Dubbio su esercizio corpi rigidi
Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Un disco piano ed omogeneo di raggio \(\displaystyle R=3m \) e massa \(\displaystyle M=100kg \) ruota senza attrito in un piano orizzontale, con velocità angolare pari a \(\displaystyle \omega_0=0.2rad/s \) , attorno ad un asse passante per il centro O. Un uomo di massa \(\displaystyle m=60kg \) salta sul bordo del disco, in posizione A, senza scivolare. Successivamente inizia a camminare, senza scivolare, verso il centro O. Calcolare:
a) la velocità \(\displaystyle \omega \) del disco quando l' uomo si trova in A;
b) il lavoro W compiuto dall'uomo per raggiungere il centro O".
Risoluzione
a) Ho già visto qualche esercizio simile, per cui ho subito immaginato dove il problema volesse andare a parare. Il disco ruota con velocità iniziale \(\displaystyle \omega_0=0.2rad/s \) e l'asse di rotazione è proprio l'asse di simmetria per il disco, passante dunque per il suo centro di massa. Vale allora:
\(\displaystyle L = I_z \omega \) come legge generale. Ho immaginato di applicare il principio di conservazione del momento angolare, tale che la suddetta legge si riscriva nella forma \(\displaystyle L = I_z \omega = cost \) ma una cosa non mi quadra: per poter applicare questo principio i momenti delle forze esterne devono essere nulli, tale che la derivata temporale del momento angolare totale del sistema sia anch'essa nulla.
L'esempio a cui facevo riferimento prima era il caso di una giostra, con due bambini posti esattamente agli estremi di un'asta rigida in rotazione intorno al proprio asse di simmetria. I bambini avevano la stessa massa, dunque scegliendo come polo per il calcolo dei momenti il centro di massa dell'asta, la forza peso dell'asta aveva momento nullo, mentre i momenti delle forze peso esercitate dai due ragazzini si annullano a vicenda (dico bene?). Di conseguenza, ecco che i momenti delle forze esterne sono nulli e pertanto il momento angolare si conserva.
Tornando al nostro disco in rotazione, quando l'uomo sale sul bordo A del disco, tra il CM del disco e l'uomo c'è una certa distanza, pari al raggio R del disco. Scegliendo il centro di massa come polo per calcolare i momenti, la forza peso del disco avrà momento nullo. Ma la forza peso dell'uomo non avrà un momento diverso da zero?
In teoria, per l'uomo, si dovrebbe avere:
\(\displaystyle M = Rmgsin(90°) \) essendo perpendicolari i vettori R ed mg. Dove sbaglio?
"Un disco piano ed omogeneo di raggio \(\displaystyle R=3m \) e massa \(\displaystyle M=100kg \) ruota senza attrito in un piano orizzontale, con velocità angolare pari a \(\displaystyle \omega_0=0.2rad/s \) , attorno ad un asse passante per il centro O. Un uomo di massa \(\displaystyle m=60kg \) salta sul bordo del disco, in posizione A, senza scivolare. Successivamente inizia a camminare, senza scivolare, verso il centro O. Calcolare:
a) la velocità \(\displaystyle \omega \) del disco quando l' uomo si trova in A;
b) il lavoro W compiuto dall'uomo per raggiungere il centro O".
Risoluzione
a) Ho già visto qualche esercizio simile, per cui ho subito immaginato dove il problema volesse andare a parare. Il disco ruota con velocità iniziale \(\displaystyle \omega_0=0.2rad/s \) e l'asse di rotazione è proprio l'asse di simmetria per il disco, passante dunque per il suo centro di massa. Vale allora:
\(\displaystyle L = I_z \omega \) come legge generale. Ho immaginato di applicare il principio di conservazione del momento angolare, tale che la suddetta legge si riscriva nella forma \(\displaystyle L = I_z \omega = cost \) ma una cosa non mi quadra: per poter applicare questo principio i momenti delle forze esterne devono essere nulli, tale che la derivata temporale del momento angolare totale del sistema sia anch'essa nulla.
L'esempio a cui facevo riferimento prima era il caso di una giostra, con due bambini posti esattamente agli estremi di un'asta rigida in rotazione intorno al proprio asse di simmetria. I bambini avevano la stessa massa, dunque scegliendo come polo per il calcolo dei momenti il centro di massa dell'asta, la forza peso dell'asta aveva momento nullo, mentre i momenti delle forze peso esercitate dai due ragazzini si annullano a vicenda (dico bene?). Di conseguenza, ecco che i momenti delle forze esterne sono nulli e pertanto il momento angolare si conserva.
Tornando al nostro disco in rotazione, quando l'uomo sale sul bordo A del disco, tra il CM del disco e l'uomo c'è una certa distanza, pari al raggio R del disco. Scegliendo il centro di massa come polo per calcolare i momenti, la forza peso del disco avrà momento nullo. Ma la forza peso dell'uomo non avrà un momento diverso da zero?
In teoria, per l'uomo, si dovrebbe avere:
\(\displaystyle M = Rmgsin(90°) \) essendo perpendicolari i vettori R ed mg. Dove sbaglio?
Risposte
Ho letto tutto, ma non ho capito cosa c'entra la forza peso.
Hai un momento angolare iniziale $\omega_0(M/2+m)$.
E uno finale $\omega_1(M/2)$
Devono uguagliarsi.
Viceversa l'energia cinetica iniziale e finale e' :
$E_0 = 1/2 (M/2+m)\omega_0^2$
$E_1 = 1/2 (M/2)\omega_1^2$
Vedrai che non sono uguali. L'energia' aggiuntiva e' fornita dall'uomo.
Hai un momento angolare iniziale $\omega_0(M/2+m)$.
E uno finale $\omega_1(M/2)$
Devono uguagliarsi.
Viceversa l'energia cinetica iniziale e finale e' :
$E_0 = 1/2 (M/2+m)\omega_0^2$
$E_1 = 1/2 (M/2)\omega_1^2$
Vedrai che non sono uguali. L'energia' aggiuntiva e' fornita dall'uomo.
Per applicare il principio di conservazione del momento angolare (e suppongo si possa fare dato che le soluzioni fornite dal libro di testo lo applicano) è necessario che il momento delle forze esterne sia nullo. Quello che mi chiedo io è: come fa il momento delle forze esterne applicate ad essere nullo se la forza peso dell'uomo non ha momento nullo rispetto al polo O?
Non so se il tuo modo di procedere porti allo stesso risultato ma magari sì, a quanto ho capito da ciò che hai detto secondo te i momenti angolari non sono costanti??
Non so se il tuo modo di procedere porti allo stesso risultato ma magari sì, a quanto ho capito da ciò che hai detto secondo te i momenti angolari non sono costanti??
Un disco piano ed omogeneo ... ruota senza attrito in un piano orizzontale,
Il che vuol dire che l'asse di rotazione è verticale.
Ma la forza peso dell'uomo non avrà un momento diverso da zero?
Anche la forza peso è verticale, cioè parallela all'asse del disco. Il momento $vecM = vecRtimesvecP$ è quindi un vettore orizzontale. Questo momento , tutt'al più potrebbe flettere l'asse di rotazione del disco, ma non modifica il momento angolare.
@Quinzio
hai dimenticato un fattore $R^2 $ nei momenti di inerzia .
"Shackle":
Il che vuol dire che l'asse di rotazione è verticale.
Anche la forza peso è verticale, cioè parallela all'asse del disco. Il momento $vecM = vecRtimesvecP$ è quindi un vettore orizzontale. Questo momento , tutt'al più potrebbe flettere l'asse di rotazione del disco, ma non modifica il momento angolare.
E quindi in sostanza quella forza non modifica il momento angolare perchè avrà momento orizzontale (pertanto non concorde al versore di z, nè discorde rispetto a quest'ultimo).
E già . $vecM$ è ortogonale all'asse di rotazione.
Grazie ragazzi siete la mia salvezza! *_*
Avrei dovuto arrivarci da solo, però..
Avrei dovuto arrivarci da solo, però..
"MrEngineer":
Avrei dovuto arrivarci da solo, però..
La via dell'inferno è lastricata di buone intenzioni !
Ma :
La speranza è l'ultima a morire!
La via dell'inferno porta all'esame scritto di Fisica 1 tra meno di due settimane, e io sono già nel panico 
Grazie per i preziosi consigli ragazzi
Grazie per i preziosi consigli ragazzi
@Shackle mentre ci sono vorrei chiederti una cosa! Il momento d'inerzia di un essere umano (che sia uomo o bambino) si calcola direttamente dalla definizione di momento d'inerzia? Dunque come prodotto della massa per il quadrato della distanza dall'asse di rotazione? E inoltre, dato che l'uomo si trova ad una distanza pari al raggio \(\displaystyle R \) del disco rispetto all'asse, non si dovrebbe, in teoria, applicare il teorema di Huygens-Steiner??
"MrEngineer":
Il momento d'inerzia di un essere umano (che sia uomo o bambino) si calcola direttamente dalla definizione di momento d'inerzia?
Vuoi dire che sappiamo poco sulla dinamica dell'anima?
"mgrau":
[quote="MrEngineer"] Il momento d'inerzia di un essere umano (che sia uomo o bambino) si calcola direttamente dalla definizione di momento d'inerzia?
Vuoi dire che sappiamo poco sulla dinamica dell'anima?
[/quote]Lo so è una domanda stupida ma sono aperto a ogni possibilità! ahah
Un'altra domanda che mi viene in mente è se io debba considerare una qualche forza di reazione vincolare tra il disco e l'asse. In teoria non viene specificato come sia fatto realmente il sistema, si parla solo di un disco che ruota su un piano orizzontale attorno ad un asse verticale. Ovviamente quest'asse sarà un qualche asse rigido che attraversa il disco, altrimenti il tutto non avrebbe senso. Quindi in teoria dovrebbe esserci una reazione tra l'asse e il disco e il vettore Reazione vincolare dovrebbe essere diretto come l'asse. Ovviamente scegliendo il CM del disco come polo, il momento di tale forza è nulla quindi non cambierebbe assolutamente nulla ai fini della risoluzione.
"MrEngineer":
Quindi in teoria dovrebbe esserci una reazione tra l'asse e il disco e il vettore Reazione vincolare dovrebbe essere diretto come l'asse.
No, perchè?
"mgrau":
[quote="MrEngineer"] Quindi in teoria dovrebbe esserci una reazione tra l'asse e il disco e il vettore Reazione vincolare dovrebbe essere diretto come l'asse.
No, perchè?[/quote]
Il vettore reazione vincolare non è per definizione di modulo e direzione uguale al vettore forza peso ma di verso opposto?
Se il disco è attraversato da un asse, e la forza peso del disco è diretta verticalmente verso il basso, il vettore reazione vincolare non è diretto verso l'alto?
Per i punti materiali è stato sempre così, adesso non so per gli odiosi corpi rigidi
Se una massa $m$ viene posizionata sul bordo di un disco , ed è considerata come un punto materiale, il suo m.i. rispetto all'asse è semplicemente $mr^2$ . Nel caso dell'uomo, devi aggiungere il m.i. proprio rispetto a un asse verticale , parallelo a quello di rotazione del disco, e passante per il CM dell'uomo . Naturalmente devi supporre che l'uomo sia un rigido ...
Si certo, bisognerebbe applicare il teorema H-S.
In questi esercizi pero' di solito questi oggetti "strani", tipo uomini, automobili, palle, di solito sono pensato come oggetti puntiformi.
In questi esercizi pero' di solito questi oggetti "strani", tipo uomini, automobili, palle, di solito sono pensato come oggetti puntiformi.
"Quinzio":
Si certo, bisognerebbe applicare il teorema H-S.
In questi esercizi pero' di solito questi oggetti "strani", tipo uomini, automobili, palle, di solito sono pensato come oggetti puntiformi.
Ok, l'importante è che le domande che faccio siano sensate. E' bene porsi delle domande piuttosto che assumere il tutto per vero (cosa che per me uccide la nozione stessa di studio!). Grazie Quinzio e grazie Shackle ed Mgrau
"MrEngineer":
il vettore Reazione vincolare dovrebbe essere diretto come l'asse.
Stavo pensando al caso in cui il disco ruota e l'uomo sta sul bordo
"mgrau":
[quote="MrEngineer"] il vettore Reazione vincolare dovrebbe essere diretto come l'asse.
Stavo pensando al caso in cui il disco ruota e l'uomo sta sul bordo[/quote]
In tal caso il vettore momento della reazione sarebbe anch'esso orizzontale (come accade per la forza peso ) ma diretto in verso opposto, no?
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