una domanda banale ma sono alle prime armi con la relatività ristretta e vorrei riuscire a capire come considerare il tempo in questo caso. Grazie mille a chi risponderà
Risposte
Ciao, e benvenuto nel forum.
Innanzitutto, ti conviene esprimere le masse delle particelle in unità $(GeV)/c^2$ , visto che hai la quantità di moto espressa in $ (GeV)/c$ . Poi, siccome una particella relativistica ha quantità di moto espressa dalla formula :
$p = \gamma m v = mv/(sqrt(1-(v/c)^2) ) $
conoscendo $p$ e la massa $m$ di una particella puoi ricavare la velocità rispetto al laboratorio . E siccome $s = vt$ , e la distanza è nota, il tempo di volo è dato semplicemente da $t=s/v$ . Ovviamente questo è il tempo nel riferimento del laboratorio, ovvero il tempo coordinato. Se vuoi il tempo proprio, cioè quello valutato dalla particella ( se avesse un orologio) , dovresti applicare la relazione tra tempo proprio e tempo coordinato :
$Deltat = gamma Delta\tau$
nota : nella massa del positrone che hai scritto, l'esponente di $10$ deve essere $-30$ .
ti metto alcune relazioni importanti tra energia, quantità di moto, massa e velocità di una particella materiale :
Innanzitutto, ti conviene esprimere le masse delle particelle in unità $(GeV)/c^2$ , visto che hai la quantità di moto espressa in $ (GeV)/c$ . Poi, siccome una particella relativistica ha quantità di moto espressa dalla formula :
$p = \gamma m v = mv/(sqrt(1-(v/c)^2) ) $
conoscendo $p$ e la massa $m$ di una particella puoi ricavare la velocità rispetto al laboratorio . E siccome $s = vt$ , e la distanza è nota, il tempo di volo è dato semplicemente da $t=s/v$ . Ovviamente questo è il tempo nel riferimento del laboratorio, ovvero il tempo coordinato. Se vuoi il tempo proprio, cioè quello valutato dalla particella ( se avesse un orologio) , dovresti applicare la relazione tra tempo proprio e tempo coordinato :
$Deltat = gamma Delta\tau$
nota : nella massa del positrone che hai scritto, l'esponente di $10$ deve essere $-30$ .
ti metto alcune relazioni importanti tra energia, quantità di moto, massa e velocità di una particella materiale :
Ciao!! Grazie mille dell'aiuto, sei stato gentilissimo e molto chiaro 
Scusami, deve essere stata una svista mentre riportavo il testo!
Quindi, ricapitolando, considero il sistema di riferimento in movimento rispetto al laboratorio con la stessa velocità delle particelle e ricavo dalla quantità di moto la velocità del sistema in movimento. In questo modo posso calcolare il tempo impiegato dal sistema di riferimento (ovvero dal fascio di particelle) per percorrere i $30m$ misurati dal laboratorio semplicemente con le solite formule per la velocità e di conseguenza risalire al tempo di decadimento nel sistema in movimento, giusto? In questo caso nel sistema di riferimento in movimento le particelle rimarrebbero ferme? Scusami ma voglio essere sicura di aver capito bene
"Shackle":
nota : nella massa del positrone che hai scritto, l'esponente di $10$ deve essere $-30$ .
Scusami, deve essere stata una svista mentre riportavo il testo!
Quindi, ricapitolando, considero il sistema di riferimento in movimento rispetto al laboratorio con la stessa velocità delle particelle e ricavo dalla quantità di moto la velocità del sistema in movimento. In questo modo posso calcolare il tempo impiegato dal sistema di riferimento (ovvero dal fascio di particelle) per percorrere i $30m$ misurati dal laboratorio semplicemente con le solite formule per la velocità e di conseguenza risalire al tempo di decadimento nel sistema in movimento, giusto? In questo caso nel sistema di riferimento in movimento le particelle rimarrebbero ferme? Scusami ma voglio essere sicura di aver capito bene
La situazione è questa : hai un laboratorio di prova, che è il tuo riferimento di quiete. In questo laboratorio, c'è una distanza di 30 m , che deve essere coperta da certe particelle a velocità relativistica.
Stando al testo che hai scritto ( sul quale, però , ho qualche dubbio che ti dirò dopo) , ognuna di queste particelle ha quantità di moto $p = 1(GeV)/c $ . Siccome le particelle non sono tutte dello stesso tipo, ma di 4 tipi diversi, che si differenziano per la massa, non avranno la stessa velocità rispetto al laboratorio; infatti, la quantità di moto di una particella di massa $m$ , dotata di velocità $v$ rispetto al laboratorio, è data da :
$p = gammamv$
dove $gamma = (1-v^2/c^2)^(-1/2) $
Perciò , essendo nota la $p$ e la massa $m$ di ciascuna particella , è facile calcolare la velocità $v$ della particella nel laboratorio , e quindi il tempo di volo "nel laboratorio" , poiché è nota la distanza. Particelle diverse per massa, avranno velocità diverse e quindi tempi di volo diversi.
Ora ecco il mio dubbio : siamo sicuri che quel valore di $p$ da te dato sia effettivamente la q.d.m. di ciascuna particella?
O piuttosto quella è la quantità di moto di tutto il fascio ? . Il testo dice infatti che le particelle del fascio sono in ugual proporzione : che vuol dire? Che c'è un quarto di particelle di ciascun tipo ? E come tenerne conto, eventualmente? Non mi è chiaro.
Pongo questo dubbio, perchè la soluzione sopra indicata mi sembra piuttosto semplicistica, e non vorrei indurti in errore. Sai, quando si tratta di dinamica relativistica, bisogna stare molto attenti.
Stando al testo che hai scritto ( sul quale, però , ho qualche dubbio che ti dirò dopo) , ognuna di queste particelle ha quantità di moto $p = 1(GeV)/c $ . Siccome le particelle non sono tutte dello stesso tipo, ma di 4 tipi diversi, che si differenziano per la massa, non avranno la stessa velocità rispetto al laboratorio; infatti, la quantità di moto di una particella di massa $m$ , dotata di velocità $v$ rispetto al laboratorio, è data da :
$p = gammamv$
dove $gamma = (1-v^2/c^2)^(-1/2) $
Perciò , essendo nota la $p$ e la massa $m$ di ciascuna particella , è facile calcolare la velocità $v$ della particella nel laboratorio , e quindi il tempo di volo "nel laboratorio" , poiché è nota la distanza. Particelle diverse per massa, avranno velocità diverse e quindi tempi di volo diversi.
Ora ecco il mio dubbio : siamo sicuri che quel valore di $p$ da te dato sia effettivamente la q.d.m. di ciascuna particella?
O piuttosto quella è la quantità di moto di tutto il fascio ? . Il testo dice infatti che le particelle del fascio sono in ugual proporzione : che vuol dire? Che c'è un quarto di particelle di ciascun tipo ? E come tenerne conto, eventualmente? Non mi è chiaro.
Pongo questo dubbio, perchè la soluzione sopra indicata mi sembra piuttosto semplicistica, e non vorrei indurti in errore. Sai, quando si tratta di dinamica relativistica, bisogna stare molto attenti.
Capito!
Purtroppo il testo dell'esercizio è tutto quello che ho riportato, quindi non ci sono informazioni in più. Immagino che sia la quantità di moto di tutto il fascio perchè altrimenti non avrebbe senso la parte in cui dice che che le particelle sono in ugual proporzione, almeno, io l'ho inteso così.
"Shackle":
Ora ecco il mio dubbio : siamo sicuri che quel valore di $p$ da te dato sia effettivamente la q.d.m. di ciascuna particella?
O piuttosto quella è la quantità di moto di tutto il fascio ? . Il testo dice infatti che le particelle del fascio sono in ugual proporzione : che vuol dire? Che c'è un quarto di particelle di ciascun tipo ? E come tenerne conto, eventualmente? Non mi è chiaro.
Purtroppo il testo dell'esercizio è tutto quello che ho riportato, quindi non ci sono informazioni in più. Immagino che sia la quantità di moto di tutto il fascio perchè altrimenti non avrebbe senso la parte in cui dice che che le particelle sono in ugual proporzione, almeno, io l'ho inteso così.
"Niernen":
Capito!
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Purtroppo il testo dell'esercizio è tutto quello che ho riportato, quindi non ci sono informazioni in più. Immagino che sia la quantità di moto di tutto il fascio perchè altrimenti non avrebbe senso la parte in cui dice che che le particelle sono in ugual proporzione, almeno, io l'ho inteso così.
Infatti , è lo stesso dubbio che è venuto a me : perché dire che le particelle sono in ugual proporzioni , se poi questa informazione non serve ? Ma a questo punto, come suddividere quella quantità di moto totale nelle quantità di moto dei 4 fasci ? Perché in realtà , si tratta di 4 fasci, ciascuno costituito di particelle omogenee , ma i fasci, pur avendo ciascuno la stessa q.d.m. totale, si distinguono per velocità diverse, visto che le masse delle particelle rappresentative di ciascun fascio sono diverse : non so se è chiaro!
Io potrei azzardare una ipotesi, della quale però non sono assolutamente sicuro , e anzi ti chiedo di verificarla col tuo docente, poiché non sono un esperto in materia . Potrei dire che il fascio i-esimo ha quantità di moto data dalla frazione :
$p_i = m_i/(Sigmam) *p $
e cosi mi calcolerei la q.d.m del fascio i-esimo, cioè di tutte particelle del fascio , che sono tutte uguali e si sommano. Poi applicherei la procedura che ti ho detto, per determinare velocità e tempo di volo nel rif del laboratorio .
Ma ti ripeto , non sono un esperto , perciò ti consiglio vivamente di parlare col docente. Di più , non riesco a dirti. Ciao.
Grazie dell'aiuto e scusa se non ho più risposto :/ chiederò al professore, ciao!!
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